Дёч Г. - Руководство к практическому применению преобразования лапласа и Z-преобразования, страница 10

Дифференциальное уравнение первого порядка Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами, но с произвольной возмущающей, или возбуждающей, грункцией )(1): у'+ сеу =) (г). (!О.1) Обозначая отдельные члены этого уравнения малыми буквами, мы подчеркиваем, согласно принятому ранее условию, чтоуравненис задано в пространстве оригиналов. До сих пор мы применяли преобразование Лапласа только к функциям. Применим его теперь непосредственно к уравнению (!0.1) и будем говорить, что для заданного исходного уравнения мы ищем изображающее уравнение. Очевидно, что для этого прежде всего следует умножить обе части исходного уравнения на е —" и проинтегрировать от 0 до со. Однако для более быстрого приобретения навыка в выполнении преобразования Лапласа следует вместо явного введения интеграла Лапласа пользоваться только его символом 0; тогда мы будем иметь 2(у)+ сч2(у) =2И.

(10.2) Второй и важнейший шаг преобразования состоит в 1ом, что применяется правило Ч и 9(у') выражается через 9(у), причем одновременно вводятся вместо малых букв большие. В результате мы получаем зу(з) — у(+0)+ с,у(з) г" (з). Конечно, после некоторых упражнений можно не прибегать к записи уравнения (10.2) и вместо этого переходить от уравнения (10,1) непосредственно к уравнению (!0.3), говоря прн этом: «Я преобразую исходное уравнение в изображающееуравнение» или «я отображаю исходное уравнение в пространство изображений».

В изображающем уравнении (10.3) бросаются в глаза две его особенности: во-первых, оно является линейным алгебраи- Э !ь1 диФФеРе!ип!Альное уРАВненне пегво!о поездка б! ческим уравнением относительно У(з), т. е. представляет собой в математическом отношении нечто несравненно более простое, чем первоначальное дифференциальное уравнение; во-вторых, оно содержит в себе значение у(+О). Последняя особенность, как мы сейчас увидим, для иас особенно выгодна. В самом деле, для того чтобы из бесконечно большого числа решений диффе.

ренциального уравнения отобрать вполне определенное решение, необходимо задать значение функции у(1) в какой-либо точке. В приложениях это делается обычно для начальной точки 1 =О, и поэтому соответствующее значение у(+О) функции у(1) называется начальным значением. При этом имеется в виду, что переход от начального значения к соседним значениям функции у(1) совершается непрерывно или, наоборот, что это начальное значение является предельным значением, к которому неограниченно приближается функция у(1), когда в решении переменная 1 стремится к нулю справа.

Следовательно, мы имеем здесь дело именно со значением у(+О), т. е. с тем начальным значением, которое входит в правило т! (см. в связи с этим примечание ! на стр. 42). Возвращаясь к уравнению (10.3), мы видим, что начальное значение, необходимое для придания определенности решению дифференциального уравнения, вошло в изображающее уравнение само собой и поэтому учитывается в дальнейшем автоматически.

Это обстоятельство придает методу решения дифференциальных уравнений посредством преобразования Лапласа значительное преимущество перед классическим методом, при использовании которого сначала отыскивается так называемое общее решение, зависящее от произвольной постоянной, а затем эта постоянная определяется так, чтобы функция у(1) при 1 — «О приняла предписанное значение. [Конечно, можно сказать, что при применении преобразования Лапласа также появляется постоянная; однако эта постоянная уже заранее определенным образом связана с решением, а именно, оиа равна у(+О).] Решение изображающего уравнения (10.3) получается сразу и имеет вид (10.4) у(з)=у (3) — +у(+О) +с . Таким образом, изображение У(з) искомой функции у(1) найдено, н остается только найти соответствующий этому изображению оригинал.

Для этой цели можно было бы воспользоваться формулой обращения, т. е. комплексным интегралом (2.8). Однако такого способа определения оригинала следует по возможности избегать и вместо этого поступать так же, как это делается при необходимости вычислить какой-либо интеграл. Известно, что в таких случаях не производят вычисления ОНЫКНОВШСИЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1ГЛ.

3 интеграла на основании его определения как предела суммы. Вместо этого обращаются в таблице заранее вычисленных интегралов, и если это сразу не ведет к цели, то пытаются так разложить или преобразовать подынтегральное выражение, чтобы можно было свести вычисление к известным интегралам. Совершенно аналогично поступают и в нашем случае: обращаются к таблице соответствий между изображениями и оригиналами (см. Приложение в конце книги) и отыскивают в ней для найденного изображения соответствующий оригинал.

Если же в таблице найденное изображение отсутствует, то делают попытку построить оригинал из имеющихся в таблице функций путем использования «грамматических правил» преобразования Лапласа, изложенных в гл. 2. В случае изображения (!0.4) оригинал отыскивается очень просто. А именно, изображение 1((з + се) имеется в таблице соответствий под № 35 и ему соответствует оригинал е-'сз. Таким образом, для второго слагаемого решения У(э) оригинал находится сразу. Что касается первого слагаемого, то оно представляет собой произведение двух изображений, поэтому ему соответствует, согласно правилу 1Х, свертка оригиналов.

Обоим слагаемым вместе соответствует оригинал у(1) ((1) с е-сп 1 у (+О) е-сп е-сн ~ )(г) есют с(т 1 д (.1 0)е-с, (!0 5) е Цхглза Пространство оригиналов: днфференцнальное уравневне + начальное условпе п.преобразование Р алгебравческое уравнение решение ь. '-преобразоаанне — решение Пространство изображегии: ') Решение путем преобразования Лапласа других фуннцнональнмх урвиненнй нзображаегся такой же схемой.

что и представляет собой решение дифференциального уравнения (1О.1) при заданном начальном значении функции у(1), Подчеркнем, что мы сразу нашли решение неоднородного уравнения (с возмущающим членом )), в то время как припользовании классическим методом сначала решается однородное уравнение (с )= — О) и только затем, путем вариации постоянных, отыскивается решение неоднородного уравнения. Рассмотренный метод решения можно наглядно изобразить в виде следующей схемы '): днес егвнцилльноз ггхвнение пггвого погкдкз вз З м) Эта схема показывает, что непосредственное решение дифференциального уравнения, заданного вместе с начальнымусловием в пространстве оригиналов, заменяется косвенным решением в пространстве изображений, а именно: сначала от заданного дифференциального уравнения мы переходим посредством прямого преобразования Лапласа к изображающему уравнению, которое является алгебраическим уравнением, а затем, решив изобрамсающее уравнение, переходим посредством обратного преобразования Лапласа назад в пространство оригиналов и получаем при этом решение первоначальной задачи.

Из формулы (!0.5) мы видим, что изображение Е(з) возмущающей функции )(() понадобилось нам только для вывода результата, сам же результат, т. е. решение у((), получается без предварительного нахождения изображения г" (з). Тем не менее во многих случаях практически выгоднее вместо вычисления свертки, т. е. интеграла в формуле (!0.5), найти изображение г"(з), а затем, рассматривая выражение г'(з)/(з + сс) как единое изображение, перейти от него посредством обратного преобразования Лапласа назад в пространство оригиналов.

Пусть, например, )(() = и((), следовательно, г" (з) =— 1 с(с) 1 ()0.6) 5 + сс с ($ + са) Это изображение имеется в таблице соответствий под Хз 40 и ему соответствует оригинал ( ! е-сп) сс Результат получается так же просто и в тех случаях, когда ((() представляет собой степенную илн показательную функцию.

Остановимся подробнее иа случае, когда возбуждающей функцией ((I) является синрсоидальное колебание е)"'. На основании примера 3, рассмотренного в $ 4, мы имеем г'(з) — = ! 1 с Ч сс (с ив) (с + са) Это изображение значится в таблице соответствий под Мо 44 и ему соответствует оригинал 1 (екм — е сп) со+ йв 61 ОВЫКНОВПНПЫИ ДИООЬПИНЦИДЛЬНЫп иРЛВНПНИЯ 1ГЛ З Для того чтобы найти решение для случая 1'(1) — = сов ы1 или з(п оз1, представим это выражение в виде (созм1+1з(пм1 — е "') со+ ы и разложим его на вещественную и мнимую части; мы получим: ! вещественная часть = [от з1п ы1 + с, (соз от( — е "')), сз+ ыз а 1 мнимаЯ часть =,, [сов(п ат1 — оз (соз от1 — е-ггг)[. се+ ы Для получения полного решения остается добавить член у (+ О) е "'. При положительном сз члены полного решения, содержащие е ' ', с увеличением 1 затухают до нуля и остается только гармоническое колебание с такой же круговой частотой оз, как у возмущающего колебания, но с другими амплитудой и фазой.