Дёч Г. - Руководство к практическому применению преобразования лапласа и Z-преобразования, страница 3

(1.2) Если функция !'(!) удовлетворяет определенным условиям, например условиям Дирихле, т. е. если она на каждом конечном интервале имеет конечное число экстремумов и конечное число разрывов первого рода (рис. 1.1), то ряд (1.1) в точках непрерывности функции ! (!) сходится к значению функции, а в точках разрыва — к среднему арифметическому предельных значений ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА !гл.

! 12 функции слева и справа, т. е, к значению 1(1 — о)+ У (т+ о) 2 Введя обозначения ал = гл соз <рл, 6„= гл з(п !рл, (1.3) где и 'А гл = (а„+ о„), 1д !рл = — ", ал мы приведем ряд (1.1) к виду )(1) =г,+2 ~ глсоз(п( — ф ). л 1 (1.4) Если переменная 1 означает время, то эту формулу можно наглядно толковать как разложение периодического явления 1(1) (например, отклонения материальной точки, движущейся вдоль Рис. 1,!.

Периодическая кусочно-непрерывная и кусочно-монотонная функция, 1(1)= ~ч.', с„е! ! л (1.5) прямой, от некоторого центра, расположенного на этой же прямой) на сумму гармонических колебаний с целочисленными круговыми частотами и = 1, 2, ... Из этих составляющих колебаний и-е по счету имеет амплитуду2гл и начальную фазу — !р,. Функции, с которыми приходится иметь дело в физике, в большей части случаев удовлетворяют определенным дифференциальным уравнениям, следовательно, при вычислениях должны быть найдены производные этих функций.

Однако ряды (1.!) и (1.4), рассматриваемые с этой точки зрения, обладают свойствами, усложняющими вычисления: при нх дифференцировании косинусы превращаются в синусы, и наоборот. Можно избежать этих усложнений, если воспользоваться записью ряда Фурье в комплексной 4!орме, т. е. в виде 1З СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ Коэффициенты с„этого рида Фурье вычисляются по формуле ') с„= — ~ Ще-!«гт(г (П=О, ~1, +.2, ...).

(!.6) -и Обе записи (1.1) и (1.5) в математическом отношении полностью эквивалентны, если функция 1(!) вещественная. В самом деле, в этом случае коэффициент со также вещественный, а коэффициент с , = с, следовательно, 1(!) = С, + ~~.", (С«Е!и'+ С„Е-!«Г) = С„+ 2,."., КЕ (С„ЕРН). и ! «-! Положив в этом ряде с,=ао си=а«-!Ьи (П=1,2, ...), (1.7) ыы получим ~(У) = ао+ 2 .Е (аи соз лг'+ Ь„з!п лг), и ! причем, согласно формуле (1.6), +и а„=- 1(ес„— „) ! (1) Созп(Ж, Ь„= — 1т си = ~„! ((!) з!и л! г!!.

Г Таким образом, при условиях (1.7) формулы (!.5) и (1.6) равносильны формулам (1.1) и (1.2), Ряду Фурье и его комплексной форме (1.5) можно придать вид, аналогичный ряду (1.4). Для этой цели используем равенства (1,7) и (!.3). Из них следует, что со = го гро = О! с„=ги(созгр„— (з!Пори) гие ге«(а=! 2 ...), Далее, мы имеем с с = г его«. -и и — и 1) Обратим внимание на следующее обстоятельство. В ряде 11.6) суммирование производится в отличие от ряда (!.!) не от ! до «о, а от — оо до +оо.

Это связано с тем, что функции сов л! и з!ил! с положительными целочисленными значениями л О, 1. л, ... образуют в промежутке ( — л, +л) полную ортогональную систему, в то время как ортогональная система для функции енн будет полной только в том случае, когда л пробегает осе целочисленные аначення, т. е. не только положительные, ио и отрицательные. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА Так как г „= гл, а у „= — ~„, то с „=г „е '~ ", и мы получим (1.8) Ряды (1.5) и (1.8) для дифференцирования удобнее рядов (1.!) н (1,4), однако они менее наглядны, чем последние, так как дают )(!) в виде суммы комл ггл* л'ы""' плексных функций н потому не позволяют непосредственно видеть построение этой функции иэ вещественных гармонических колебаний.

Вместо этого приходится прибегать к графическому построению в комплексной плоскости (рнс. !.2). Величина с„ени = гле! ( ~ ел! определяет в этой плоскости вектор, исходящий иэ нулевой точки, имеющий длину г и образующий с положительной вещественной осью угол а! — Ч~л. Конец этого вектора при возрастании описывает окружность радиуса г„, причем при положительном а— в направлении положительного вращения, а при отрицательном а — в направлении отрицательного вращения. Функция((!) пол чается посредством сложения всех этих векторов. днако можно вернуться опять к вещественным колебаниям 2г„соз(а! — Я„), если каждый раз два вектора с„еЗл' и с „е — !"', из которых второй представляет собой зеркальное отражение первого относительно вещественной оси, складывать в один вектор, т.

е. поступать так же, как мы это один раз уже сделали выше при доказательстве эквивалентности рядов (1.1) и (!.5), Тогда мы получим с„е'"'+ с „е ан = 2 це (с„елл ) = 2 Ке (г„е' ("' ел!) = 2г„соз (а! — ~р„). Эта операция сводится по существу к проектированию векторов 2с„еаи и 2с „е аи на вещественну1о ось. Если концы С и О обоих таких векторов ОС и 0.0 (рис. 1.3) будут описывать окружность радиуса 2г„ в противоположных направлениях, то точка Е пересечения прямой, соединяющей концы С и 0 векторов ОС и ОО, с вещественной осью будет совершать колеба- ния между точками +2г„и — 2г„по закону 2г„соз(а! — ~р„). йп СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИИ Таким образом, складывая векторы с е!"' не в произвольном порядке, а всегда только попарно, один с индексом +и, а другой с индексом — и, мы приходим опять к представлению о вещественных колебаниях.

Более того, связывая колебанияточки Г вдоль вещественной оси с движением точек С и 0 вдоль окружности в противоположных направлениях, мы получаем ю„е . л.с„г лн -,тг гл', д-Гг г"ы -з ея ~Л "гг„гюЫ-р„! Рис.!.3. Сложение двух векторов ОЯ и ОВ, являющихся зеркальным отражением один другого относительно вещественной оси, в вещественный вектор Ог". более наглядное представление о явлении, изображаемом функцией г((), чем только при рассмотрении самих колебаний вдоль вещественной оси. В самом деле, в то время как при прямолинейном движении точки вдоль вещественной оси зависимость движения от времени наглядно не видна, при движении по окружности переменная и! — ф„наглядно наблюдается в виде угла или дуги окружности, причем точки С и Р на окружности движутся с постоянной скоростью.

Движение связанной с ними точки г" на вещественной оси происходит с переменной скоростью, зависящей от наклона относительно вещественной оси той дуги окружности, по которой в рассматриваемый момент времени движется точка С или В. Формуле (!.5) можно дать и другое наглядное толкование, пе связанное с представлением о колебаниях. Для этой цели поступим следующим образом. Совместим прямую, на которой располагаются значения функции !(!), т. е. ту прямую, Вдоль которой — если говорить на языке физики — движется материальная точка, с вещественной осью комплексной плоскости н используем в качестве составляющих, из которых складывается функция !'(Т), ие колебания созп! и з(пл(, происходящие 16 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА [ГЛ.

[ вдоль прямой, а функции ено (и = О, ~1, ч 2,,). Эти функции представляют в комплексной плоскости движение точки е[ч' по периферии единичного круга с круговыми частотами и = О, ч-1, -~-2, ... Следовательно, точка е!"' обегает периферию единичного круга и раз в течение 2п единиц времени, причем в направлении положительного вращения, если частота положительная, и в направлении отрицательного вращения, если частота отрицательная. Такое движение вокруг нулевой точки, совершаемое вдоль периферии единичного круга, можно рассматривать как комплексное колебание с положительной или отрицательной круговой частотой, в зависимости от направления движения (в электротехнике при расчетах переменного тока методом комплексных амплитуд понятие комплексного колебания используется уже давно). Подчеркнем, что отрицательные круговые частоты, не имеющие никакого смысла при колебаниях, совершающихся вдоль прямой, имеют вполне определенный смысл при комплексных колебаниях.

Под амплитудой комплексного колебания следует понимать радиус окружности, а под начальной фазой — угол, под которым движущаяся по окружности точка видна в момент времени 1 = О. Следовательно, член с епи ряда Фурье (1.5), где с„ г,е м", означает комплексное колебание с круговой частотой и, амплитудой г„ и начальной фазой — ч~„, т.

е. для этого колебания амплитуда =[с„(, начальная фаза = агс с„. (!.9) Из представления о комплексных колебаниях вытекает, что последовательность значений с„можно назвать спектром функции 1(1). Эти значения указывают, какие круговые частоты фактически входят в функцию 1(1) (с„= О означает, что колебание с круговой частотой и выпадает) и каковы амплитуды и начальные фазы составляющих колебаний.

При таком толковании формулы (1.5) функция ['(1) не обязательно должна быть вещественной; теперь она может принимать также комплексные значения. В дальнейшем мы всегда будем пользоваться представлением о комплексных колебаниях с положительными и отрицательными круговыхш частотами, так как такие колебания значительно удобнее для оперирования, чем вещественные колебания. Все сказанное выше мы можем теперь подытожить след ющими словами: ля функции [(1), заданной в промежутке ( — и, +и) и периодически продолженной эа пределы этого промежутка, ее спектр с . относительно совокупности колебаний еии (и = О, ~ 1, .+2,, ) определяется интегрилом (1.6).