Дёч Г. - Руководство к практическому применению преобразования лапласа и Z-преобразования (951799), страница 23
Текст из файла (страница 23)
В эту систему неизвестная ее входит только сама, без своих про- изводных. Следовательно, определитель (16.1) равен нулю, т. е. полученная система аномальна. Поэтому мы должны считаться с возможностью, что искомые функции в момент времени ! = 0 изменяются скачкообразно, причем при 1 < 0 эти функции равны пулю. В этом случае целе- сообразно искать решение системы (21.2) среди распределений из пространства Ы' и соответственно этому заменить обычные производные обобщенными, а интеграл — сверткой.
Мы получим 1 РЕ+ Ю+ И е 1 = е(!), Е Р!' — е,=О. Применив правила !1' и 1Х' (см. Добавление), мы перейдем к изображающим уравнениям ') 181+И+ Я вЂ” 1 = Е, ! 1 з1 — Ее=О $2П АНОМАЛЬНЫЙ СЛУЧАЙ УРАВНЕНИЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ 1Р9 следовательно, 1(+О) =1( — О). Таким образом, ток подходит к своему начальному значению непрерывно.
Множитель перед Е(з) в уравнении (21.5) имеет числитель, степень которого равна степени знаменателя, следовательно, этому множителю соответствует распределение. Для того чтобы избежать оперирования с распределением, разложим множитель перед Е(з) на два слагаемых: Езз йз+Я ум я оз+.с 1 газ+ оз.ь с 1 В(з) Слагаемое В(з) обладает оригиналом, следовательно, после пе. ревода уравнения (21.5) н пространство оригиналов мы получим ес(1) = е(1) — Ь (1) ее(1). (21.9) Так как в это соотношение е(1) входит не только под знаком ин. теграла типа свертки, но также изолированно, то напряжение на выходе повторяет все скачки напряжения, которые возможны на входе.
Таким образом, четырехполюсник представляет собой систему, допускающую скачкообразные изменения напряжения (см. $ 16) . Из уравнения (21.9) следует, в частности, что') е,(+О) =е(+О). Так как четырехполюсник при 1(0 был в состоянии покоя, то ео(-О) О. (2! .11) Итак, мы пришли к выводу, что правостороннее начальное значение напряжения не совпадает с левосторонним начальным значением (за исключением того частного случая, когда е(+О) = О), следовательно, напряжение ео(т) изменяется при 1 = 0 скачкообразно от нуля до значения е(+О). Таким образом, аномальная система уравненийэлектрической цепи ведет себя в отношении начальных значений в точности так же, как аномальная система дифференциальных уравнений.
А именно, при включении напряжения в электрическую цепь, находившуюся до этого н состоянии покоя и, следовательно, имевшую нулевые левосторонние начальные значения токов и напряжений, правосторонние начальные значения пи в коем случае не должны быть все равны нулю. С математической точки зрения этот результат после сказанного в $ !6 и 17 не является неожиданным. Однако в технической литературе он дал повод к дискуссиям — к попытке увидеть за этим результатом какуюто проблему, хотя в действительности никакой проблемы здесь ') Это соответствует физически наглядному представлению. В самом деле, поскольку конденсатор был без заряда, входное напряжение сразу передастся иа выход. 12О ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАЕНения (гл.
3 Е ш )(1) — ео(1) =0 Будем рассматривать операторы прн неизвестных как обычные коэффициенты и вычислим неизвестные путем исключения, при- менив, например, правило .Кбамера. Для ео мы получим урав- нение Š— „", +Я+3~ о(т е(1) о 0 ео(1) о (( Е— оп или в развернутом виде Š— (ео(г)+Юо(г)+8~ ео(т)о(т=Š— „, е(1), (21.12) о причем молча предполагается, что функция е(1) дифференцируема, что в действительности часто не выполняется [например, если е(1) имеет скачки). Для применения к уравнению (21.12) преобразования Лапласа требуется знать начальное значение ео(+О), которое неизвестно, и начальное значение е(+0), которое известно, так как е(1) задано, После преобразования получим изобража)ощее уравнение Е (БЕо — ео (+ 0) ) -(- ЙЕо+ Š— Ео = 1- (БŠ— е (+ 0) ). (21, 13) Решением его будет о (*)- „~ 1 ~ Е()).( (+О) — (( 0)) (2! ~4) нет, Кажущаяся проблема возникает только в том случае, если исследование электрической цепи производится математически некорректно.
А именно, вместо тога, чтобы заданную систему уравнений электрической цепи непосредственно подвергнуть преобразованию Лапласа, поступают так же, как это иногда делают при решении системы дифференциальных уравнений (см. й 18): путем исключения оставляют из заданной системы одно-единственное уравнение для той неизвестной, которая представляет наибольший интерес для проводимого исследования. Покажем для наглядности на конкретном примере, к чему приводит такой некорректный прием.
Возьмем систему Э ЗИ АНОМАЛЬНЫЙ СЛУЧАЙ УРАВНЕНИЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ 1Э! Сравнив это решение с правильным результатом (21.5), мы увидим: 1. Результат (21.!4) правилен только в том случае, если ео(+0) = е(+0). Однако о возможности такого равенства при примененном способе решения заранее знать нельзя. 2. Если отождествить еь(+0) со значением ео( — 0), которое равно нулю, то получится неверный результат, за исключением того частного случая, когда е(+0) = О. 3. Если, как иногда не долго думая, приравнивают неизвестное начальное значение еь(+0) начальному значению еь( — 0), равному нулю, и, кроме того, полагают равным нулю также известное начальное значение е(+0), что противоречит физической сущности явления, за исключением частного случая, когда е( +0) О, то случайно получают верное уравнение для определения Еь(з). Но тогда из уравнения (21.14) после перехода в пространство оригиналов получают для функции времени ео(!) выражение (21.0), из которого тотчас же следует, что предположение о равенстве нулю начального значения еэ(+0) было неверным (см.
равенство (21.10)!. Это противоречие между выводом и результатом, дававшее иногда повод к дискуссиям, просто разъясняется, если учесть, что две последовательно сделанные ошибки компенсируют одна другую. В самом деле, если в выражении ео(+0) — е(+0) ошибочно положить ео(+0) = 0 и е(+0) = О, то эффект получится таким же, как если бы пра. вильно принять, что е,(+0) = е(+0). Таким образом, вывод правильного уравнения на основе действий, изложенных в пункте 3, незаконен и, кроме того, основан на предположении о дифференцируемостн функции е(!), что пе всегда имеет место. Поэтому следует избегать решения системы уравнений электрической цепи путем приведения к одному уравнению для одной неизвестной.
Электрическая цепь находится под током еще до момента времени ! = 0 Если четырехполюсник в момент времени ! = 0 не находится в состоянии покоя, т. е. по нему уже проходит ток, то в общем случае (( — 0) чь О. Теперь уже нельзя рассматривать ! как распределение из пространства Ы+. необходимо еще заменить в уравнениях электрической цепи производную — ! на О!— М вЂ” 1( — 0)б (см, выражение (17.б)), чтобы таким путем математически учесть прерывнос изменение тока от значения !( — 0) до значения !(+0).
Тогда после преобразования Лапласа вместо зу(з) мы получим в соответствии с выражением (17.7) з 7 (з) — ((-0), 122 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ сгл. з т. е. такое же выражение, какое получилось бы после преобразования дифференциального оператора — с как функции с иссс сЕС пользованием значения Е( — 0) вместо с(+О).
Кроме того, в соответствии с уравнением (20.1) следует заменить ) с(т) с(т о с о ) Е(т)с(т= ) с'(т)с(т+ ~ с(т)с(т= ~ с(т)с(т+у. на В качестве начальныя условий теперь необходимо задать определяемые прошедшим значения с( — 0) и у, где у есть начальное значение й( — 0) заряда конденсатора Й (Е) = ~ с (т) сЕт. с Следовательно, уравнениями электрической цепи будут с с сСос- с(-оСсС;ос со (! сСС с сс) о = е (Е), (21.15) Е (РŠ— Е ( — 0) 6) Первый член правой части совпадает с правой частью равенства (21.5), следовательно, ему соответствует напряжение, определяемое равенством (21.9).
Коэффициенты при Е( — 0) и у представляют собой рациональные функции с числителями, степень которых ниже степени знаменателей, поэтому этим функциям соответствуют некоторые оригиналы р(Е) и с)(Е). Таким образом, для напряжения ео(Е) мы получаем формулу а, (Е) = е (Е) — Ь (Е) о е (Е) — Е (- О) р (Е) — уд (Е), (21.! 8) которые после преобразования Лапласа перейдут в изображающие уравнения Е (БŠ— с ( — 0) ) + !ЕЕ + 5 ~ — + — ") =- Е (з), ! (21.!6) Е.
(БŠ— Е(-0)) Ео=О Отсюда мы найдем Еос Е(сто+э! . с.ло Ео(з)= Е с ЕЕ 8 Е(8) Ь с г 3 с( О) — с у. (21,!7) з зч НЕЛИНЕИНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1яз Так как на основании этой формулы значение е<(+О) существует, то его можно вычислить из равенства (21.17) как предел 1!ш ЕЕ, (е) при помощи теоремы 32.2 о начальном значении. з+ л В результате мы найдем ед(+О) =е(+О) — )г(( — О) — Зу. (21.19) Изложенный выше способ решения системы уравнений путем приведения ее к одному уравнению для одной неизвестной в рассматриваемом случае совершенно непригоден, й 22. Нелинейные дифференциальные уравнения Для нелинейных дифференциальных уравнений несуществует общих, всегда применимых методов интегрирования; не существует также формул, дающих решение в замкнутом виде.
Кроме того, в общем случае решения не могут быть выражены через классические трансцендентные функции. Поэтому приходится удовлетворяться приближенными методами. При применении приближенных методов может оказаться полезным преобразование Лапласа, хотя оно, будучи линейным преобразованием, естественно, <приспособлено» к линейным задачам. Конечно, способ применения преобразования Лапласа к нелинейным уравнениям иной, чем к линейным уравнениям.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
