Дёч Г. - Руководство к практическому применению преобразования лапласа и Z-преобразования, страница 14

В самом деле, если нуль а, кратный, то р'(а,) = О, если же а„= О, то р(0) = О. В обоих случаях форягула (1З.З) становится бессмысленной. Если отклик на единичный скачок определен численно или экспериментально (например, при помощи осциллографа), то можно определить отклик у(/) на любое возбуждение /(/). Б самом деле, согласно формуле (12.10), у(/) = да/, а согласно формуле (13.1), д = у'„, следовательно, у(/) =у„'*/ (1 3.4) '(формула Дюамеля) или на основании теоремы (26.1) (см.

$ !З( ОТКЛИКИ НА СПЕЦИАЛЬ!!ЫЕ ВИДЫ ВОЗБУЖДЕНИЯ 73 Числепный пример Будем искать отклик на единичный скачок, или переходную функцшо системы, описываемой дифференциальным уравнением у" + 10!/'+ 74у = и (/) (левая часть этого уравнения такая же, как и уравнения, при. веденного на стр. 59) с начальными условиями р(О)=р (О)=О. Мы имеем р(з)-з'+!ОБ+ 74, р'(з) =2з+ 10, а, = — 5+ 7/', а7= -5-7/, поэтому р(О) = 74, р'(а,) = 14/, р'(а,) = — 14/. Согласно формуле (!3,3), переходной функцией будет !/ (!) — + Е(-Б+ТП / е/-5-7/) / 1 1, 1 74 ( — 5+ 79 14/ ( — 5 — 7/] (-14/) Второе и третье слагаемые суть комплексно-сопряженные вели. чины, следовательно, их сумма равна удвоенной вещественной части: 2/те ..е' з'Р7/'/ = — е "Ке ( / ( /) е'/' = (-5+ 7/) 14/ 14 25+ 49 7 74 е "Ке( — 7+5/)(соз 7! +/В/и 7/) 1 — е з' (? соз 7/ + 5 з( и 7/).

74 7 Окончательно мы получаем УА (/) = 74 (! — 7 е Б' (7 соз 7/ + 5 я и 7/)~ . 1 Г 1 Производные переходной функции равны у„' (!) = — „е "зш 7/, у„" (/) = — е " (7 соз 7/ — 5 з!и 7/), Подставив найденные значения !/„(/), у„'(/) и р„"(/) в заданное дифференциальное уравнение, мы увидим, что оно действительно удовлетворяется переходной функцией д (/), и при этом (/„(О) =(/„'(О) = О. При /- ОО производные у„' и у„" стремятся к нулю, а сама функция !/„— к значению 1/74, как это и должно быть на основании заданного дифференциального уравнения.

74 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНШГАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [гл. 3 Уь Отклик на импульсное возбу|кденне Если в качестве возбуждения используется импульс 6(1), то решение дифференциального уравнения (12.1) называется откликом уа на ихглульс. Понятие импульса мы ввели наглядным образом уже в $ 1. Импульс описывает возбуждение, которое во все моменты времени ( ныл равно нулю, а в момент времени 1 = О принимает скачкообразно бесконечно большое значение. Импульс 6 (точнее, импульс с напряженностью, равной единице) можно понимать как идеализацию возбуждения з„которое в небольшой окрестности е точки ( = О имеет величину порядка 1/е, а при всех других значениях г равно нулю, т. е.

— при О(1(е, е в О при 1 <О и (>е, следовательно, интеграл от э, равен единице. Для того чтобы освободиться от произвольности в выборе величины в, совершают предельный переход е — О"). Полученный в результате такого перехода «предел» есть именно то, что физически понимается под единичным импульсом. Однако этот предел не является функцией в обычном смысле, и поэтому понятие импульса выходит за рамки классического математического анализа.

Как уже было сказано в 5 1, с импульсом 6 можно связать точное математическое понятие только в рамках теории распределений. Краткое представление об этой теории дано в Добавлении к настоящей книге, к которому мы н отсылаем читателя, в частности к формулам (5), (8), (17) и (19). Если возбуждение, следовательно, правая часть дифференциального уравнения представляет собой распределение 6, то н левая часть уравнения должна быть распределением. Это означает, что решение у также должно быть распределением. Для того чтобы наглядно отметить это обстоятельство„перепишем уравнение (12.1), заменив в нем обычные производные на обобщенные производные; мы получим 0"уз+се 1О ~рь+ ... +с,йуз+сорз 6. (13 6) Прежнему условию о том, что дифференциальное уравнение рассматривается только в промежутке 1) О, теперь соответствует г условие, что распределение рз принадлежит пространству йу+, т.

е. что носитель распределения лежит на полуоси г,ЭО. Применим ') Аналогичным образом для того, чтобы освободиться от произвольности в выборе промежутка времени, совершают предельный переход от «редиса скорости в некотором промежутке времени к мгновенной скорости в данный момент времени.

з м1 ' отклики нл специальные виды возвтждвния ть к уравнению (13.6) преобразование Лапласа. Для определения решения 8(уа) = Уа мы получим, применив правило дифференцирования (см. Добавление, правило Ч') и учтя, что Я(б) = 1, уравнение р(з) Уд — — 1, откуда найдем ! у,- — = а(.). а (5) Следовательно, 9-изображение распределения р, имеет такой же вид, как и 9-изображение весовой функции й(Г).

Но в то время как раньше я(1) было обычной функцией, теперь уа = л(1) следует рассматривать как распределение, при дифференцировании которого вместо обычных производных следует составлять обобщенные производные. Для функции такого вида, как д(1), т. е. имевшей производные во всех точках, за исключением одной, в которой производные имеют только предельные значения слева и справа, обобщенные производные и обычные производные связаны между собой соотношениями вида (Доб. 12).

Из равенств (14.4) (стр. 81) видно, что п(1), д'(1),, й<" Н(1) имеют при Ф- +О предельные значения, равные нулю, в то время как для д("-н(1) предельным значением при 1- +О будет единица. Так как я(1), рассматриваемое как распределение в пространстве Ю+, при 1< 0 равно нулю, то предельные значения всех производных д(1) при 1- — 0 равны нулю, Таким образом, мы имеем Рд- д'(1), Р~д=д" (1), ..., Р" '8 д'" ' (1), (13,8) но Р к а' '(г)+б. (1 3.9) Согласно соотношению (14.3) (см.

стр. 81), функция д(1) удо- влетворяет дифференциальному уравнению с правой частью, равной нулю: йьо(Г)+с„,й'" п(1)+ ... +ой'(1)+сей(1)=О. (13.10) Внеся выражения (13.8) н (13.9) в уравнение (!3.10), мы по- лучим Р к+с ~Р я+ .. +с~Рп+сап=б, следовательно, д(1), рассматриваемое как распределение, дей- ствительно удовлетворяет уравнению (13.6).

Таким образом, мы пришли к следующему результату: от- клик р на импульсное возбуждение равен весовой функции п(1), если последнюю рассматривать как распределение, и-я обобщен- ная производная которого отличается от и-й обычной производ- ной на импульс б. Этот импульс б появляется потому, что п — 1-я производная функции а(1), равная при 1(0 по определению уе ОВЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВг!ЕНИЯ !гл. а нулю, в точке ! = 0 имеет скачок высотой в единицу. На рис.!3.! такой отклик на импульсное возбуждение показан для случая и = 4.

Пример. Колебании механического осциллятора (например, маятника на длинной нити) описываются известным дифференциальным уравнением второго порядка. Если в начальный еГеу момент времени осциллятор находится в покое, то у(0) = = у'(0) = О. Пусть в этот момент осциллятор получает кратковременный, но очень сильный удар. Тогда скорость у'(!) скачкообразно возрастет от нуля до некоторого положительного значения, следовательно, ускорение теоретически будет равно бесконечности, но координата, определяющая поло!кение угу осциллятора, т. е. сама функция р(!), будет изменяться, начиная от нуля, непрерывно.

й В технической литературе принято полностью отождествлять понятия отклика на импульсное возбуждение и весо. вой функции. Однако это не совсем правильно, но, правда, Рис. 1ЗЛ. Отклик иа импульсное иоэеугкдеиис и сто производные для безопасно до тех пор, пока речь случая и 4. идет только об области вре- мени ! ) О. Разница между обоими указанными понятиями существенна лишь в точке !=0. Совпадение отклика уь на импульсное возбуждение и весовой ункции д(У) открывает возможность экспериментального опреелении весовой функции д(У), Для этого па входе в систему прикладывается импульс 6, осуществляемый в виде сильного удара, а затем измеряется выходная функция, например, при помощи осциллографа.

3. Частотная характеристика Особый интерес для практики представляет возбуждение, выражаемое функцией ((!)= — е! '. Этим возбуждением пользуются в тех случаях, когда необходимо выяснить, как рассматриваемая система реагирует на возбуждающие колебания различной круговой частоты. х гз] Отклики нА специАльные Виды Возеуждеггия уу откуда Н(ш) = —.) = 6()чв). Таким образом у(1) = 0((хв) ег"".

Функция 6()гн), представляющая собой отношение отклик на возбужденне е™ у(г) г возбуждение е™ е™ называется частотной характеристикой физической системы. Представив 6(/ог) в виде 0 ()ш) =1 6 ()хв) (ент гмг, мы можем назвать (0()тв) ~ амплитудной характерищикой, а гр(ш) — фазоеой характеристикой, Из полученного результата следует, что частотная характе- ристика есть не что иное, как значение передаточной функции 6(з) (см. стр. 65) на мнимой оси'). ((З.(1) ') В электротехнической литературе частотной характеристикой иногда называют также функцию о(з), что следует считать неправильным, так как смысл величины 6(з) как передаточной функции значительно шире смысла величины 0()ю) как частотной характеристики. При расчетах переменного тока такое исследование выпол- няется следующим образом.

Хотя в действительности возбужде- ние, получаемое системой, влечет за собой возникновение, начиная с момента времени ( = О, переходного процесса с опре- деленными начальными условиями, тем не менее будем предпо- лагать, что рассматриваемая физическая система находится все время, от г = — оо до 1= +со, в установившемся состоянии. Так как возбуждение представляет собой колебание, то примем, что отклик системы на зто возбуждение также является колебанием с той же круговой частотой, но с другими амплитудой н началь- ной фазой. Следовательно, предположим, что отклик системы на возбуждение 1(1) = екм выражается функцией у (1) = Н (ю) едвг, где Н(ш) есть комплексная величина, зависящая от «г.