Дёч Г. - Руководство к практическому применению преобразования лапласа и Z-преобразования (951799), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Начало О этой системы координат поместим в точку, из которой начинается движение материальной частицы. Ось х направим на юг, ось у — на восток, а ось г совместим с направлением ускорения свободного падения, т. е. с вертикалью (которая лишь незначительно отклоняется от направления радиуса земного шара). Если точка О расположена на географической широте р, то уравнениями движения материальной частицы (независимо от ее массы), ках известно, будут х" =2гауг з(п~, у" = — 2га (х' я'п р+ г'сов 5), ха 2ву' соз р — д, (15.!5) н перепишем уравнения движения в таком же виде, как где га есть угловая скорость вращения Земли.
Введем для сокращения записи обозначения созб=а, з(пр=й о 1О! НОРМАЛЬНАЯ СИСТЕМА СОВМЕСТНЫХ ДНФФЕРЕНЦ. УРАВНЕНИИ 93 уравнения (15.5). Мы получим (х" + Ох'+ Ох) + (Оу" — 2вЬу'+ Оу) + (Ог" + Ог' + Ог) = О, (Ох" + 2вЬх'+ Ох)+ (у" + Оу'+ Оу) + (Ог" + 2ааг'+ Ог) = О, (Ох" + Ох'+ Ох) + (Оу" — 2аау'+ Оу) + (го + Ог'+ Ог) = — д. (! 5.16) Определитель из коэффициентов прн старших производных равен 10 0 010 =1, 00 1 т. е. не равен нулю, следовательно, перед нами нормальный случай.
Поэтому могут быть заданы любые начальные значения, и полученные затем решения будут удовлетворять этим начальным значениям. Так как начальное положение материальной частицы совпадает с точкой О, то х(0) О, у(0) О, г(0) = О. Составляющими начальной скорости пусть будут х' (0) = и, у' (0) = о, г' (0) = а, После преобразования Лапласа система дифференциальных уравнений (15.15) перейдет в систему линейных алгебраических уравнений яоХ вЂ” и — 2вЬя1' = О, 2вуяХ+ язу — о + 2ваяХ = О, — 2ааяу+ яоХ вЂ” в =- —— е Б или яоХ вЂ” 2вйяу и 2айяХ+ яву+ 2ваяЯ = о, (15.!7) — 2ваяу+ я Я = в — —.
о И о Определитель В(я) равен яо — 2аЬя 0 0(я) - 2аЬя я' 2вая, 0 — 2вая я' илн, так как а'+ Ь' = 1, В(я) = я'(яо+ 4ао) 94 овыкиовяшыв диввеезнцилльные кеьвнения |гл. з Согласно правилу Крамера, мы имеем и — 2вбз 0 о з' 2ваз )9 (з) Х (з) = пс — — — 2ааз з' У Б откуда ), 4взоз ) 2вЬ ~ з +4в' з'!зз +4в'))+ з!зз+4вз) 4взоЬ 4взаЬ оз (зз.!. !вз) + в зз !зз !. 4вз) (15.!8) Аналогичным образом мы получим ввЬ ! 2ва 2во у(з) = — сс + о —.— — пс ) з |зз-!-4вз) ' зз.!.4вз з |оз.!.
4вз) +в зз (зз+ 4вз) 15.19 ( ) 4взссЬ 2ва ~ (З) И з ( з + 4 з) + О . (зз + ~ з) + ! 4взЬ' ) ! ! 4вгаз + ~ ( ~я ~ 4вз + зз (зз.Ь 4вз) ) а ( з (зз+ 4вз) + зз (зз+ 4вз) ) ° (15 20) Имея в виду, что 4в' ! зз (зз Ь 1вз) зз з !зз Ь 4в') ' найдем оригиналы, отвечающие изображениям Х(з), У(з), Е(з), в таблице соответствий под № 38, 54, 83 и 113 и окончательно получим х(/) =- — (а' ° 2в/+ Ьозш 2а/)+ — Ь яп'а/— 2в в — — аЬ(2а/ — яп2а/)+ ~ аЬ (аз/з — з|п'а/), (15.21) 2в 2в' у(/) = — — Ь з|п'а/+ — з|п 2в/ — — аяп'в/+ и и в в 2в о\ + ~, а(2вг — з!п2а/), (15.22) я(/) = — аЬ (2а/ — яп 2а/)+ — аяпзв/+ 2в а + — (Ьз 2а/+ а'яп 2а/) — 2 з (Ьзаз/з + азяпз а/) (15,23) При в- О, т. е. в случае, когда Земля принимается неподвижной, получим обычные уравнения движения материальной частицы в поле тяготения Земли: к(/) = и/, у(/) = о/, г(/) в/ — я /2, $ м! АномАльнАЕ снстемА соВместных диФФеРьнц, уРАВнении 95 $16.
Аномальная система совместных дифференциальных уравнений с выполнимгями начальными условиями Если коэффициенты при старших производных системы совместных дифференциальных уравнений удовлетворяют условию бе!!!ам!1-0, (!6.1) то такую систему будем называть аномальной. Аномальная система обладает совсем иными свойствами, чем нормальная система (см. и. ! — 3 на стр. 89 и 90). А именно, определитель 0 (з) = йе1 !! рм (з) !! при допущении (!6.1) является многочленом относительно з степени, меньшей та, поэтому при составлении дробей в решениях в пространстве изображений могут получаться рациональные функции, числитель которых имеет одинаковую или даже ббльшую степень, чем знаменатель.
Таким рациональным дробям соответствуют в пространстве оригиналов ие обычные функции, а обобщенные функции [см. Добавление, формулу (!9)], вследствие чего решения обладают свойствами иными, чем в нормальном случае. Далее в аномальном случае заданные начальные значения, если им действительно должны удовлетворять решения, должны подчиняться определенным условиям, следовательно, они не могут быть выбраны совершенно произвольно, Если начальпыс значения, требуемые физической постановкой задачи, не удовлетворяют этим условиям, то поставленная задача в традиционном математическом смысле неразрешима. Однако с таким результатом практика не может примириться, так как даже при подобного рода начальных значениях физическое явление все же должно как-то протекать. Как мы увидим ниже, теория распределений указывает выход из этого положения.
Сказанное проще всего пояснить на частном примере, позволяющем проследить за решениями во вссх деталях. Рассмотрим следующую систему двух совместных дифференциальных уравнений с двумя неизвестными функциями; у',+у, + 2у = 1(1), (16.2) у + бу1+ 3уэ= 0 (!6.3) Относительно возбуждения !(!) предположим, что оно непрерывно, за исключением изолированных точек, в которых оно изменяется скачкообразно, следовательно, обладает предельными значениями слева н справа. В частности, должно существовать предельное значение !(+О) (что, например, в случае возбуждения !(1) = 1-'э не соблюдается). Так как в уравнения (16.2) зо ОБЫКНОВЕННЫЕ Дг<ФФЕРЕНРД<АЛЬНЫЕ УРАВНЕН!!Я !Гл. 3 и (16.3) входят и первая и вторая производные от уь но только первая производная от уь то может идти речь лишь о начальных значениях у, (+О), у',(+О) и у (+О).
Определитель, составленный из коэффициентов прн старших производных у" ,и у", равен Следовагельно, перед нами аномальный случай. Сразу видно, что указанные три начальных значения, если потребовать, чтобы они были совместимы со структурой уравнений (!6.2) и (163), не могут быть выбраны произвольно. В самом деле, в уравнение (16.2) входят только величины, для которых должны быть заданы начальные значения, вторые же производные в нем отсутствуют. Приближая в уравнении (16.2) ! к нулю, мы получим у',(+О)+у,(+О)+2ут(+0)=1(+О). (!64) Если начальные значения действительно должны приниматься решениями системы уравнений (!6.2) и (16.3), то они цолжны удовлетворять соотношсиию (16 4), Заметим, что такого рода связи между начальными значе- янями существуют для любой аномальной системы.
Если для системы (15,5) определитель т-го порядка де! !!ап,!|, составлен- ный из коэффициентов при высших производных, равен нулю, то ранг') этого определителя будет г(т. В этом случае, как известно нч линейной алгебры, можно из т — г уравнений пол- ностшо исключить высшие производныс. Следовательно, в этнх уравнениях будут содсрх<аться только такие производные, кото- рым можно задать начальные значения (15.6).
Если в этих уравнениях мы будем приближать 1 к нулю, то получим опре- деленные соотношения, которым должны удовлетворять только что указанные начальные значения. При определенных усло- виях, именно когда такой метод допускает повторение, могут существовать и другие соотношения, которым так>ко должны удовлетворять начальные значения, В рассмотренном примере нам не пришлось прибегать к исключению высших производных, так как одно из уравнений системы с самого начала не содержало вторых производных.
С учетом того, что нам понадобится в следую<цих парагра- фах, введем обозначения у (+О) — а, у,(+О) — Ь, у (+О)< а !) Рангом определителя нааываетсн число строк (нли столбцов) в наивысшем не равном нулю миноре. 4 1б! АПОМАЛЬНАЯ СИСТЕМА СОВМЕСТНЫХ ДИФФЕРЕНЦ. УРАВНЕНВ!И йу н предположим, что и, Ь, с действительно удовлетворяют соот- ношению (16,5) а+ Ь + 2с /(+О). Это соотношение будет выполнено„если мы, например, примем, что а = Ь = с = [(+О) = О. Применив к системе уравнений (16.2) и (16.3) преобразова- ние Лапласа, мы получим для определения функций У~(з) и У,(з) в пространстве изображений систему линейных алгебраи- ческих уравнений (з + 1) У, (з) + 2УЕ (з) = г" (з) + а, (з'+ 5) У, (з) + ЗЕУ, (з) = аз + Ь + Зс, (16.6) Определитель Р(з) равен Р(з) зв+ Зз — 10 (з — 2)(з+ 5), Следовательно, решениями в пространстве изображений будут У, (з) = (ЗЕГ (з) + аз — 2Ь вЂ” бс), У, (з) = —,1 [- (эв+ 5) г (з) + (а+ Ь + Зс) з — 5а+ Ь + Зс].
Путем разложения на простейшие дроби мы получим Р( ) [ б/7 + !5/7 1+ 2 а-Ь вЂ” Зс + 1 ба+ 2Ь+бс ~с — 2 с+5/ 7 с — 2 7 с+5 Перейдя в пространство оригиналов, мы найдем для функции д~(/) выражение д1 (/) = 7 / (/) с (бе" + 15е в') + — (а — Ь вЂ” Зс) ем + 7 (ба+ 2Ь + бс) е-в~. (16,3) Функция д~(/) по своему характеру ничем ие отличается от функций, полученных В качестве решений в нормальном случае. Совершенно иной характер имеет решение де(/). В решении Ув(з), полученном в пространстве изображений, множитель при г'(з) представляет собой рациональную функцию, числитель которой имеет такую же степень, как и знаменатель, следовательно, оригинал, соответствующий этой функции, будет распределением.
Однако перевод решения Уз(з) в пространство оригиналов можно осуществить также элементарным путем. Для этого при разложении множителя прн с(з) на простейшие дроби следует выделить из него постоянную часть, после чего останется рациона.иьная функция с числителем, степень которого будет ниже иа ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРЛВНЕНИЯ [ГЛ. 3 степени знаменателя. Выполнив такое разложение, мы получим 9/7 30/7 [ 3 — а+Ь+за 2 5а+2Ь+ба (16.9) Переведя это решение в пространство оригиналов, мы найдем решение уз(С): уа(/) = — / (/) — — /(/) а(9ез' — 30е ")+ 7 + — „(- а+ Ь + Зс) еги + — (5а+ 2Ь + бс) е-"'. (16.10) Мы видим, что теперь в противоположность нормальному случаю возбуждение /'(/) входит в решение ут(/) не только под интегралом типа свертки, который остается непрерывным даже в случае прерывного возбуждения /(/), но также в качестве отдельного слагаемого.
Следовательно, решение у,(/) имеет те же разрыеьи что и возбуждение /" (/). Если возбуждение в какой-нибудь точке изменяется скачкообразно, то такой же скачок совершает н решение ут(1). Таким образом, в случае аномальной системы среди откликов на возбуждения могут быть скачкообразные отклики. Для нормальной системы это невозможно. Для того чтобы выяснить, какие начальные значения имеют решения, составим сначала производную ун Воспользовавшись теоремой 26.1, мы получим у[(/) = 3~(1)+ — ~(/) а (12ем — 75е и)+ + — (а — Ь вЂ” Зс) е" — — (5а+ 2Ь+ бс) е-ь'. (16.11) 4 5 7 7 Следовательно, у, (+О) = а, 1 у',(+О) =3/(+О) — За — 2Ь вЂ” бс, Ут(+О) = — /'(+О)+ а+ Ь+ Зс, (16,12) Так как а, Ь, с должны удовлетворять соотношению (!6.5), то у',(+О) = Ь, у,(+О) = с, т.
е, решения действительно принимают заданные начальные значения. П р н м е ч а н и е. Начальные значения можно найти также непосредственно по изображениям У[(з) н Ут(з), если воспользоваться теоремой 32,2 о начальных значениях. й!г1 системА с невыполнимыми нАчяльными условиями зй й 17.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
