Дёч Г. - Руководство к практическому применению преобразования лапласа и Z-преобразования, страница 7

1 Вычислим для функции и(/) спектральную плотность; оиа равна е' ~~ ! г" (з) = ~ е-"и (!) с(! =— (3.3) о причем тогда и только тогда, когда е "- 0 прн /- оо, т. е. если Вез > О. Следовательно, мы получили подтверждение сказанному выше, а именно, что областью сходимости функции г"(з) является полуплоскость (к такому же результату мы придем и в следующих примерах). Таким образом, для функции времени 2ле-'ги(/) спектральной плотностью будет !/з = 1/(х + /у), а плотностью амплитуды 1/(х'+ уа) УА Выполнив обращение формулы (3.3), мы получим а+! 1 при />О, 2п/ 5 — е" — г/з и (/) =1 1! 0 при /<О, (3.4) .-[- или в форме спектрального представления епл .

агу 2пе "'и (/) (х > 0). (3.5) ! х+ /у Сам единичный скачок и(/) не имеет спектральной плот[юсти и поэтому не допускает спектрального представления в смысле формулы (1.10) '). Если мы подставили бы в формулу (3.5) х = О, то получили бы интеграл е[аг ! [у который расходится, так как функция 1/у при у = О не интегрируем а.

В этой связи упомянем еще об одной часто используемой формуле для и(!). Подстановка значения х = 0 в формулу (3,5) означает, что в интеграле (3.4) путь интегрирования следует выбрать вдоль мнимой оси. Однако при интегрировании по такому пути возникает трудность: в особой точке з = 0 интеграл ') Это обстоятельство необходнмо особо подчеркнуть, так как в техннческой литературе нногда встречается протнвоположное утвержденве. Только в том случае, если рассматривать н(0 как распределение, преобразование Фурье приводит к результату, который можно понимать как спектральную плотность (см. стр.

24). Однако атой спектральной плотностью будет отнюдь не [//у, а некоторое распределение, пояснение которого завело бы нас слани ком далеко. а И СВОПСТВА ФУНКЦИИ, ПОЛУЧАЕМЫХ ИЗ ИНТЕГРАЛА ЛАПЛАСА 31 (3.4) расходится. Для того чтобы устранить это затруднение, следует обойти нулевую точку справа по полуокружности (рис. 3.1). Тогда мы получим правильную формулу Г ета (! ПРИ Г>О, — — да= и(1) =~ Зи) .) а ( О Прн Г<0, (3.6) которую, однако, нельзя рассматривать как спектральное представление функции и(Г), так как на взятой полуокружпости функция е'" не является ни колебанием етн', ни затухающим колебанием е-атетв' с постоянным х.

Рис, Зл. Путь интегрирования с обходом особой точки а О. Рис. Заа Функция единичного скачка со скачком в точке а. 2. Пусть теперь единичный скачок происходит не в момент времени г = О, а в момент Г = а > О. В таком случае он описывается функцией и(à — а) (рис. 3.2), для которой спектральной плотностью будет -аа г" (з) = ~ е-а'и(1 — а)Г(г= ~е-ат Ж= — при Кег>0. (3.7) о а Следовательно, «запаздыванию» функции времени иа промежутке а соответствует умножение спектральной плотности на множитель е-". К этому результату мы придем еще раз ниже из совершенно общих соображений. 3.

Пусть функцией времени будет е"' (а — произвольное комплексное число) или, точнее говоря, функция, равная е"' при Г > 0 и нулю при Г < О. Такую функцию можно обозначить через и(1) еат Если а = о+ уго, то эта функция при Го;ьО и о = 0 означает комплексное колебание, при со ~ 0 и о < 0 — затухающее ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА !гл. ! колебание, при в Ф 0 н о ) 0 — нарастающее колебание, а прн в = 0 — апернодическое (восходящее илн нисходящее) движе- ние.

Спектральной плотностью будет М е "е" з((= ~ е <з-а!'!(à — при Кез)Кеа. (38) ! з — а о о 4. Пусть функцией времени будет созв( илн, точнее, функция и(!)Созвй т. е, вещественное колебание. Мы можем рассматривать ее — в смысле сказанного в $1 — как сумму двух комплексных колебаний. Тогда, применив к каждому нз этих колебаний формулу (3.8), мы получим е з'созв! ~й — ) е з'(е!"'+е !"') ДЧ= Г о о 2 1з — (в з+!в,! з'+в' ' (3.9) Этот интеграл сходится, если Ке з ) Ке(!в) и одновременно Кез > Ке( — !в), т.

е, при Кез > О. б. Для функции времени В1пв! аналогичным образом полу- чаем Ю Ю е "з(пв(!2! = —. ) е з!(е!а' — е дн) з(Г= Г 21,) о о при Кез) О. (3.!О) 6. Пусть функцией времени будет !а, т. е. степенная функция (а — вещественное число). Для существования интеграла Лапласа при г = 0 необходимо, чтобы было а > — 1. Положив з1 = т, мы получим е-з'га щ ~ Е-з,за а!т ! о о е 1 Л -з! а Г(а+ !) .ао! о (3.1 1) Для того чтобы переменная т была вещественной и чтобы полу- чившийся интеграл представлял собой гамма-функцию Эйлера, переменная з должна быть вещественной и, кроме того, должно быть з> О. Тогда мы будем иметь ИНТЕГРАЛ ЛАПЛАСА КАК ПРЕОБРАЗОВАННЕ зз $41 Так как интеграл Лапласа представляет собой аналитическую функцию, то формула (3.11) справедлива также для комплексного з при условии, что Яе з > О. Для ! (и = О, 1, 2, ...) формула (3,11) принимает вид е 411" с(1= —, прн !(ез)О. (3,12) о 7.

Пусть функцией времени будет Г"есч (и = О, 1, ...; с — произвольное комплексное число), Для этой функции инте1рал Лапласа, как это следует из формулы (3.12) после замены Б ней з на з — и, равен е '1"е' с!1 = ~ е " "~'1" с(1= " при кез>йеа. (3.13) (к — а)"+ й о ь 4. Интеграл Лапласа как преобразование Мы видели, что каждой определенной при Г ) 0 функции вре.

меин !(!), для которой интеграл ) е — к41! (!) с(Г О нри достаточно большом хэ сходится, соответствует спектраль- ная плотность Е (з) = Р (х -г !у), определенная при х ) хь Следовательно, каждой такой функции 1(Г) соответствует функция г(з), связанная с !(!) соотношением !к (З) = ~ Е-41) (1) й. (4.1) а Соотношение (4.1) можно рассматривать также, как преобразование, понимая под этим переход ог функции !(Г) к функции Р(з), осуществляемый посредством интеграла (4.1).

Это преобразование принято называть преобразованием Лапласа. Представление о преобразовании является типично математическим представлением, позволяющим к ранее сделанному физическому толкованию интеграла Лапласа добавить новое толкование, которое, как мы увидим ниже, окажется очень плодотворным. С представлением о соответствии или преобразовании тесно связано представление об отображении. Подобно тому как фотографическая камера позволяет получать из оригинала изображение, так и преобразование Лапласа переводит функцию-оригинал !(() в функцию-изображенне г" (з) или короче оригинал !(!)— опгеделение пяеоБРхзовхния лАплАсА [ГЛ.

1 Р(з) =2()(г)). Читается эта запись так: Р(з) есть функция, полученная из1(Г) посредством преобразования Лапласа [или короче: Р(з) есть Р-изображение функции Г(1)]. Формулу (2.8), дающую спектральное представление функции )(1) через спектральную плотность Р(з) и названную выше обращением формулы (4,1), также можно рассматривать как преобразование, только не функции г(1) в Р(з), а наоборот, функции Е(з) в Щ: »+гю 1(г) = —. ~ еир(з) Из при г >О.

2н) «-1 о (4.2) в изображение Е(з). Эта терминология особенно наглядна. В настоящее время она прочно привилась, и мы также будем ею пользоваться. Совокупность всех 1(Г) называют также пространством оригиналов, а совокупность всех Р(з) — пространством изображений (происхождение этих терминов связано с принятым в настоящее время в математике представлением о множествах функций как абстрактных пространствах).

В дальнейшем мы будем обозначать оригиналы по возможности всегда малыми буквами, а отвечающие им изображения— соответствующими большими буквами, например г(г) и г" (з), у(г) и У(з). Некоторые авторы применяют вместо этих обозначений противоположные, т. е. Е(1) и 1(з); другие обозначают оригиналы и изображения одной и той же буквой, по отмечают изображение черточкой сверху (1(Г), ~(з)), что в ряде случаев может привести к путанице, поскольку черточка сверху применяется также для обозначения сопряженного комплексного значения.

Встречаются также обозначения 1(1) и 7(з). В технической литературе иногда применяется обозначение и оригинала, и изображения одной и той же буквой, но с указанием в скобках аргументов 1 и з; такое обозначение следует признать совершенно недопустимым, так как часто переменные г и з приходится заменять другими, в результате чего может возникнуть полная путаница. Понятие преобразования или отображения имеет большое сходство с понятием функции. В самом деле, в основе понятия функции так1ке лежит соответствие, а именно соответствие между двумя переменными, например г и гс.

Подобно таму как для обозначения обычной функции применяют пе слова «ш есть функция г», а символ функции, например гв = ~р(г), так и для обозначения связи, устанавливаемой преобразованием Лапласа, вводят символ с и пишут иптагелл ллплхсл клк пгаозяхзовхние зсс Будем называть это преобразование обращением преобразования Лапласа или обратньсм преобразованием Лапласа и обозначать символом е '. с(г) =й '(Р(з)) Связь между ) и Г называется также соответствием и обозначается посредством знака соответствия следующим образом: ) (с) о г" (з) или г" (з) 1(с).

Преобразования 9 и 6 ' отличаются одно от другого с точки зрения их однозначности. Совершенно очевидно, что каждому оригиналу ( соответствует одно-единственное изображение г". Но если мы рассмотрим все изображения Р(з), полученные посредством формулы (4Л), то увидим, что каждое изображение й'(з) может быть получено из бесконечно большого числа оригиналов 1(1). В самом деле, если мы изменим определение функции Г(с) в конечном числе точек, то, поскольку такое изменение не влияет на результат интегрирования интеграла (4Л), изображение ие изменится. Однако совокупность всех оригиналов ((с), соответствующих какому-либо изображению г"(з), легко выявить; все они отличаются одно от другого на так называемые нулевые функции и((), т. е, на функции, обладающиесвойством с п(т)дтпл = 0 при всех 1)0, о Если среди всех оригиналов ((1), соответствующих заданному изображению Р(з), имеется один, являющийся непрерывной функцией, то других таких оригиналов не существует.