Дёч Г. - Руководство к практическому применению преобразования лапласа и Z-преобразования (951799), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Наиболее трудным шагом при решении уравнения в частных производных посредством преобразования Лапласа является обычно апре!)еленае оригинала для решения, найденного в пространстве изобрахсений. Если имеющиеся таблицы соответствий недостаточны для этого определения, то можно воспользоваться способами, указанными в гл. 6 и в 5 35.
На практике чаще всего встречаются уравнения в частных производных второго порядка, которые подразделя!отса на следующие три типа (в скобках указаны наиболее важные представители каждого типа): уР»виепие теплопРОВОдности ]зз 4 24] представляет интерес не только для инженера-теплотехника, но н для инженера-электрика, так как в электротехнике тепловые явления часто играют большую роль (так, например, транзисторы могут эксплуатироваться только до вполне определенной максимальной температуры, после превышения которой полупроводник либо меняет свои свойства, либо разрушается). Между прочим, уравнение (24.1) известно также в электротехнике под названием уравнения кабеля Тол]сони.
В те годы, когда впервые был проложен подводный телеграфный кабель между Европой и Америкой, решение телеграфного у авнения еще не было известно. ( ехсду тем это уравнение, если пренебречь индуктивностшо и утечкой, переходит в уравнение теплопровод- с]т] х 44(хд] а,]О ности. Решение последнего было давно известно„и Томсон использовал его в качестве приближенного решения для расчета подводного телеграфного кабеля. Л 14,Гх] г Покажем, как выполняется решение уравнения (24.1) посред- Рнс. 24д.
Граничные н начальством преобразования Лапласа, при- ны' значения фунхннн и(х, ]). чем будем пользоваться языком теории теплопроводности. В таком случае и(х, Г) будет температурой линейного проводника тепла (или пространственного, но такого, температура которого зависит только от одной координаты, т. е. остается постоянной на площади каждого отдельного сечения гела). Пусть проводник тепла простирается от х = 0 до х 1. Переменная 1 означает время, которое изменяется от г = 0 до 1= ОО, Следовательно, областью определения искомой функции и(х,1) в плоскости х1 является полуполоса, если 1 конечно, и четверть плоскости, если 1= ОО (рис. 24,1), Пусть в момент времени 1= 0 проводник имеет определенную температуру, которая может зависеть от х; обозначим ее через ич(х), Она представляет собой «начальное значение» функции и(х,1) в смысле, разъясненном в 5 23, т.
е. функция и(х, () должна удовлетворять условию и(х, +0) = и,(х). (24.2) Из физических соображений можно предвидеть — и дальнейший ход решения это подтвердит,— что в рассматриваемой задаче мы можем обойтись одним. единственным начальным условием; следовательно, начальные значения и,(х, +0), ... нам не понадобятся, Причина этого заключается, конечно, в том, что ючлвссвпия в члстпых пгоизводных сгл. 4 уравнение в частных производных (24З) является уравнением первого порядка относительно й Пусть оба конца проводника х = О н х = Г соединены с некоторыми источниками тепла, поддерживающими температуру концов на определенных уровнях, которые могут зависеть от времени.
Следовательно, должны иметь место условия (см. рнс. 243) и (+ О, Г) = а„(Г) и (à — О, Г) = а, (Г), (24.3) которые и представляют собой «граничные условия» в смысле, разъясненном в $ 23. Конечно, эти условия не являются единственно возможными; при других физических допущениях граничные условия будут иными. Например, если на одном конце проводника тепло излучается в окружающую среду, то там будет иметь место линейная связь между и и дисдх.
Составим теперь для уравнения (243) прн начальном условии (24.2) и граничных условиях (24.3) изображающее уравнение. Положив лс(сс(х, Г)) = (с(х, з) и приняв во внимание начальное условие (24.2), мы получим ,Глас Р~ — ~ зУ(х, з) — и(х, +О) =зУ(х, з) — и„(х). Далее, так как принимается, что дифференцирование по х и преобразование Лапласа можно менять местами, то мы будем иметь 2~Я=,", 2( ) = 'Гс,(" Так как после перехода в пространство изображений остается только частная производная по х, то мы можем заменить ее обыкновенной производной, после чего изображающее уравнение примет вид ассс —,(х).
(24.4) следовательно, с учетом равенства (23.7) граничными условиями для изображающего уравнения (24.4) будут (у(+О, з) =А,(з), У(à — О, з) = А,(з). (24.5) Заданное начальное условие (24.2) вошло в изображающее уравнение и, следовательно, учитывается в дальнейшем автома- В этом уравнении переменая з играет роль параметра, от которого зависит решение (-с; именно поэтому мы и ввели для него обозначение ГС(х, з), Применим теперь преобразование Лапласа к граничным условиям (24.3), мы получим й(сс(+О, Г)) =й(ао(Г))=,44(з)* й(и(à — О, ГН=2(а (Г))=.4с(з), уРлэнение тсплОПРОВОдности (зз 1. Начальная температура равна нулю, граннчнме температуры нренгвельнм Решение однородного уравнения ахи — -эи эха (24,6) выполняется обычным способом: делается подстановка У = е', которая приводит к характеристическому уравнению аг =- э.
Оба решения а = ~)Уз этого уравнения дают частные интегралы е и е хих -хУх из которых получается обший интеграл в виде суммы с,ех' ' + с,е-"' '. Постоянные с( и сг следует определить так, чтобы были удовлетворены граничные условия (24.5). Проше всего сначала соста. вить два частных решения, из которых одно имеет на левой границе значение 1, а на правой — значение О, второе же решение имеет на левой границе значение О, а иа правой — значение 1.
Такими решениями будут э-х) Ув ((-х)Ух ь (( х) )/ е У' — е (У* гЫ)'а ех Ух е-х3 х ги хУ х (х',(х, з) = е'"' -е "' еи!Ух тически, что представляет собой важное преимущество рассматриваемого метода решения по сравнению с классическим методом. Дифференциальное уравнение вида (24.4) при заданных граничных условиях интегрируется обычно следующим образом. Сначала решается однородное уравнение при произвольных граничных значениях; это означает, что член ие(х), делаюший заданное уравнение неоднородным, т. е.
начальная температура, предполагается равным нулю. Затем решается неоднородное уравнение для равных нулю граничных значений Ле(з) и А((э); это равносильно тому, что граничные температуры ае(() и а((() принимаются равными нулю. Сумма обоих решений дает, очевидно, решение заданного уравнения. УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 1гл. е 1ЗЕ Введя эти функции, мы можем придать искомому решению изображающего уравнения следующий вид: У(х, з) =Ао(з) Уо(х, з)+А,(з) У,(х, з). Теперь остается определить оригинал, соответствующий изображению У(х, з). Сначала рассмотрим предельный случай 1= оо. При 1- оо функция Ус(х, з) равна нулю, а для функции Уе(х, з) мы получим е — е -кг е -(21 -мне Уо(х, з)= -ье-"'. 2!у е Следовательно, в пространстве изображений решение имеет вид У(х, з)=Ао(з) — ~ . (24.7) Из соответствия е-"ке о е зч =ф(х, Г) (х)0) (24.8) чу' сз12 (см.
таблицу в конце книги, соответствие № 167)') и теоремы свертывания (правило 1Х) мы имеем и (х, 1) = а, (Г) езр (х, 1). (24,9) Переписав правую часть этого равенства в явном виде, мы по- лучим — хчет а (х, з) = — ) ао(1 — с) сзт. ° = )„-1 зд/з о (24.10) Мы видим отсюда, насколько было оправдано формулировать граничное условие в виде предельного соотношения 1нп а(х, 1) =а,(1), к-а+о '1 Здесь ф означает функнию, называемую в теории теплопроводности фуНКциЕй доейНОЕО иктОЧНиКа НИЖЕ На Стр. 143 МЫ ВСтрЕтИМСя С фуаКИНЕВ Х, которую принято называть функцией источники а не в виде и(0, 1) = ао(с).
В самом деле, если мы подставим в выражение под знаком интеграла просто х = О, то для т = 0 интеграл вследствие наличия знаменателя т" будет расходиться. Но и в том случае, если бы он имел вполне определенное значечение, то все же вследствие множителя х ои получился бы равным не ао(1), а нулю. С другой стороны, путем несколько длинных рассуждений можно доказать, что функция (24.10) прн х- 0 имеет предельное значение ао(1), если только функция ао непрерывна в точке й уРАВнение теплопРОВОдности )Зт В том, что начальное условие и(х, +0) удовлетворяется, мы убеждаемся непосредственно. В случае, когда длина 1 конечна, оригиналы ир(х,1), и((х,1), соответствующие изображениям (7А(х, з), 17((х, з), можно взять в готовом виде из таблицы в конце книги (соответствия № 186 и 185). Если бы такой таблицы не было, то следовало бы попытаться определить оригиналы путем разложения изображений в ряды (см.
з 29). так, например, для изображения (7(((х, з) мы имеем е-х) в л-(2(-х) Ух 17()(х, з) = ! — е ~(Ух л — (е-х)'х е-(х(-х)Ух) ~~~~~ е-зл(Ух л О = ~~ Е-Ол)+х)Ух ~~ Е-(Х(л'(()(-х)Ух л-О л Π— ~( е-цл('(х)Ух ~~ е-(вц — х)Ух (24. 11) л 0 При 0 ( х (1 имеют место неравенства 2п1+х>0 (и=О, 1, .) и 2п1 — х>0 (и=1, 2, ...), следовательно, применимо соответствие (24.8). Далее с помощью теоремы 29.4 можно доказать, что в данном случае допустимо поменять местами суммирование и вычисление интеграла Лапласа (см. стр. 175). В результате мы получим и, (х, 1) = ~~ (Р(2п1 + х, 1) — ~~ ф(2л1 — х, 1), лев л ( нлн и,(х, 1)= ~ (()(2л1+х, 1), (24. 12) так как на основании формулы (24.8) — ф(2п1 — х, 1) =-(()(-2п1+ х, 1). В рассмотренном выше случае проводника бесконечной длины1 в правой части равенства (24.12) остается только член, для которого и = О.
Аналогичным образом найдем оригинал, соответствующий изображению (7((х, з): (. л (24. 13) УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ [ГЛ. Я Оба ряда (24.12) и (24.13) пригодны для практических вычислений при малых 6 так как тогда множители е ~~~'У", входящие в каждый член обоих рядов, малы. При больших 1 для вычислений более удобны выражения оригиналов, указанные в конце книги в таблице соответствий под №№ 186 и 186. Определив функции ир и и„мы получим оригинал, соответствующий изображению У(х, з), в следующем виде: и (х, г) = и, (х, 1) ла, (1) + и, (х, 1) ра, (().
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
