Дёч Г. - Руководство к практическому применению преобразования лапласа и Z-преобразования (951799), страница 28
Текст из файла (страница 28)
з) у — !(О, ) (Ез+!!) Е! У~ з)= у2 (г,ч )!)(с,+6) э ! (О, з) у — Е (О, з) (Сз+ 6) у' — (!.8 + И) (С8 + 6) (25.6) Введем для сокращения записи обозначение (Ез+ Р) (Сз+ а) = Ь'(з) и перейдем от изображения с переменной у к оригиналу с переменной х. Воспользовавшись соответствиями Мз 49 и 39 из таблицы в конце книги, мы получим Е(х, з) =Е(0, з) сйхй (з) — 1(0, з) ( з)зхй(з), (25.8) 1(х, з) =1(0, з)ейхй(з) — Е(0, з) зйхй(з).
(25.9) Величина Е(э)= — = = у Ез+Р а(з) / Ею+Я Л(г) Ст+ 6 Сг+ 6 называется характеристическим импедансом ливии. Полученные формулы (25.8) и (25.9) и являются решением системы ам) снствмх угхвнвнии для двухпговоднои линии ыз 1гл. 4 РРАВпвпия В чхстных НРОизВОдных уравнений (25.4), если считать, что Е(0, з) и Г(0, з) известны, следовательно, функции е(0, 1) и 1(0, 1) заданы. Если линия имеет конечную длину 1, то обычно вместо одной из этих функций задается значение е или 1 на конце линии х = 1.
Рассмотрим случай, когда заданы напряжения в начале и конце линии, т. е. е(0, 1) и е(1, 1), причем будем считать, что е(1, 1) = О, т. е. что конец линии коротко замкнут. Выполнив вычисления при таком частном предположении, мы из полученного решения найдем сначала путем замены х на 1 — х решение для е(0, 1) = 0 и произвольного е(1,1), а затем путем сложения обоих решений— общее решение. Для того чтобы исключить из равенства (25.8) Г(0, з), а взамен ввести Е(0, з), подставим в равенство (25.8) х= 1 и Е(1, з) = = 0; мы получим 0 = Е (О, з) с)з 11з (з) — 1 (О, з) ', ВЫй (з), откуда найдем А (А) сп И (з) Г(0, З)= д л 1 А() Е(О,З).
Внеся это значение в уравнение (25.8) и применив правило сложения гиперболических синусов, мы получим Е(х, з) =Е(0, з) (25. 10) Аналогичным образом из равенства (25.9) с учетом равенства (25.7), определяющего й(з), найдем Прежде чем приступить к переводу изображений Е',х,з) и Г(х, з) в пространство оригиналов, рассмотрим частный случай. Линия без искажений Полученные формулы значительно упрощаются, когда л(з) является линейной функцией. Так как 6' (з) =- (!.з + Г() (Сз + 6) =- — ОГСЗ+ ) +ЕСТЕС- ~ ) 3, то такой случай будет иметь место тогда и только тогда, когда Г.СГГа-~"'~') = — (' ~') =-О, т. е.
при соблюдении соотношения ЕО= ЯС. (25. Г 2) $22) снстемл уРлвненни для двухпговод! оп л!пп!н )45 Использовав это соотношение, мы получим Ь(з) =(ЕС) (АСЕ+ — ) — (1С) (ЛСз+ !сС)— =(ЕС) ' (ЕСг-! Лб), следовательно, ~()=-(Я (~ +~)=ф) (С +~) (ЫЛ~) и далее Са+а О С г,а+и )! Е ' Положив для сокра!ценна записи ~ — ) =а (25. 14) и имея в виду соотношение (25.12), мы получим вместо равенств (25.!0) н (25.11) следующие: Е(х, з) =Е(0, з) ',," =Е(0, з)112(х, з), (25.15) 7(х. Е) =Е(0, У) а '"'„",.„«,)",'Е (25.
16) Решение уравнения теплопроводности привело нас к функции (72(х,е) (см. стр. !37), в которую входило такое же отношение двух гиперболических синусов, как и теперь в функцию Уа(х, з), только там вместо линейной функции Ез + !с был радикал )1 з. Там это отношение представляло собой Р-изображение, что позволило нам при переходе в пространство оригиналов воспользоваться теоремой свертывания. Теперь функция уа(х, з) ие является й-изображением, поэтому для определения соответствующего ей оригинала необходимо применить другой способ.
Преобразуем функцию )га(х, з) следующим образом: аа(1-кньк+Я) а — а(1-Ф(гк+Е) а-ак(ск+Л) а-ан1-к)(гк+Е) )1,(х, з) -2а1(1.ю ! В 1 (25.17) и рассмотрим сначала случай ! = оо, для которого функция )12(х, з) принимает простой вид У'а(Х, З) = Е а" (Са+Ю. Подставив это выражение в равенство (25.!5), применив затем правило П и приняв во внимание равенство (25.14), мы получим е-е(с)с)п~ке(0, ! — (СЕ)~)~х) при !>(СО~ах, е х,!)= 0 и и ш при 0 ( ! < (СЕ))12х. (25.15) УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 1гл. ( (46 Это решение показывает, что происходит распространение входного напряжения е(0, 1) в направлении возрастающих значений х со скоростью (СЕ) '".В самом деле, напряжение е(0, га), возникшее в момент времени (а в точке х = О, достигает точки х(>0) в момент времени (, удовлетворяющин соотношению г — (СЕ) н'х = („ следовательно, для прохождения пути х этому напряжениютре- буется время 1 — 1а, и поэтому (С!) (и.
А(о момента времени 12 = О, когда напряжение впервые дости- гает точки х (1, = 0), проходит время ( = (СЬ) '2х, следова- тельно, до этого момента времени в точке х напряжение е(х,1) = = О. Такое состояние соответствует второй строке реше- ния (25.18). При распространении напряжения по проводу оно ЗатуХаЕт ВСЛЕдетВИЕ НаЛИЧИя МНОжИтЕЛя Е-"(С'В! Г2х. В фиксированную точку линии в определенный момент вре- мени доходит только одно-единственное входное напряжение, следовательно, в этой точке не происходит наложения этого на- пряжения на предшествующие напряжения, как это имеет место в линни с произвольными параметрами (см.
стр. 149). Именно по этой причине линия, удовлетворяющая условию (25.12), называется линией без искажений, Для получения решения в случае линии конечной длины 1 разложим функцию (25.17) в ряд; мы получим )' (Х З) — Е-ах(ах+К! Е-а(2(-х(юх+Л! „'Х Е-2лмшх+Ю 2 л 0 )Г~ Е-Плп+х(а(ьх+АЧ ~ Е-(2л (-Фана+В л О л,=! Умножив все члены этого ряда на Е(0, з) и выполнив для каждого члена обратное преобразование Лапласа, мы найдем оригинал, соответствующий изображению (25.15): е (х, 1) = ~ е-Я(с(Ы (2л'2"е(0, ! — (СЕ)' (2п1+ х))— л, — ~2~ е л(сю!"~(-'"а(-х'е (О, 1 — (СЕ)'~ (2п 1 — х)), (25.19) л,-! причем для значений ( < 0 следует положить е(0, !) = О.
Поэтому прн фиксированной паре значений х, ! каждая нз обеих сумм содержит только конечное число слагаемых. Определенное входное напряжение е(0, (л) появляется в точках х, (, для Э 251 гистемл уплвнннчи для Лвэхпповодиоп лпыпп 147 которых 1 — (Сй)' е(2п~l+ к) =-1„, с положительным знаком, а в точках к, С для которых 4 — (С1.)'"(2ва( — х) =- 1ою с отрицательным знаком. Этим уравнениям соответствуют в плоскости х1 прямые„расположенные в виде зи1загов в полосе О (х (1 (рис.
25.2). Следовательно, входное напряжение распространяется от к = О до х = 1, где отражается, меняя при этом а 2 .г Рис. 25хе Распростраиеиие граиичиаго возбуждеиип. Рис. 2б.з. Граиичиые возбуждеиви, достигающие точки д в один и тот же момент времени. Линия с произвольными параметрами Пусть теперь ЬО чь йС. Рассмотрим сначала случай 1 со, когда изображение Е(х, з), определяемое формулой (2б.10), принимает более простой вид: Е (х з) Е (О з) е алел Е (О з) е * р 1ле+ю (се+а) (2б 2О) знак (скачок фазы на и), затем распространяется назад до х = О, где опять отражается с переменой знака, и т. д.
При этом происходит затухание входного напряжения, возрастаюшее пропорционально пройденному пути. В точке х, 1 налагаются одно на другое все значения входного напряжения, вносимые обоими зигзагообразными полигонами, проходяшими через точку х, С причем знак определяется числом отражений (рис. 25.3). Аналогичным образом вычисляется по изображению (25.16) ток 1(х, 1). ггл.
4 грлвпнния в частных производных (4З Лля обратного перехода в пространство оригиналов воспользуемся формулой, связанной с модифицированной функцией Бесселя чьч (х/2)~т' 7~ (х) = 7~ л а именно: е-хУаг'тьхзг —. е-(ь!з 1'а )х е-Уа ха+ — (, — )М вЂ” ах') )Г ~ +1~ — ( е-*ге-~ь'за)г " г((, (25.20') г а з ) Р— ахх У ах (ьл где д.= ( — ) — ас. В этой формуле мы должны положить (,2) а = ЕС, Ь = 5 6+ )гС, с = )сСг с(=(56 — )тС)г(4 Введя для сокращения записи обозначения ЛС =а, 2 ~~, +(,)=рн придадим формуле (25.20') более простой вид: е-. ума+а)(се+аз — е-т,хе-ахх ).у т ~ е-зге-рг ' ' з' ' ) ( (их г'-а'х') )гтх-ахах (25.21) Первое слагаемое в правой части, умноженное на Е(О,з), обусловливает в пространстве оригиналов смешение напряжения е(0, ().
Второе слагаемое представляет собой 2-изображение функции 0 при О ((( ах, о (х, г) = р, П (Рх )T-а'х') (25,22) тахе-р« ~ (~~ ах. à — а'ха Следовательно, к произведению этого слагаемого на Е(0, з) можно применить теорему свертывания.
В результате мы ') Иятеграл, входящий в правые части формул (25.21) н (25.23), можао выразить через (протабулированные) цилиндрические функции от двух мнимых переменных; см. Кузнецов П. И., О представлении одного контурного интеграла, ПММ, 1947, № 2. (Прим. ред.) СИСТЬМА УРАВНЕИИЙ ДЛЯ ДВУХПРОНОДИОИ ЛИИИИ !49 получим ') 10 при 0--1<ах, е т " е (О, 1 — ах) + е(х, 1) = „А (Р, гт' — а'кт) +ух )е(01 — т)е р" ' ' )Нт пря1)ах )г ъ' — а'л' 1 ал (25.23) Первый член второй строки правой части формулы (25.23) соответствует распространению входного напряжения вправо, причем происходит затухание, увеличивающееся по мере возрастания х. Второй член представляет собой сумму всех входных напряжений, поступивших в точку х до момента времени 1, т. е.
напряжений, начиная от е(0, 0) и кончая е(0, 1 — ах), умноженных при этом каждое на некоторую весовую фуисци!о. Эти напряжения вызывают искажение передачи. В случае линии конечной длины 1 расчет ведется в точности так же, как н для аналогичного случая линии без искажений, а именно: разлагают множитель при Е(0, з) в формуле (25,10) в ряд и переводят этот ряд почленво в пространство оригиналов. Отдельные члены ряда получаются такими же, как и в формуле (25.23), но с заменой х на 2п,1+ х и соответственно на 2пв1 — х. Как и в случае, рассмотренном иа стр. 147, это означает, что входные напряжения распространяются по линии и постоянно отражаются от ее концов, оставляя каждый раз в точке х некоторый «остаток».
Все эти «остатки» суммируются и дают в результате интеграл такого же вида, как и в формуле (25.23). Электрическая линия с источником питания и нагрузкой на концах Выше мы предполагали, что напряжения на входе и выходе заданы и что конец линии коротко замкнут. Это означает, вопервых, что непосредственно между входными зажимами имеется разность потенциалов (электродвнжущая сила) е(г), следовательно, е(0,1) = е(1) и, во-вторых, что е(1,1) = О. Однако на практике напряжение подается к входным зажимам в общем случае из сети, которая содержит в себе источник электродвижущей силы е(1) и состоит из одного или нескольких контуров с сопротивлениями, индуктивностями и емкостями. Аналогичным образом к выходным зажимам в общем случае присоединена сеть из нескольких контуров.
1) Этот результат можно вывести несколько короче при помощирвспределеипя б, испол!поняв для этого соответствие № вбо из таблщ!ь! в конце книги. уРАвнкиия В чдстг!ых пРОизВОдных ггл. г гйо Источник питания (сеть при входе) и объект потребления (сеть при выходе) могут быть охарактеризованы посредством импедансов 2е(з) и Ег(з). Если Е(я) есть 8-изображение электродвижущей силы е(1) и к входным зажимам присоединен источник питания так, как показано на рис. 25А, то в пространстве изобра- 1, 1 жений на концах ливии мы будем иметь вместо значений Е(0, з)- ейр = Е(з) и Е(1, з) = 0 значения ') х-гг Е(0, з) Е(з) — Яп(з)1(0, з), (25.24) Рис, 2б.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
