Дёч Г. - Руководство к практическому применению преобразования лапласа и Z-преобразования (951799), страница 20
Текст из файла (страница 20)
— д~ и( — О). (17.7) Если не все заданные начальные значения д( — 0), д'( — 0), равны нулю, то решение д при 1 < 0 не может быть тождественно равно нулю. Следовательно, теперь нельзя рассматривать д как распределение из пространства йр+ и пользоваться для обобщенных производных формулой (17.4). Вместо атой формулы теперь следует взять формулу (12) из Добавления в ее полном виде: з 1к пгиваданиа системы к одномт тгхвнанию 1ОЗ В точности такое же выражение мы получили бы и в том случае, если бы правильно применили к первоначальной производной уьч правило Ч для обычных функций и вместо получающихся прн этом правосторонних начальных значений подставили заданные левосторонние начальные значения.
Вывод. Таким образом, при преобразовании Лапласа в любом случае, даже если система аномальная, следует применять прежнее правило Ч н в качестве начальных значений брать заданные начальные значения. Однако полученные решения следует рассматривать как распределения из пространства Ю', что для значений ! > 0 не играет никакой роли, но зато приводит к математически правильному описанию скачкообразного поведения функций и их производных в нулевой точке. Применяя сказанное к системе уравнений (16.2) и (16.3), мы получим при совершенно произвольных начальных значениях а, Ь, с решения (!68) и (16.!0). Правосторонние начальные значения определиются формулами (16.12), а скачки в точке ! = 0 — формулами у, (+0) — а= О, у,'(+0) — Ь = 3[!(+0) — (а+ Ь+2с)), ут (+ 0) — с — ! (+ 0) + (а + Ь + 2с).
Если выполняется условие (!6,5), то скачки равны нулю. Так как значения а, Ь, с определяются прошедшим состоянием, то отсюда видно, что скачки являются следствием несоответствия между значением [(+0) и значениями а, Ь, с. В этом случае переход функций от начальных значений к их дальнейшим значениям, предписываемым дифференциальными уравнениями, может осуществляться только посредством скачков. й 18, Приведение системы дифференциальных уравнений и одному уравнению для одной неизвестной путем исключения остальных неизвестных (способ, принятый в технике) В технической литературе даже в настоящее время иногда применяется способ решения системы дифференциальных уравнений, хотя и использующей в конечном счете преобразование Лапласа, но основанной на процедуре, ведущей свое начало из тех времен, когда еще не знали непосредственного решения сисгем дифференциальных уравнений при помощи преобразования Лапласа.
Так как классический метод решения задачи Коши для систем дифференциальных уравнений, указываемый в чисто математической литературе, практически невыполним, то выход находят в приведении системы к одному-единственному дифференциальному уравнению для одной неизвестной, что достигается 1О4 овыкноввнные диэевгвнцилльные ээлвнвння ~гл, з исключением остальных неизвестных. Этот способ требует введения допущений, часто невыполнимых, и, кроме того, связан с трудностями, касающимися начальных значений.
Покажем это на примере системы второго порядка с двумя неизвестными функциями, но только с одной не равной нулю возбуждающей функцией. Итак, пусть задана система Рн ( ш ) У~ + Ра ( щ ) Ут =- 1 (1) 1 рм( — „',)д,.~р„( — ',1д,-о, (18. П где гН '1 ~Р Ры( — „, 1= аы — „+Ьы — „, +сць причем предполагается, что система нормальная, что, впрочем, для хода дальнейших рассуждений несущественно. Далее, пусть заданы начальные значения у,(о), у',(о); у,(о), у,(о).
(18.2) (18.3) Развернув определители, мы получим слева многочлен четвертой степени, а справа многочлен второй степени относительно г(/Ж, следовательно, уравнение для определения у~ будет иметь вид гФ ~з из и' а, — „у, + аз -шт у, + а, —, у, + а, — „у, + аоу, Ьз — г)+ Ь! щ)+ Ьо!. (18,4) При выводе этого дифференциального уравнения молча предполагается, что функция )(1) дважды диффереицируема, что на практике часто не оправдывается, например, в тех случаях, когда )'(1) имеет скачки.
(В таких случаях следовало бы заменить обычные производные на обобщенные производные; тогда в уравнение вошли бы б-импульс и его обобщенные производные.) Однако некоторые инженеры, не задумываясь над этим Путем исключения из заданной системы функции уз получим одно-единственное дифференциальное уравнение для определе-.
ния функции уь В некоторых частных случаях это выполняется очень просто, однако это можно всегда сделать и в общем случае, если рассматривать операторы рм(г(/г(1) как коэффициенты перед неизвестными и затем применить к системе (18.1) правило Крамера. Тогда мы будем иметь з ~в! ПРИВЕДЕНИЕ СИСТЕМЫ К ОДНОМУ УРХВНЕНИЮ !ох обстоятельством, применяют к уравнению (18.4) преобразование Лапласа. Для выполнения этого преобразованяя требуются начальные значения Г(0), !'(0) возмущающей функции )(!), которые следует считать известными, так как функция Г(!) задана; кроме того, для функции у4 требуется знать начальные значения у,(0), у',(О), у",(О), у4" (О), из которых известны только два первых.
Можно было бы определить недостающие начальные значения, положив в уравнениях (!8.1) ! = О, и таким путем дополнительно к четырем начальным значениям (!8,2) вычислить значения у",(0) и у" (0), а затем, проднфференцировав уравнения (18.1), вычислить у'," (0). Однако такое вычисление требует очень много времени и на практике никогда не производится, Вместо этого ограничиваются случаем, когда физическая система возбуждается из состояния покоя, следовательно, все начальные значения (!8.2) принимаются равными нулю. Затем, не долго думая, принимают, что равны нулю также начальные значения у",(О) и у4" (О) и, кроме того, полагают, что !'(0) =)'(0) = О, после чего, применив к уравнению (!8.4) преобразование Лапласа, получают изображающее уравнение (пээ4+ пзз~+ пэз~+ пФ+ Д4) У~ (э) = (Ьэз + Ь~э + Ьо) Р (з) (18 6) откуда вычисляют У,(з).
Однако такой вывод изображающего уравнения, очевидно, неправилен, так как из уравнений (18.!), если принять начальные значения (18.2) равными нулю, в общем случае совсем не следует, что равны нулю также у",(0) и у',"(О). Кроме того, предположение, что !(О) = !" (О) = О, в общем случае также не выполняется. Несмотря на эту ошибку, полученное уравнение (!8.5) при равных нулю начальных значениях (18.2) случайно оказывается правильным. В самом деле, применив преобразование Лапласа при нулевых начальных значениях непосредственно к системе (18,1), мы получим Рн (з) 1 ~ + Ры (э) ! э = Р (э) Рм(э) ! ~ + Рм(э) !'т = О, (1 8.6) что формально совпадает с системой (18,1), если в последней заменить опеРатоР 44/444 на э, а вместо малых бУкв Ун !44 и ! подставить большие.
Г!оэтох4у для решения системы уравнений (18.6) относительно У~ достаточно произвести такую же замену малых букв на большие и в уравнениях (18.3) и (!8.4), в результате чего получается опять уравнение (18.5). Так как теперь это уравнение получено безупречно правильным путем, то отсюда следует, что в частном случае равных нулю начальных 106 ОБЫКНОВЕННЫС ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1гл. 3 значений способ исключения всех неизвестных, кроме одной, приводит к правильному результату, но незаконным путем.
К такому же результату можно прийти и более сложным путем„если неизвестные начальные значения у",(О) и у',"(О) вычислить так, как было указано выше, и затем при преобразовании Лапласа уравнения (18.4) подставить эти начальные значения в изображающее уравнение. Тогда окажется, что дополнительные члены, которые появятся в изображающем уравнении от этих начальных значений, и члены, в которые войдут начальные значения возмущающей функции ?(1), взаимно уничтожатся. Однако при этом следует предполагать, что функция ?(г) допускает многократное дифференцирование. Если заданные начальные значения (18.2) не равны нулю, то изложенный незаконный путь, т. е.
приведение системы дифференциальных уравнений к одному-единственному уравнению с последующим преобразованием Лапласа, конечно, не приводит к цели. Между тем непосредственное применение преобразования Лапласа к заданной системе дифференциальных уравнений представляет собой безупречный способ решения, применимый в любом случае и требующий наименьшей затраты времени. ??оэтому следует предостеречь от пока еще широко распространенного способа решения системы дифференциальных уравнений путем приведения ее к одному-единственному уравнению для одной неизвестной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
