Дёч Г. - Руководство к практическому применению преобразования лапласа и Z-преобразования (951799), страница 17
Текст из файла (страница 17)
3 Из сказанного вытекают следующие преп,яуи(ества метода преобразования Iуапласа 1. Для решения системы дифференциальных уравнений методом преобразования Лапласа необходимо решить толькооднуединственную систему алгебраических уравнений, а именно систему, определяющую изображения У( искомых функций. 2. Начальные значения входят в эту систему с самого начала и поэтому учитываются автоматически, в то время как при применении классического метода предварительно необходимо найти сначала общие решения (для систем уравнений это весьма сложно) и затем подобрать постоянные интегрирования так, чтобы были удовлетворены начальные условия, что приводит к необходимости решения еше одной системы линейных уравнений.
Часто встречающийся на практике случай нулевых начальных значений приводит при применении преобразования Лапласа к особенно простым вычислениям, между тем как при применении классического метода он не дает никакого облегчения. 3. Наконец, важное преимушество заключается в том, что катндая неизвестная функция может быть вычислена сама по себе, незааисимо от вычисления остальных неизвестных функций, что при пользовании классическим методом при заданных начальных условиях в общем случае невозможно. Это преимущество особенно ценно в тех случаях, когда практический интерес представляет определение только одной-единственной неизвестной, вычисление же остальных неизвестных необязательно.
Теперь легко понять, как следует поступать в общем случае. Пусть задана система из и линейнык дифференциальных уравнений и-го порядка, определяющих и( неизвестных функций У2(1), ..., У ((). Введем многочлены аыз" + В(ьзп (+ ... + С(2 = Р(2 (г) и применим символическую запись ип ~~ — 1 /4 1 ам — „+Ь;А „, + +С~А=Р(А( — ), Тогда рассматриваемую систему уравнений можно будет записать в следующем виде: Ри ~ — „() У1+ Рп (и() У2+ + Р~т (и() Ут = 6((1), (15.5) Рт! ( Ш ) У! + Рт2 ( Ш ) У2+ ' ' ' + Ртт ( и ) Ут 1т (1) Если для каждой функции уь(1) запань( и начальных значений у (О), у'(О), ..., У(„" п(0) (Й=1, 2, ..., и), (15.6) $ !М НОРМАЛЬНАЯ СНСТСМЛ СОВМЕСТНЫХ ДИФФЕРЕНЦ, УРАВНЕНИН Зэ то в результате преобразования Лапласа системы (15.5) мы получим систему линейных алгебраических уравнений с и неизвестными У.(з) =ВЬ (1)) Эта система аналогична системе (!5.1), только теперь много- члены рм(з) будут не первой степени, а степени и, з в правые части изображающих уравнений войдут кроме функций РА(з) = = ВЦА(1)) многочлены г,(з) степени и — 1, зависящие от начальных значений (!5.6).
Решения системы (15.5) будут иметь вид, аналогичный решениям (15.2), и так же, как и раньше (см. равенства (!53) и (15.4)), могут быть представлены в виде суммы определителей. Порядок определителя .0 (з) = де1!1 рех (з) !! (15.7) равен т. Мномсителями при Р!,(з) будут миноры этого опреде. лителя порядка гп — 1.
Множителями при начальных значениях, если развернуть определитель О(з) по элементам аи„йм, ... первых столбцов, также будут миноры порядка и — 1. В этом параграфе мы введем следующее существенное предположение: определитель, составленный из коэффициентов ась при старших производных дифференциальных уравнений, не равен нулю, т. е. де1 !! а;А ~~ М О. Будем называть такой случай нормальным случаем. Из предположения (15.7) вытекают три важных следствия: 1.
Если развернуть определитель !1)(з), перемножив для этого многочлены рм(з), то коэффициентом при наивысшей степени з " будет де11)а!А!Е Следовательно, В(з) есть многочлен степени тп. Определители, входящие в правую часть равенства (15.3), после их развертывания будут многочленами относительно з самое большее степени (гп — 1)и. Поэтому послсделения Определителей, входящих в правую часть равенства (!5.3), на 0 будут получаться рациональные функции, числители которых будут иметь степени более низкие, чем знаменатели. Следовательно, этн рациональные функции обладают оригиналами, которые можно вычислить посредством разложения на простейшие дроби.
2. Члены, содержащие Р!(з) (см. равенство (15.4)), дают при Обратном преобразовании в пространство оригиналов интегралы типа свертки, составленные из 1!(1) и оригиналов рациональных функций. Эти интегралы непрерывны даже в том случае, если 1!(1) Обладают разрывами. Следовательно, отклики ул(1) не совершают скачков Вместе с возбуждениями 7!(1) (если последние такие скачки совершают).
Это означает, что соответствующая 90 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1гл. з физическая система не обладает способностью совершать скачки и действует стабилизирующим образом, 3. Можно убедиться '), что решения уа(1) действительно принимают заданные тп начальных значенцй (15.6) совершенно независимо от того, как эти начальные значения выбраны.
Следовательно, в нормальном случае имеется полная свобода выбора начальных значений. В случае системы совместных дифференциальных уравнений, не подходящей под категорию нормального случая, сформулированные следствия не выполняются, что всегда необходимо иметь в виду. Можно сказать, что решения системы дифференциальяых уравнений в нормальном случае ведут себя в точности так же, как решение отдельного дифференциального уравнения.
Вообще рациональные функции, на которые умножаются начальные условия [см. равенство (!5.3)), дают при обратном преобразовании Лапласа показательные функции, иногда умноженные на степенные функции, причем в степени показательных функций входят нули определителя О(з). Этот определитель в рассматриваемом случае играет такую же роль, как многочлен р(з) в случае отдельного дифференциального уравнения. Указанным множителям при начальных значениях соответствуют собственные колебанвя физической системы, совершаемые ею прн отсутствии возбуждений, т. е, такие колебания, которые физическая система совершает, будучи предоставлена самой себе.
Для нормальной системы совместных дифференциальных уравнений можно ввести такие же понятия, как и для отдельного дифференциального уравнения. Если все начальные значения (15.6) равны нулю, то из системы дифференциальных урав-. нений (15.5) после преобразования Лапласа получается система линейных алгебраических уравнений: рг1 (з) уг(з) + " + рг. (з) у,. (з) = ~г (.), (!5.8) (з) у (з) + " + р (з) у (з) = г (з). Предположим, что все функции в правых частях уравнений, за исключением одной, тождественно равны нулю. Пусть этой не равной нулю функцией будет гп(з).
Решения, соответствующие этому частному случаю, обозначим через Уг„, ..., У „. Для их вычисления воспользуемся правилом Крамера. С этой целью вычеркнем в определителе р-ю строку и т-й столбец, вычислим получившиеся миноры Вп,(а) и составим выражения 1 тп(з) =( 1)" гв(в) гп(з) (тг = 1, ..., пг). (15.9) '1 Си. В о е Г в с Е О., г!апггвггсп оег !ар!все-Тгапв1огпгаиоп, т. Н, стр. 3!5, Вггггьапвег, Бава! ппо' сшщ!Кать 1955. $ Кй НОРМАЛЬИАЯ СИСТЕМА СОВМЕСТНЫХ ДИФФЕРЕНЦ. УРАВНЕИИН З! Если ввести обозначение (15.10) то решения Учя(в) примут вид ~ У,„(в) 6„,(э)РР(в) (Т=1, ..., т), (15.11) аналогичный решению (12.11).
Как уже было отмечено выше, миноры А!и,(э), будучи многочленами относительно э, ил1еют степень более низкую, чем определитель Р(э), так как в нормальном случае 0(в) имеет самую высокую степень, равную тп. Это означает, что для каждой рациональной функции О„„(э) существует оригинал а„„(!). Таким образом, в том частном случае, когда все возбуждения, за исключением ! (!), отсутствуют, мы получим после перевода уравнений (15.11) в пространство оригиналов решения рассматриваемой системы дифференциальных уравнений в виде ~ У,Р(!)=й'Р.(т)'1Р(!) ~ (Т=1, ..., т), (15.12) аналогичном решению (12.!0) отдельного дифференциального уравнения, В оббцем случае, когда имеются произвольные возбуждения, решения системы вследствие ее линейности получаются сумми- рованием по р решений (15.!1) или (15.!2). Как и в случае отдельного дифференциального уравнения, выражения ОР,(э) называются передаточньбми функциями (или коэффициентами передачи), а выражения д„,(!) — весовыми функциями, г1ричем теперь имеется з виду действие р-го входа иа т-й выход.
Всего для системы из т дифференциальных урав- нений имеется т' передаточных функций и тз весовых функций (1 (!6 (т, 1 (у (т). Так же как и в случае отдельного дифференциального урав- нения, в практике важную роль играют отклики на некоторые специальные возбуждения (см. $13).
Если !А-ы возбуждением является импульс б, в то время как остальные возбуждения от- сутствуют, то з качестве отклика на ч-м выходе получается УРМ 6 Йяч (!)~ (15.13) причем под дя,(!) следует понимать, как и в п. 2 й 13, распре- деление, полагая при этом д„„(!) = 0 при ! < О, вследствие чего (и — 1)-я производная получает в точке ! = 0 скачок высотой в единицу. Возбуждениям 1Р(!)= и(!) соответствуют отклики на еди- ничный скачок, овыкиованиыв диффвгенцилльныв тгхвиения [гл, з 99 Если р-м возбуждением является колебание егэы и если все нули многочлена О(з) лежат в левой полуплоскости Кеы < О, то у„„(Г) при 1- оо стремится к установившемуся состоянию у„„.(!) = 0„,(1~) ег", (15.
14) которое можно назвать огкликоьч на колебательное ыозбуждение (откликом на т-м выходе на синусоидальное возбуждение на р-м входе). Картина изменения передаточной функции 0„,(ы) иа мнимой оси, т. е. картина изменения функции 0„„(1ы), представляет собой чаетотнуго характеристику, Для системы из и дифференциальных уравнений существует глз ч а статных ха р актер исти к. Конечно, указанные понятия имеют смысл только в том случае, когда система допускает свободное варьирование возбуждений. Однако, как показывает приводимый ниже пример нормальной системы, это бывает не всегда.
Пример из механики Решим следующую задачу. Пусть материальная точка брошена из какого-нибудь пункта над поверхностью Земли под углом к горизонту с некоторой начальной скоростью. Найдем траекторию движения этой частицы с учетом влияния врагцения Земли и в предположении, что сопротивление воздуха отсутствует. Введем систему координат, жестко связанную с земным шаром.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
