Дёч Г. - Руководство к практическому применению преобразования лапласа и Z-преобразования, страница 4

Знание спектра может полностью заменить знание самоа функции )(1), таккак спвктгкльнов певдстквлвнив отнкции гт последняя может быть построена по ее спектру посредством формулы (1.5). Разложение на колебания дает наглядное представление о характере физического явления, описываемого функцией )(!). Если рассматриваемое физическое явление не периодическое, следовательно, если функция !" (г) как-либо задана для всех ! ( — со <1< +со), то для ее представления вместо ряда Фурье используется при определенных условиях интеграл Фурье Э 1 (1) = ~ Р (у) едл а'у, (!.! О) причем функция Р(у), стоящая под знаком интеграла, определяется через 1(!) формулой: (! .11) Для такого представления достаточно, чтобы интеграл + ) !1(!)!дг сходился, а сама функция 1(!) удовлетворяла условиям Дирихле (см.

стр. 11). В точках разрыва функции 1(Г) интеграл (1.10) сходится, как н в случае ряда Фурье, к значению !(!-о)+ 1(г+ о! 2 Формулы (1.10) и (!.11) построены так же, как и формулы (!.5) и (!.6). Функция Р(у) соответствует коэффициенту с„, ио теперь вместо индекса и, пробегающего только целочисленные значения, имеется непрерывно изменяющаяся переменная у, н поэтому функция !(!) определяется не суммой, а интегралом. Это означает, что фукция !" (Г) уже не может быть построена из колебаний только с целочисленными круговыми частотами; теперь для ее построения необходимы колебания всех частот.

Однако функцию Р(у) в отличие от с„уже нельзя понимать как коэффициент при езе', непосредственно определяющий амплитуду н начальную фазу колебания е!~', т. е. как спектр функции 1(!), В самом деле, теперь отдельное колебание не обладает конечной амплитудой, так как функция Р(у) под знаком интеграла умножается на бесконечно малую величину ду. Предста- пление о колебании с бесконечно малой амплитудой, возможно, вызовет затруднение, поэтому для лучшего уяснения такого ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА (гл, 1 18 ~ Р ® дч = С (у). В математике такую функцию называют функцией распределения, в данном случае — массы ').

Из формулы (1.12) следует, что — (У) = Р(у), или Е(у) ду = дС(у). (1.13) (1.12) функция распределения, понимаемая как масса промежутка, имеет наглядный смысл. Однако плотность, отнесенную к отдельной точке, можно рассматривать только как предельное понятие, а именно как предел отношения приращения массы к приращению у. Если мы будем понимать спектр функции ((() только что указанным образом, т. е. как распределение массы, то функцию С(у), определяемую равенством (1.12), можно назвать спектральным распределением.

Она представляет собой «сумму» бесконечно малых составляюи(их спектра для промежутка частот от — оо до у. Фуюсцшо Е(у) можно назвать плотностью спек- ') В проблеме моментов интеграл + нр( )Лу называется л-м моментом функции Р (относительно нулевой точки). И здесь в основе лежит представление о распределении вдоль оси у массы с плотностью Р(у). Так же как н аыпге, функция 0(у) определяемая этим интегра. лом, называется функцией распределения. В теории вероятностей интеграл еи ) р(у)пу определяет вероятность того, что величина у, которая может принимать значения между — о н +оь, окажется в интервале (уьуз).

Функция Р(у) называется плотностью вероятности, а функция 0(у) — распределением аерояг. ности. представления обратимся к другой аналогии из механики, легче воспринимаемой. Вообразим, что вдоль оси у распределена масса с плотностью Е(у). Очевидно, что каждой отдельной точке не будет соответствовать никакая конечная масса. Линейный злемент ду будет иметь бесконечно малую массу г" (у)Ыу. Конечной массой будет обладать всегда лишь конечный промежуток оси у. Следовательно, массу, рассматриваемую как функцию от у, можно определить только для промежутка оси у. Можно, на. пример, ввести как функцию от у массу промежутка ( — оо, у), т.

е. положить 19 СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИИ 1(1)- ~ енадб(у). (1. 14) Представим комплексную величину Р(у) в виде Р (у) = г (у) е-я <У1, где г(у) ! Р(у) 1, — ф(у) = агс Р(у). Тогда вместо формулы (1.10) мы будем иметь Фа ~ (!) = ~ г(у) ЕР(УР-Ф(епс(у (1.15) откуда следует, что колебание с частотой у имеет бесконечно малую амплитуду г(у)ду = )Р(у) )с(у и начальную фазу — Ч~(у) = агсР(у). Это дает основание называть величину г(у) =! Р(у)! плотностью амплитуды. Таким образом, плотность амплитуды =~ Р(у) ~, начальная фаза = агсР(у).

(1.16) Примеры 1. Рассмотрим прямоугольную функцию времени 0 пРи 11! > гр. А при !!1(!р, Ее спектральной плотностью будет +и 2к а 2к 1и и е -и Следовательно, Р(у) представляет собой вещественную функцию и может принимать как положительные, так и отрицательные значения (рис. 1.4). Плотность амплитуды равна абсолютному значению Р(у), начальная фаза равна нулю при Р(у) > 0 и равна и при Р(у) (О. Спектральное распределение ойределяется формулой У иу б (у) - — ) — ат! = — ) — с(и, А ( Е1ЕГрп А ! р!пи д.) Ч и.) и трального распределения при частоте у или короче спектральной плотностью.

Спектральное представление грункции 1(!) можно выразить либо через спектральную плотность в ваде (1.10), либо через спектральное распределение в виде 2о ОПРЕДГЛЕНИЕ ПРБОВРАЗОВАНПЯ ЛАПЛАСА 1ГЛ. ! нли (у) = — (и + 3! !ну) =- — ( —, + о ! (ну), л . л'и (1.19) если ввести, как зто принято в математике, интегральные си- нусы з1 х = — ) — с(и, з(х = ) — с(и = з1 х+ —. (!.20) р мпи р з!пи н и и 2 ' л О 2.

Рассмотрим функцию времени 1(1) е !'!. Ее спектральной плотностью будет (рис. 1.5) Р (у) = — ) е-!н!е-! 1! М = — ) е 'соз уу з(1 = ! 2,) — и,) н(! +ут) ' О Следовательно, функция Р(у) при всех значениях у положительна, т. е. совпадает с плотностью амплитуды. Начальная гн Ьл гл гн тн гн гз Рис. 1.4. Прямоугольная Функция времени и соответствующая спек- тра чьиан плотность.

Рис. 1.5. Функция времени, сначала возрастающая по показательному закону, а затем уменьшающаяся по такому же закону, и соответствующая спектральная плотность. фаза всех отдельных колебаний равна нулю. Спектральное распределение определяется формулой пч 1 I и! 0 (у) = — ) — = — аГС1 П у+ — ! аГС1П ( — оо) = — -), !+из н 2 2) СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛН>ИЕ ФУНКЦИИ В рассмотренных примерах функция 1(!) при 1- ч Фп столь сильно убывает, что интеграл, определяющий Р(у), сходится, следовательно, спектральная плотность существует.

Однако, если во втором примере мы определили бы функцию ((О при ! < 0 и ! ) 0 не двумя различными величинами (величиной е' при ( < 0 и величиной е ' при >') О), а одной-единственной величиной е-' для всех значений (, то интеграл, определяющий спектральную плотность, расходился бы, так как е ' при 1- — ап стремится к бесконечности. Такой же результат получается и для особенно частого на практике случая, когда !(1) представляет собой колебание с круговой частотой и>, т. е.

когда !"(!) = е!"'. В самом деле, в этом случае интеграл Ф м +и г" (у) = — ) е >и!е>м'Ж = — ~ е! Ф-У! > г(( (1.21) р ! 2н 2н определяющий спектральную плотность, расходится при любом у. Поскольку в технической литературе этот случай рассматривается всегда довольно нечетко и математически некорректно, остановимся на нем подробнее и покажем, каким образом и для такой функции времени можно получить спектральное представление.

Очевидно, что для функции е!"' спектральное разло>кение имеет особенно простой вид, а именно, для нее существует только одна-единственная «спектральная линия», т. е. одно-единст- ь'(у> венное колебание с круговой частотой и> и амплитудой, равной единице. Все колебания с другими частотами имеют амплитуды, равные нулю, т. е. вообще не встречаются. Но оче- рис. !.з. спектрпльипе распре- видно также и то, что такое «спек- целенне функции времени е!"'. трал ьное разложение» не может быть представлено интегралом Фурье (1.!О).

В самом деле, в интеграле Фурье каждой круговой частоте соответствует только бесконечно малая «масса» г (у)>ту, между тем как в нашем случае круговой частоте и> соответствует конечная масса, равная единице, Следовательно, теперь теряет смысл также понятие спектральной плотности г (у), что и объясняет, почему интеграл, определяющий г(у), расходится. Однако понятие спектрального распределения 6(у) в рассматриваемом случае сохраняет смысл.