Дёч Г. - Руководство к практическому применению преобразования лапласа и Z-преобразования (951799), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Затем в $14 мы рассмотрим однородное дифференциальное уравнение, т, е, случай, когда )(1):ЕО, но начальные значения примем произвольными. Сложив оба найденные решения, мы получим решение общей задачи, т. е. решение неоднородного дифференциального уравнения с произвольными начальными значениями. Итак, рассмотрим дифференциальное уравнение (12.1) с начальными условиями р(О)=у'(6)= ... =р!Я-н(О)=6. (12.2) 'Тогда изображающим уравнением на основании правила т)будет злу+с„1зч 'У+ ...
+с,зУ+соу =р(з). (12.3) Его решение, если ввести для сокращения записи обозначение з" + с„,з" '+ ... +с э+ со= р (з), (12.4) имеет вид (12.5) У (з) = †, Р (з). Найдя теперь оригинал для изображения 6 (з) =— ! = р(з) н применив затем теорему свертывания, мы сразу получим искомое решение у(1) заданного дифференциального уравнения. Отыскание оригинала для изображения 0(з) выполним, как и в ранее рассмотренных случаях, посредством разложения функции 6(з) на простейшие дроби. Для этого прем!де всего ОПрЕдЕЛИМ НУЛИ СС1, ая, ..., ач МНОГОЧЛЕНа р(З), т. Е. ПрЕдСтавнм р(з) в виде произведения линейных множителей ') Р (З) = (З П1) (З аа) (З Пл) (12.6) Определение нулей при больших значениях п посредством классического метода требует чрезвычайно много времени. ') Определение нулей является первым шагом также в классическом методе решения дифференциального уравнения (12.1).
Уравнение р(з) = О, получашшееся при пользовании этим методом, называется карактеристическим уравнением. а ш нгоднОРОднОе диФФеРенциАльное урлвггение л.ГО порядкА 63 Однако если в распоряжении имеется электронно-цифровая вычислительная машина, то даже при и = 20 или 30 нули мо. тут быть вычислены с большой точностью в течение немногих минут '). Уже при рассмотрении дифференциального уравнения второго порядка (и = 2) выяснилось, что наличие равных нулей требует особого подхода; поэтому и здесь мы рассмотрим этот случай отдельно. Первый случай: все нули а„различны При неравных гх разложение функции 6(з) на простейшие дроби имеет вид Оно показывает, что функция гг'(з) имеет простые полюсы а$, аа, ..., гх,.
коэффициенты г($, г(2, ..., 6$„(вычеты полюсов) мо- гут быть найдены значительно проще, чем это было сделано в 9 11 при рассмотрении частных случаев, следующим образом. Умножим равенство (12.7) на з — а$, тогда первое слагаемое в правой части будет состоять только из коэффициента г($, в то время как вгв остальные слагаемые будут содержать множи- тель з — схг. Если мы будем приближать з к сг$, то все слагаемые $ правой части, кроме первого, исчезнут, т.
е, в правой части останется только коэффициент г($ без всякого множителя. Най- дем теперь предел, к которому стремится левая часть приз- а$. Имея в виду, что р(а$) = О, мы получим а — и, ! 1 з.+а, р (з) з.+а р (з) — р (о,) р'(и,) ' )пп — =!Ип з — о, следовательно, 1 г($ =— р'(и,) ' Аналогичным образом мы найдем остальные коэффициенты д2 °,, ~ с(». пг-,,...,г( 1 1 2 ° (П) . а (ГЗ) з ') Мп!$ег $). Е., А вейоб о$ аопппв а)яеЬга)с еяпа1!опз пыпк ап ап(о. ване согпршег, Ма1Ь. ТаЫез А!бз Совр.
1О ($956), 208 — 2$5; Е г а и )г %. Ь., г)пб)пв хегоа о1 агЬ)1гагу 1ппс1юпз, зопгп. о1 (йе Аааос!а1юп 1ог Соври()пе Маей)пегу 5 (!958), $54 — 160. Методы, изложенные в этих работах, с успехом используются, иапример, в Космической технологической лаборатории в кебопдо Веасй, Са1ногп1а (письмеииое сообщение). 64 ОЬЫКНОВЕННЫГ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1гл. э и разложение функции 6(з) на простейшие дроби б)дет иметь ВИД а гт(з) = — = ~4 —— 1 Ъ1 1 1 (12.8) Р (41 р'(ау) г — ат ' ч-1 Таким образом, для разложения функции 0(з) на простейшие дроби следует составить производную многочлена р(з) и вычислить значения р'(ат), что гораздо проще решения системы линейных уравнений с и неизвестными.
Для практических вычислений иногда удобно использовать следующие формулы. Согласно правилу дифференцирования произведения, мы имеем р'(3) =(а — а,)(з-а )... (3 — а„)+(3 — а,)(з — а,) ... (з-а,)+..., следовательно, р' (а,) = (а, — аг) (а1 — аз) ... (а, — а„), р'(ад) =(а,— а,)(ад — а,) ... (а,— а„) н т. д.
Таким образом, определение коэффициентов г(ь ..., ~1„ сводится к вычислению произведений. Применим эти формулы к численному примеру, рассмотренному в 6 11. Мы имели там р (3) = (3'+ 16) (3'+ 103 + 74), поэтому р' (а ) = 81 (5 — 31) (5+ 11/) = — 320+ 4641, 1 1 — 320 — 464! — 20 — 291 Р'(а,) — 320 + 4641' 320' + 464' 19 666 Так как в том примере прн функции 11р(з) был еще множитель !12, то только что вычисленный коэффициент необходимо умножить на !12, после чего мы получим то же значение для дь что и на стр.
60, но со значительно меньшей затратой времени на вычисления. Вернемся к формуле (12.8). Изображению 0(з) соответствует оригинал (12.9) ч Оригинал у(1), соответствующий изображению (12.5), т. е. решение дифференциального уравнения (12.1) при начальных условиях (12.2), мы можем представить теперь в следующем э м! неодногоднов днеезгенцикльнов зжлвненнв п.гопояядкх 65 простом виде: ! у (/) =- а (1) / (!) ( (12. 10) ! У (з) = 6 (з) Р (з) ( (!2.1 1) По этой причине при всех расчетах физической системы, описываемой дифференциальным уравнением, остаются возможно дольше в пространстве изображений и переходят в пространство оригиналов только после того, как нозннкаег необходимость в получении численных данных о выходной функции у(!). Ниже мы неоднократно встретимся с примерами подобного рода, Функция О(в), зависящая от постоянных с„ь ..., сгь т.
е. от внутренней структуры физической системы, и связывающая функции г"(з) и у(з) в формуле (12.11), называется коэффициентом передача, или передаточной функцией. Соответствующая функция в пространстве оригиналов, т. е, д(!), называется в математике функцией / рина для рассматриваемой задачи, а в электротехнике — весовой функцией (см. в связи с этим сноску на стр. 46). Таким образом, практическое применение полученных результатов разбивается на следующие операции: !) вычисление пулей функции р(з).„ 2) определение оригинала д(!) по формуле (!2.9); 3) вычнслепне свертки (!2.10). Последней операции, как было показано в примере, разобранном на стр.
59 — 61, иногда можно избежать, если найти в явном виде изображение Р(з), а затем перевести решениеР(з)/р(з), рассматриваемое как единое целое, из пространства изображений в пространство оригиналов. Еще один пример такого рода мы приведем на стр. ?1 — ?3. В электротехнике для функций /(/) и у(!) применяются названия, сразу подсказывающие их роль в рассматриваемом физическом процессе. Если дифференциальное уравнение описывает электрическую цепь, то функция /(!) может означать, например, напряжение, приложенное к входным зажимам, а функция у(1) — ток на выходе, в связи с чем в этом, а также в других случаях возбуждающую функцию /(/) называют входной функцией, а функцию у(!) — выходной функцией. Иногда функцию /(!) называют также возбуждением, а функцию у(!)— откликом на возбуждение. Эти названия переносят также в пространство изображений и называют Р(з) входной функцией или возбуждением, а У(з) — выходной функцией или откликом на возбуждение. В пространстве изображений связь между входной и выходной функциями имеет особенно простой вид; Ы овыкноввпныв диаевию!циальиыв яравнения !гл.
а Связь между функциями Р, У и О нагляднее всего изображается прн помощи следующей блок-схемы: ~(О! У -Я У, В этом случае У,=О,У, следовательно, У,-ОО,Р; поэтому обе системы могут быть заменены одной системой спе- редаточной функцией 66,: Применение блок-схем в пространстве изображении приводит к очень наглядным соотношениям, особенно в случае автоматических систем с обратными связями. Поясним это на простом Рис.
!2.!, Система с обратной сиянью. Рис. !2.2. Блок-схема нля системы с обратной связью. примере (рнс. 12.1). Пусть выходная функция У, блока 6 пн. тает блок Н, лежащий на линии обратной связи и создающий на своем выходе функцию Уя. Эта функция подводится к элементу .6, к которому подается также входная функция Р и который создает разность Р— Уе (иногда также сумму Р+ Уа). физическая система представлена в этой схеме блоком, обозначенным буквой 6. Величина 6 является единственной, которую необходимо знать о рассматриваемой физической системе; последняя полностью характеризуется этой величиной.
Функция Р «входит» в блок, функция У «выходит» из блока. Блок-схема особенно удобна в случае нескольких физических систем, соединенных между собой. Так, например, если выходная функция первой системы с передаточной функцией 6 служит входной функцией второй системы с передаточной функцией 6!, то прн помощи блоков такая связь изображается схемой % !5! Иеодног'Одное диФФеРенциАльное уРАВИБние а ГО пОРядкА 67 Эта разность попадает в виде входной функции н блок 6 (рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
