Дёч Г. - Руководство к практическому применению преобразования лапласа и Z-преобразования, страница 5

В самом деле, 6(у) есть полная масса промежутка ( — Фо,у) ! когда у возрастает, начиная от — по, и при. ближается к точке и> слева, масса б(у) все время равна нулю, так как частотам в промежутке ( — пе,п>) не соответствует никакая масса, но в тот момент времени, когда у достигает точки опеаделение поаоваазования лапласа !гл. 1 в, масса 6(у) скачкообразно переходит от значения нуль к зна- чению, равному единице, так как в точке в сконцентрирована конечная масса, равная единице. Когда у продолжает увеличи- ваться дальше, принимая значения, ббльшие в, функция 6(у) остается постоянной и равной единице, так как при у > в масса не увеличивается.

Таким образом, !О при у<в. ! 1 при у~)в. График функции 6(у) изображен на рис. !.6. Спектральная плотность Р(у), рассматриваемая как произ- водная от 6(у) по у (см. равенство (1.13)), в точке у = в те- ряет, очевидно, смысл, так как функция 6(у) в этой точке не дифференцируема. Можно сказать самое большее только то, что а (в)- С ( — а! !пп =! ип —, а-ее Ь ь-еа а т. е. левосторонняя производная функции 6(у) в точке в равна оо. Это вполне согласуется и с физическим представлением, так как массе, равной единице и сконцентрированной в одной-единственной точке, должна соответствовать в этой точке бесконечно большая плотность.

В технической литературе из создавшейся ситуации обычно пытаются выйти следующим образом. Говорят, что на основании формулы (1.2!) интеграл Р(в) равен + Р(в) = — ~ 1 ° Ж =+со, 1 2я Ю и затем утверждают, что интеграл от функции е~в М'=сов(в — у)!+! з)п(в — у)1, взятый в пределах от — оо до +оо при у Ф в, равен нулю, так как площади, ограниченные соседними полуволнами синусоиды или косинусоиды, попеременно положительны и отрицательны, следовательно, в сумме дают нуль. Однако, если даже согласиться с этим неточным представлением, не совместимым с математическим понятием сходимости интеграла, полученную таким способом плотность ооприу в, (1.23) нельзя использовать для спектрального представления (!.10) функции 1(!), так как такая функция Р(у) не является функ- спехтрлльноп представление охнхцип зп цией в обычном смысле и поэтому не может быть подставлена в интеграл, определяющий функцию 1(г).

В физике для таких случаев, часто встречающихся и приложениях, введено понятие илггзульсной фуюсции, или 6-функция Диракп. Эта функция, не являющаяся с точки зрения классического анализа обычной функцией, обладает следующими свойствами: при всех значениях у, не равных нулю, она равна нулю, а прн у = 0 принимает бесконечно большое значение ') и притом такое, что для любой непрерывной на всей оси у функции й(у) имеет место равенство ~ й(р)6(д) (д=й(0). (1.24) Смысл этого равенства заключается в том, что 6-функция ставит в соответствие каждой функции й(у), непрерывной на оси у, число й(0).

Положив в нашем случае Е(у) = 6(у — со), мы приведем формулу (1.!О) к виду + + 1(г) = ) е!аз 6(у — ю) с(у ~ ежа+ ыб(р)ду=е) ' (1.25) ') В механике аналогичным образом интерпретируется понятие удара, н в электротехнике — понятие импульса тока н импульса напряжения. Отсюда и происходят термины импульсная функция и ударная функция (первый из иих введен Хевисаадом). Таким образом, мы сохранили для функции енм ее представление через интеграл Фурье. Несмотря на то, что такой прием придания осязаемости спектральному разложению функции е)хм ясен также с физической точки зрения, не следует забывать при этом, что, вводя б-функцию,мы покидаем твердую почву математики и попадаем в условия, в которых при использовании интеграла (!.25) обычные математические правила (например, интегрирование по частям, подстановка нового переменного и т.

д.) могут оказаться недействительными. Эти трудности преодолены современной теорией распределений (см. Добавление, стр. 247 — 255). Распределения включают з себя ие только все (интегрируемые) функции, но и такие понятия, как 6-функция Дирака и другие аналогичные понятия, введенные в физике, но не охватываемые классическим математическим анализом. В теории распределений показывается, что этими понятиями можно оперировать так же строго, как и обычными функциями в классическом анализе. Однако в рамках ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА [ГЛ. 1 этой теории интеграл (У) ян ! Ю называемый преобразованием Фурье, а такгке интеграл ) (1) = ) Р(у)егагг(г, м являющпнся обреа[ем!!ел! преобразования Фурье, не имеют смысла, так как интегралы Римана, а также интегралы Лебега могут быть составлены только для обычных функций. Преобразование Фурье для распределений должно быть сформулировано по-иному и при этом, конечно, так, чтобы оно приводило к тому же результату, как и классическое преобразование Фурье в том случае, когда распределение является обычной функцией.

Мы не будем приводить здесь довольно длительных пояснений„ необходимых для формулировки преобразования Фурье в применении к распределениям, так как для нас преобразование Фурье представляет интерес только как средство для определения понятия спектра и в дальнейшем для целей настоящей книги оно нигде не используется'). Поэтому мы ограничимся только констатацией того, что преобразованием Фурье функции ег"', понимаемой как распределение, является распределение б(у — от). Следовательно, в теории распределений поясненная выше лишь наглядно связь между 6(у — ог) и ег ' приобретает полную законность. Подытожим полученные результаты.

Мы всегда можем получить спектральное представление, во-первых, для функций времени )(!), заданных в промежутке ( †, +гю), удовлетворяющих условиям Дирнхле (стр. ]!) и притом таких, для которых интеграл + ) ] ) (!) ( г[! сходится, и, во-вторых„для колебаний е[ '. Однако такие функции времени, как, например, затухающие илн нарастающие колебания е["+гм)', не допускают представления посредством инте- ') Легко понятное изложение теории распределений можно найти н следующих книгах: Хе та п[а п А.

Н., Оьнг[Ьццоп Гйеогу апд [гапв[опп апа1ув[в, Мсбгзт«-[УУ, Ь[ечг Уогй, 1965 (гл. 7); 5 с Ь к а г1 х 1., Мй[ьодев пзагйегпа!19цев роог !ев вс[епсев рЬуыяцев, Неппапп, Раг!в, !965 (гл. Ч) имеется рус. ский перевод: Ш а а р ц Л., Математические методы для физических наук, «Мкрз, 1965; см. такгке Г ел ь ф а н д И. М. н Ш н лов Г. Е., Обобщенные функции и действия над ними, Физзгатгиз, Москва, !958. (Прим. перев.)] и!1теГРАл лАплАсА и его Физическии смысл грала Фурье, так как интеграл (1.!!), определяющий г (у), в случае положительного а расходится при ! = +со, а в случае отрицательного гх — расходится при ! = — оо.

Таким образом, для подобного рода функций времени не дает результатов и теория распределений'). В следующем параграфе мы увидим, как эту трудность моно ио преодолеть, если ввести в рассмотрение интеграл Лапласа. $2. Интеграл Лапласа н его физический смысл До сих пор мы молча предполагали, что время ! Изменяется в промежутке ( — оо, +со), между тем как в практических усло- виях вряд ли могут наблюдаться процессы, длящиеся от ! = — со до ! = +ос. Обычно какой-либо процесс начинается в конечный момент времени, который мы можем принять за пулевую точку, а затем продолжается в течение длительного промежутка вре- мени, теоретически до г = + оо.

Следовательно, в практических условиях приходится иметь дело с промежутком времени О <1< оо, т. е. только с односторонне бесконечным промежут- ком. Но такой случай мы можем включить в случай двусторонне бесконечного промежутка, произнольио положив функцию г(г) равной нулю при всех ! < О. Тогда нижним пределом интеграла (1.11), определяющего спектральную плотность, надо будет взять нуль, т.

е. положить ОР ~ь)=4~ -'"'и)~, (2.1) о следовательно, спектральным представлением функции !(!) (ра- венство (!.10)) теперь будет ') +ч ( „Р(у)(у 1пу) р !>О (2.2) Теперь имеется возможность обойти затруднение, возникаю. щее в том случае, когда интеграл (2.1) расходится. Введем для ') В рамках теории распределений Л. Шварца, положенной в основу иа.

ших рассуждений, преобразование Фурье может быть определено только для распределеиий с «медлеииым возрастаиием», между тем как распределеиие е'а+Ляг таким ие является. Об обобщении преобрвзоваиия Фурье иа любые распределения см. первую из книг (стр. 202), упомяиутых в сноске иа стр. 24 [и указаииую там же книгу И. йт. Гельфаида и Г. Е. Шилова. (Прим перев. ) ). з) Интеграл Фурье (1ЛО) а точках разрыва равен, как и ряд Фурье, среднему арифметическому от предельиых зиачеиий слева и справа от точки разрыва, следовательно, в рассматриваемом случае при Г = 0 оя равен средиему арифметическому от предельиого зиачепия 0 слева и от иредельиого зиачеиия ((+0) справа, т. е.