Дёч Г. - Руководство к практическому применению преобразования лапласа и Z-преобразования (951799), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Но так как преобразование Лапласа представляет собой интегрирование по одной-единственной переменной, то, применяя его к функции и(х, 1), мы должны выполнить его только для одной независимой переменной, оставляя другую независимую переменную неизменной, Выберем в качестве переменной, относительно которой производится преобразование Лапласа, переменную 1; именно поэтому мы с самого начала предположили, что она изменяется от 0 до со, т. е. в том промежутке, в котором берется интеграл Лапласа. Переменную х будем считать прн выполнении преобразования неизменной.
Это означает, что каждому определенному значению х соответствует свое изображение функции и(х, (). Следовательно, это изображение зависит не только от з, как было раньше, но также от х, т. е. оно является функцией от з и от х: М 2(и(х, 1)= ~ е-"и(х, Ю)И=У(х, з). (23Д) о Подвергая преобразованию Лапласа частные производные яо й мы можем применять правило Ч, но при этом мы должны каждый раз оставлять переменную х неизменной. Таким путем мы получим 11~ — ф-)-~ зУ(х, з) — и(х, +0), (23.2) 2~ й ,' ~ = зЧ/ (х, з) — и (х, + 0) з — и,(х, + О), (23.3) %тз) оьшие»ккзкнпя о пеимвнанин пезовгззовкния лкплхсх (ээ где и~ —— ди/дй Что касается частных производных по х, то для возможности применения к решению уравнения преобразования Лапласа необходимо принять, что операция составления таких производных и операция составления интеграла Лапласа могут меняться местами.
Так, например, необходимо принять, что ь)(д (»))1 д 2( ( ) дУ(» ») д» ) в» ' д» в» в) ~ с» 2'( дг ~,»» ~Ю (х' з) — и (х~ +О)], (23.5) Мы видим, что при преобразовании частных прозводных появляются значения и(х, +О), и,(х, +О), ... Следовательно, необходимое количество этих «начальных значений» долзкно быль задано в качестве начальных условий.
Здесь мы опять встречаемся с тем же преимуществом, с которым уже встречались при решении обыкновенных дифференциальных уравнений: начальные значения входят в изображзющее уравнение сами собой и поэтому учитываются автоматически. Так как в результате преобразования Лапласа частные производные по Г устраняются, то в изображающем уравнении остаются только частные производные по х. Это означает, что изображающее уравнение представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение. Решение такого уравнения является несравненно более простой задачей, чем решение уравнения в частных производных.
Следовательно, применение преобразования Лапласа к уравнению в частных производных чрезвычайно упрощает задачу интегрирования. Отсюда становится ясным, что посредством преобразования Лапласа можно решать много задач, которые при применении других методов либо совсем не могут быть решены, либо могут быть решены только с очень большим трудом.
Остается сказать несколько слов о граничных условиях на вертикальных границах области определения искомой функции (если только эти границы имеются). Пусть, например, х = а есть левая граница промежутка изменения х и пусть на этой границе задано значение функции и(х, г), т. е, и(а, (). По этому поводу необходимо сразу же оговорить, что такое граничное значение следует понимать в точности так же, как мы в свое время понимали начальные значения для обыкновенных дифференциальных уравнений, т. е.
рассматривать его в смысле предельного значения. Иными словами, это означает следующее: если обозначить функцию, заданную на границе х = а и зависящую здесь только от (, через а((), то должно быть (ип и(х, г) — а(г), или короче и(а+О, () =а(г). (23.6) »-»«+О Кля уравнений в частных производных такое понимание 5 г. дв| уилвннння в члстных производных !ГЛ.
А !зо граничных значений еше важнее, чем для обыкновенных дифференциальных уравнений. В самом деле, в большей части задач решение при х = а вообще не имеет смысла, поэтому значение и(а, !) даже и нельзя определить. Единственное требование, которое может быть реализовано, заключается в том, чтобы предельное значение для х — а (и притом справа, поэтому мы пишем х-+а+ О) существовало и имело заданное значение. Примем теперь, что операция предельного перехода х- а + О н операция составления интеграла Лапласа могут меняться местами.
Тогда мы будем иметь (!гп У(х, э)= !(ш 2(и(х, 8))=2( !нн и(х, Г)=2а(г)) =А(з), к.+а+о к.тато !к+а+0 следовательно !(пт У(х, з) = А (з). (23.7) и+а+о Это означает, что в качестве граничного значения изображения (/(х, з) при х = а следует взять изображение граничного значения а(!).
Это можно представить наглядно на рис. 23.2, из которого видно, что предельный переход от У(х, з) к А(э) можно заменить предельным переходом от и(х, г) к а(Г) и последуюшим преобразованием функции а(!) А!и очхл в ее изображение А(з) (преобразование исходных функций в соответствуюшие изображения на вертикалях х н х = а совершается одинаково). Если имеется также правая граница х = Ь промежутка изменения х, то все сказанное о граничном значении для левой границы следует отнести и к правой границе.
Таким образом, граничное значение изображения У(х, з) получается путем преобразования Лапласа граничного значения исходной а х функции и(х, !). В том, что применение преобразования Лапласа к решению уравнений в частных производных требует введения некоторых допущений (а именно возможности перемены местами операции преобразования Лапласа, с одной стороны, и операций дифференцирования и предельного перехода х- а + Π— с другой), нет ничего удивительного. В самом деле, без введения допушеиий не обходится ни один метод.
Правда, очень часто допущения вводятся не явно, а скрыто, например, принимается, что решение должно иметь определенный вид, может быть разложено в ряд и т. д. В связи с этим после выполнения решения всегда следует проверить, действи- Рис. 23.2. Ьнреобразонание функции и (х, О нри постоиинои х. й 231 ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ О ПРИМЕНЕНИИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 13! Схема < уравнение и частных ироизиодиых + изчзльиые условия решение 4- граничные условия ) Е-иреобризоизиие Е -преобразование ( Ф обыкновенное диффереидиильиое 1 > -» решение уриииеиие + граничные условия Пространство оригиналов' Пространство изображений: Таким образом, прямое решение уравнения в частных производных при заданных начальных и граничных условиях заменяется косвенным решением: посредством преобразования Лапласа совершается переход из пространства оригиналов в пространство изображений; это приводит к замене уравнения в частных производных обыкновенным дифференциальным уравнением и притом таким, которое уже содержит в себе заданные начальные условия, вследствие чего они учитываются в дальнейшем автоматически; граничные же условия исходного уравнения переходят в граничные условия изобра>кающего уравнения.
После решения изображающего уравнения, т. е. обыкновенного дифференциального уравнения, производится обратное преобразование Лапласа, которое и приводит к решению первоначальной задачи. Если переменная х изменяется в промежутке О ( х «. со, то изображающее уравнение может быть подчинено каким-то условиям только на левой границе х = О, следовательно, эти условия имеют характер начальных условий.
В таком случае к полученному изображающему уравнению можно опять применить преобразование Лапласа (на этот раз относительно переменной х). В результате для изобра>кения получится алгебраическое уравнение, которое легко можно решить. Для решения первоначальной задачи необходимо дважды применить обратное преобразование Лапласа '). ') О сущестоивиии решений, ие удоилетиоряюгиих допущениям излагаемого здесь метода, см. 0 ое1зс Ь О., Е)и!йьгиия 1и Тйеог!е ииб Аигчеидиие бег Еир!зсе-Тгзпз)отша!!оп, В)г)гйаизег Чег>ед, Вззе1, !953, стр.
269. ') Более подробные сиедеиия о «двумерном» преобразовании Лвплзсз, которым мы воспользуемся ниже, ие стр. 143, для решения одного примера, можио найти и книге: Чо е11с е г О, ипд !> о е1з с Ь О., Вбе хчге!б!шеиз!Опз!е Езр!зсе-Тгвпз>огши))оп (Е!Бе Е!Б>йьгиик !и !Ьге Апгчепдиик хит Еозиик чои тельно ли найденная функция удовлетворяет заданному уравнению в частных производных, а также граничным и начальным условиям '). Представим намеченный ход решения уравнения в частных производных посредством преобразования Лапласа в виде следующей схемы: УРАВНШВ!Я В ЧАСГНЫХ ПРОИЗВОДИЫХ )32 !Гл.
ч д'и дзи эллиптический тип (уравнение Лапласа д„, + д, = 0), дзи дзи гиперболический тип (волновое уравнение —, — —, = 0), д'и ди параболический тип уравнение тепло- — — — = 0 . дх' д! проводности При решении уравнений в частных производных эллиптического типа посредством преобразования Лапласа возникают большие трудности, поэтому на этом типе мы останавливаться не будем. Из двух других типов сначала рассмотрим параболический тип на примере уравнения теплопроводности, так как для этого типа применение преобразования Лапласа особенно эффективно, $ 24. Уравнение теплопроводности Уравнение теплопроводности дзи ди дх' д! (24.1) Ввод!нег!ргоше!нсп псьв! Твьв!!ен нов Коггвврондвнвен), В)гкьапвег Чег!вн, Ввзс), !9ВО.
[См, тишке Д итк и н В. Л. и П р у д и ик он Д. П., Онервнион- ное исчисление ио двум неремеинмм и его приложении, Физмазгиз, Москва, !968 (Прим. перев.)1 Если неизвестная функция, определяемая уравнением в частных производных, зависит от трех переменных, т. е, если и = и(х, у, !), где ! изменяется в промежутке 0 (! < со, а х и у — в некоторой области плоскости хгу, то, применив преобразование Лапласа, мы опять освободимся от частных производных по ! и останутся только частные производные по х и йс Следовательно, мы получим уравнение в частных производных с двумя независимыми переменными, решение которого представляет собой опять значительно более простую задачу, чем решение уравнения в частных производных с тремя независимыми переменными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
