Дёч Г. - Руководство к практическому применению преобразования лапласа и Z-преобразования, страница 8

Так как в приложениях оригиналы часто с самого начала предполагаются диффереицируемыми, а потому и подавно непрерывными функциями, то только что указанное свойство оригиналов позволяет определить оригинал по заданному изображению в большей части случаев однозначно. Следовательно, если оригиналы, которые отличаются один от другого только на нулевые функции, не рассматривать как различные (как зто обычно принято в математике), то обратное преобразование Лапласа также всегда будет однозначным. Придав интегралу Лапласа смысл преобразования вместо прежнего смысла спектральной плотности г (з) = Р(к+ /у), соответствующей функции е "сГ'(с), мы вступили на совершенно другой путь, который, как увидим ниже, для приложений окажется особенно плодотворным.

Мы подробно рассмотрели спектральное представление с целью показать, что интеграл ОПРЕДЕЛЕ1П1Е ПРЕОЕРАЗОВЛЦИЯ ЛАПЛАСА )гл. ! Лапласа не является одним только абстрактным математическим понятием и что он, наоборот, допускает вполне наглядное толкование. Понимание преобразования Лапласа как спектралышго представления особенно близко образу мыслей инженера, для которого это представление часто является вполне реальным, как, например, в теории электрических фильтров. Однако преобразование Лапласа применимо также к функциям, для которых спектральное представление не имеет реального смысла.

Более того, преобразование Лапласа вообще выходит далеко за пределы такой узкой постановки вопроса — попытки придания какой-либо функции вполне определенного наглядного смысла. Пока по этому поводу мы можем сделать только следующие предварительные замечания. Функции, с которыми приходится иметь дело инженеру, являются всегда реп!ениями функциональных уравнений — дифференциальных, разностных и интегральных, следовательно, над этими функциями должны производиться определенные операции, такие, как дифференцирование, составление разностей, интегрирование.

Подлинное значение !греобразования Лапласа заключается в том, что оно имеет «арактер отображения, заменяющего функции из пространства оригиналов и производимые здесь над ними операции функциями и операциямн в пространстве изображений, в котором и изображения функций, и выполняемые над ними операции значительно проще и нагляднее, Это приводит к тому, что изображения указанных функциональных уравнений также получаются более простыми, чем исходные уравнения в пространстве оригиналов, и решаются этн отображенные уравнения значительно проще. Отображениями операций, совершаемых над функциями, мы займемся в следующей главе. Преобразование Лапласа обладает е!це одним важным свойством, на которое было уже указано н 5 3, а именно: изображения, получаемые в результате А'-преобразования, представляют собой аналитические ф))нкции, к которым можно применять мощные методы теории функций комплексного переменного.

Так, например, формулу (4.2), выражающую функцию ) (!) через г (з), можно понимать как интеграл от аналитической функции е!!г(з), взятый вдоль прямой, лежащей в комплексной плоскости. Если заменить этот путь интегрирования на основании теоремы Коши другими кривыми, то таким способом можно выявить интересные свойства функции )(~), например, ее асимптотическое поведение. То обстоятельство, что переменная з изменяется в комплексной плоскости, всегда будет оказываться выгодным. Для того чтобы привести простой пример, иллюстрирующий эту выгоду, ИНТЕГРАЛ ЛАПЛАСА КАК ПРЕОБРАЗОВАНИЕ напомним, что решения линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами представляют гобой линейные комбинации функций вида тРе", где а в общем случае есть комплексное число.

Изображением функции такого вида является, как мы видели в примере 7 из 5 3, рациональная функция ЛЧ(е — а) ". Подлинное поведение такой функции можно выявить только в том случае, если рассматривать ее е комплексной плоскости как аналитическую функцию с полюсом ц, имеющим кратность а+!.

ГЛАВА 2 ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ ОПЕРАЦИЙ ПРИ ПРЕОБРАЗОВАНИИ ЛАПЛАСА й б. Отображение операций При практическом применении преобразования Лапласа операции ведутся ие над заданными функциями, а над их изображениями, подобно тому как при умножении вычисления ведутся часто не над самими числами, а над их логарифмами, что приводит к замене умножения более простой операцией — сложением. Весь процесс преобразования Лапласа можно представить себе как перевод с одного языка на другой. При таком переводе каждому слову одного языка соответствует определенное слово другого языка. Совершенно так же при преобразовании Лапласа каждой функции пространства оригиналов со.

ответствует определенная функция в пространстве изображений. Роль словаря, необходимого для перевода с одного языка на другой, при преобразовании Лапласа играет таблица соответствий между орнеиналами и изображениями. Несколько самых необходимых соответствий мы привели в 5 3, в значительно большем количестве они даны в приложении, помещенном в конце книги. Но для того, чтобы перевести с одного языка на другой целое предложение, т. е, некоторую последовательность связанных между собой слов, недостаточно знать перевод отдельных слов; необходимо сше знать, как грамматические образования одного языка (например, изменение отдельных слов или связывание нескольких слов в одно более сложное понятие) передаются на другом языке.

В применении к случаю преобразования Лапласа это означает следующее: если над функцией, например, в пространстве оригиналов производится какая-либо операция, например, дифференцирование или интегрирование, те в пространстве изображений этой операции должна отвечать вполне определенная другая операция. Аналогичным образом, если в пространстве оригиналов несколько функций комбинируются одна с другой, например перемножаются, то в пространстве изображений такой комбинации должна отвечать вполне определенная другая комбинация.

ЛИНЕЙНЫЕ ПОДСТЛНОВХИ Таким образом, необходимо знать пе только отображение (или перевод) отдельных функций, но и правила отображения выполняемых над ними операций. Именно в этом смысле и следует понимать приводимые ниже «грамматические правила» преобразования Лапласа (в $ 6 — 9 указаны только самые важные из этих правил, необходимые во всех случаях; дальнейшие правила можно найти в разделе 1 Приложения). Как эти правила используются для решения некоторых математических задач, будет показано в гл. 3 †5 '). $6.

Линейные подстановки В этом параграфе мы рассмотрим операции, представляющие собой линейные преобразования аргумента в оригинале или в изображении. Правило ! (теорема подобия) ) (аг') е — Р ~ — ) Р(ах)» — ) ( — ) (а > О). Следовательно, умножение аргумента оригинала (изображения) на некоторое число приводит к делению аргумента изображения (оригинала) и одновременно самого изображения (оригинала) иа то же число, т.

е. к подобному изменению изображения (оригинала). Правило И (первая теорема смещения) и(( — а))(( — а)о е а»Р(з) ~ (а>0). ') Мы рекомендуем читателю дли лучшего понимания механизма этих правил вывестн самостоятельно некоторые из ннх. Длн примера приведем нынад первого правила: кроме того, читателю, желающему усвоить исключительно «технину» преоб. разования Лапласа, мы рекомендуем прн первом чтении ограннчитьсн только :щпомиианием формул, выражающих правила (зти формулы занлючены и рамки), н чтению же пояснительного текста вернуться лишь после того, наи он встретится с применением правил на примерах в гл.

3 — 5. Ф Г а'т ( Г 1 г'з 'г ° Н(((ат)) = ~ е м)(ат) аГ= ) е ог'(т) — — ) е )(т) г(т — Р ~ — ~, а а) а (а~' ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИН ОПВРАЦИИ ил. а 40 Оригинал 1(! — а) умножен на функцию единичного скачка и(! — а), определяемую формулой (3.2), с целью показать, что функцию 1(!) прн отрицательных значениях ! следует принять равной нулю (см. стр. 29), При т < а аргумент ! — а отрицателен, поэтому )(! — а) = О.

Следовательно, график функции )(! — а) получается из графика функции 1(!) смещением последнего вправо на расстояние а и одновременным дополнением его в промежутке между 0 н а отрезком оси ! (рис, б.1,а). гг1-а! б: — а б) Рис. 6.1, Сне!кение графина функнни вправо н влево. Правило ! ! играет особо важную роль для процессов, происходящих с отставанием (например, при регулировании с запаздыванием). Если правило П читать справа налево, т. е. переходить от изображения к оригиналу, то не следует забывать, что оригинал 1(! — а) при !' < о должен быть равен нулю. Так, например, если в результате вычислений получилось изображение ! е '— аг+1 ' то при !)~ 1 оригиналом будет з(п(! — 1), а при 0 <! < !в нуль. Правило П! (вторая теорел1а смещения) диэее|енциговхние чп 4! Это правило противоположно правилу 11 в том смысле, что теперь график функции 1(1) смещается на отрезок а не вправо, а влево (рис.

6.1, б). Такое смещение приводит к тому, что начальный кусок графика, соответствующий участку оси г от О до а, пропадает, так как новая функция по-прежнему может рассматриваться только прн значениях ГЪ~ О. Очевидно, что изображение г" (з) не может быть связано непосредственно с новой, усеченной функцией ) (1+ а), Именно поэтому и появляется в правой части соответствия «конечный» интеграл Лапласа, содержащий значения функции 1(г) при значениях аргумента О (1< а.

Правило 1Н играет важную роль при решении разностиых уравнений, в которые наряду с 1(1) входят значения )(1+ а), ((г+ 2а), ... Правило 1Ч (теоретна затухания) е '1(1)о Р(я+а) ~ (а — произвольное комплексное число) Действительное затухание оригинала происходит, конечно, только в том случае, когда а представляет собой положительное вещественное число, а функция 1(Г) — ограниченная. $7. Дифференцирование В предыдугцем параграфе мы привели правила для простейших элементарных операций. В этом и следующем параграфах мы рассмотрим более сложные операции — дифференцирование и интегрирование, а также умножение, Правило Ч (теорема дифферениирования для оригинала) Если производная Г" обладает изображением, то обладает изображением и первообразная функция 1.

Однако обратное имеет место не всегда. Например, функция 1п1 обладает изображением, т. е, е(1п 1) существует, но производная от 1п1, равная 1(й изображением не обладает, т. е, 9(1Л) не существует, так как функция 1/1 прн 1 = О неинтегрируема. Поэтому при применении правила, которое сейчас будет сформулировано, всегда необходимо предполагать, что наивысшая встречающаяся производная существует при г > О н обладает изображением; тогда из этого предположения автоматически будет следовать, что производные более низких порядков, включая первообразную ПРАВИЛА ВЫПОЛПЕНИЯ ОПЕРАЦИП КЛ.

2 функцию, также обладают изображениями и что предельные значения справа 1(+О), 1'(+0), ... существуют. 2" (1) зр(з) — 1(+0) Уя(1)0 82г" (Б) — У(+0)з — Г(+О) )(ы(1) «Р(з) ((+0)з"-3 )'(+0)з"-2 ... -у'" "(+О) — уы и(+О) Для практических приложений это правило является самыл2 важным. Оно выражает собой в высшей степени примечательное обстоятельство; дифференцирование, которое в пространстве оригиналов представляет собой трансцендентный процесс, заменяется в пространстве изображений совершенно элементарным действием — умножением изображения на степень аргумента з с одновременным добавлением многочлена, коэффициентами которого являются «начальньче значения» оригинала.