Дёч Г. - Руководство к практическому применению преобразования лапласа и Z-преобразования, страница 16

! Из этих функций можно составить оригиналы дробно. рациональных функций, входящих в решение изображающего урав- З и1 ОДНОГОДНОВ ДнаВН ВНЦИЛЛЬНОВ ГВКВНВНИВ В.ГО ПОЕЯДКХ нения и имеющих в качестве множителей начальные значения у(+0), у'(+0), у" (+0) н у'"(+0). Нс выполняя вычислений, напишем эти оригиналы: при у(+0): а"'Я+с,а" (1)+сза'(1)+с,д(1)= = д"' (Г) + 10д" (1) + 90д' (1) + 160д (1), пРи У'(+0): Д" (1) +сад'(1) +схй(Г) = а" (1) +1Ой'(Г)+90д(Г), при и" (+0): д'(Г) + схй(Г) = а'(У)+ !Од(г), и ри ихн (+ 0): а (г) = й(1) Предлагаем читателю убедиться на этом примере, что действительно имеют место равенства к(0) = к'(0) = к" (0) и а "(О) =1.

В связи с некоторыми неясностями, встречающимися в литературе по преобразованию Лапласа, еще раз напомним, что начальнььии значениями, входящими в изображающее уравнение, являются числа у(+0), у'(+0), ... В самом деле, изображающее уравнение получается в результате применения правила Н, а в это правило входят предельные значения справа. Как этн начальные значения практически возника~от, это уже вопрос другого порядка. Естественно, что в физических системах они возникают из арошедшего системы (так, например, положение и скорость линейного осциллятора в момент времени г' = 0 являются неизбежным следствием его движения в предшествующее время). Физическая система подходит к нулевому моменту времени слева с некоторыми значениями у( — 0), у'( — 0), ..., и единственное требование заключается в том, чтобы с этими же значениями система вступила в область значений 1 ) О.

Это требование всегда может быть выполнено, так как полученное выше решение у(Г), как нетрудно убедиться путем проверки, всегда удовлетворяет прсдписаиным начальным значениям, совершенно независимо от того, как они заданы и какой вид имеет возбуждающая функция (последняя можеч не иметь ничего общего с возбуждающей функцией, существовавшей до момента времени 1 =- 0). С иным положением вещей мы встретимся при решении систел~ дифференциальных уравнений; там начальные значения не всегда могут быть заданы произвольно (см, з 16 и 17). Еще раз сформулируем преимущества метода преобразования Лапласа 1.

При решении дифференциального уравнения классическим методом сначала находится общее решение, а затем его постоянные определяются так, чтобы найденное решение удовлетворяло начальным условиям. Определение постоянных требует 84 ОВЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ[ма УРАВНЕНИЯ [ГЛ. 3 дополнительного решения системы линейных алгебраических уравнений с и неизвестными, что для случая и )~ 3 представляет собой громоздкую задачу. При решении же дифференциального уравнения посредством преобразования Лапласа начальные значения учитываются с самого начала н вводятся в решение автоматически.

Это обстоятельство выгодно также потому, что позволяет ясно видеть влияние начальных значений заранее, т. е. до нахождения решения. Следовательно, такой метод особенно удобен для решения задачи Коши. Наиболее частый на практике случай нулевых начальных значений при классическом методе решения не приводит к какому-либо облегчеяию вычислений и не освобождает от решения упомянутой системы линейных алгебраических уравнений.

Наоборот, при применении преобразования Лапласа нулевые начальные значения обеспечивают исключительно простой ход вычислений. 2. В то время как при классическом методе сначала решается однородное уравнение и только затем, путем вариации постоянных, неоднородное уравнение, применение преобразования Лапласа позволяет сразу решить неоднородное уравнение, практически более важное. Замечание о составлении дифференциального уравнения В 5 1Π— 14, если подходить к нх содержанию с практической точки зрения, мы имели дело каждый раз с физической системой, характеризуемой одной-единственной функцией времени у([), удовлетворя[ошей одному-единственному дифференциальному уравненшо. Однако в практических условиях приходится иметь дело также с такими физическими системами, поведение которых определяется несколькими функциями времени, удовлетворяющими нескольким дифференциальным уравнениям, причем в эти уравнения входят все или только некоторые характеризующие систему функции времени (системы совместных дифференциальных уравнений).

В таких случаях в технических расчетах часто исключают все неизвестные функции времени, кроме одной, представляющей в рассматриваемых условиях наибольший интерес, и таким путем получают для оставшейся неизвестной функции одно единственное дифференциальное уравнение, которое в общем случае имеет более высокий порядок, чем первоначальные уравнения. Но тогда сразу же возникает весьма затруднительный вопрос о начальных значениях для производных более высоких порядков в оставшемся единственном уравнении. Этот вопрос, который для дифференциальных уравнений, рассмотренных в 8 1Π— 14, не возникал, мы подробно исследуем в $ 18.

Мы особо подчеркиваем это обстоятельство потому, что некоторые инженеры иногда считают, что $1Н НОРМАЛЬНАЯ СНСТЕМА СОВМЕСТНЫХ ДПФФЕРЕНЦ. УРАВНСННП ЗЧ всякое дифференциальное уравнение с порядком более высоким, чем два, получается не иначе, как путем исключения всех неизвестных функций, кроме одной, из системы дифференциальных уравнений, имеющих самое большее второй порядок. Между тем существуют задачи, например, в теории упругости, когда физическая система определяется одной-единственной функцией, удовлетворяющей дифференциальному уравцсншо порядка выше второго.

На практике случай, когда физическая снсгема описывается несколькпмн совместными дифференциальными уравнениями, встречается наиболее часто. Текз не менее мы рекомендуем читателю, интересующемуся только такими физическими системами, тщательно ознакомиться с рассуждениями, изложенными в й 1Π— !4 и относящимися к одному-единственному дифференциальному уравнению, так как это облегчит понимание дальнейших сведений о решении систем совместных дифференциальных уравнений. $15.

Нормальная система совместных дифференциальных уравнений с любыми выполнимыми начальными условиями Мы уже видели, что применение преобразования Лапласа существенно упрощает вычислительную работу по сравнению с классическим методом уже при решении одного-единственяого дифференциального уравнения с порядком более высоким, чем два.

Однако в полной мере преимушества преобразования Лапласа перед классическим методом проявляются только при решении систем дифференциальных уравнений. В этом случае классический метод практически невыполним из-за необходимости громоздких вычислений, между тем как применение преобразования Лапласа не только существенно сокращает вычислительную работу, но одновременно дает значительно ббльшую обоз имость решения. ля получения ясного представления о формальной стороне решения систем дифференциальных уравнений рассмотрим сначала систему трех дифференциальных уравнений первого порядка.

Во всех уравнениях выпишем все теоретически возможиьзе члены, хотя в практических условиях часть этих членов обычно отсутствует, следовательно, коэффициенты прн них должны быть приняты равными нулю, Итак, рассмотрим систему (ану1 + Ь11У1) + (амуз + Ь иуз) + (аыуз + Ь1зуз) = 11 (г) (а„у', + Ь„у,) + (а,зуз + Ь муз) + (аззуз + 11ззуз) = 1з (Г), (~з1У1 + з1У1) + (аз,у,'+ Ьззуз) + (аиУз+ Ьззуз) = Ф) зв овыкноввнныв днффвгвнцилльныв гвквнвния [гл, з Выполнив преобразование Лапласа, мы получим изображающие уравнения а„(зу, — у, (+0)) + Ьну, + аа(зуг — уг(+0)) + Ьггуг+ + а~з(зуз — Уз(+0)1+ Ь|зуз = Рз(з)» ам (зУ, — у~ (+ 0)1+ Ьг|У~ + агг (зуг — уг(+0)) + Ьмуг+ + агзИз — Уз(+0)3+ Ьгз)'з= Р~(з) аз1 И'~ У~ (+0)1+ Ьз7~+ азг(зуг Уг(+0)гг+ Ьзгуг+ + ам(зу — у (+0)1+ Ьмуз =- Р (8).

Введя для сокращения записи обозначения аыз+ Ь,г = ры(э), мы сумеем переписать изображагощие уравнения в следующем более обозримом виде: рнУ + Р„У,+ рвуз= Р~+ аиу, (+0)+ а„у,(+0)+ а„у,(+0), Рг У1+ Рмуг+ Ргзуз = Р + аг У~ (+О) + аггуг (+О)+ амуз(+О), Рз» Уь + Рзгуг+ Ря У~ = Рз + азу~ (+ 0) + азгуг (+ 0) + аззуз (+ 0). (15.1) Если были бы заданы дифференциальные уравнения не первого, а второго порядка, то вместо линейных многочленов рм(э) по- лучились бы квадратичные, а правые части изображающих уравнений содержали бы кроме начальных значений у»(+0), ... также начальные значения у',(+0), ...

Но принципиально изо- брамсающие уравнения для системы дифференциальных уравне- ний любого порядка имеют один и.тот же вид: они образуют систему линейных алгебраических уравнений для неизвестных Уь У,, Уз. Подобного рода системы теоретически решаются изящ- нее всего по правилу Крамера посрсдством определителей; практически же предпочтительнее прибегать к последователь- ному исключению неизвестных илн, при большом количестве уравнений, к одному из многочисленных известных способов ре- шения систем линейных уравнений. Поскольку сейчас нас интересует формальная сторона мето. да, воспользуемся решением посрсдством определителей.

В пра- вой части каждого изображающего уравнения имеется изобра- жение рг(з) входной функции и численная постоянная, завися- щая от начальных значений. Для сокращения записи введем для суммы этих постоянных обозначения ану, (+0)+ аму,(+0)+ аьуз(+0) =го а для определителя системы, составленного из коэффициентов рм(з) и представляющего собой в раскрытом виде в общем слу- З РЛ НОРМАЛЬНАЯ СИСТЕМА СОВМЕСТНЫХ ДИФФЕРЕНЦ УРАВНЕНИЯ Вг чае многочлен третьей степени относительно з (об исключениях см, й 16),— обозначение 0(а).

Применив правило Крамера, мы найдем Р Р~+П Р~з Рм гг+ гг Рм Р21 Рз+ гз Рзз Г~+П Рм Рм ! Гг+гг Ргг Ргз 1 12 гт Рз+ гз рзг рз~ ! У,=— гг , У, = ... (!5.2) Для того чтобы яснее показать, как решения У,, Уг, Уз зависят от возбуждающих функций и начальных значений, заменим гг их явными выражениями и разложим каждый определитель на сумму четырех определителей (по слагаемым, которые входят в столбец, содержащий возбуждающие функции); для Уг мы получим Р, + аиу, (+ О) + а)гуг(+ О) + а~зуз(+О) рм р|з Рг+ агсУ~ (+ 0) + амУ2 (+ 0) + "гзУз (+ 0) Рм Ргз Рз + аз~ У1 (+ 0) + азгУг (+ 0) + аззрз (+ 0) Рзг Рзз 0У,= Р~ Рм Ра Рг Ргг Рю Рз Рл Рза Р~г Рм аз Рм Ргз + аз~ Рл Рзз а~з Раг Р~з + у,(+0) адг рм рм + Уг(+ 0) агг Рм Рю + Уз(+0) агз Ргг Рал (15.3) азг Ри Рзз азз Рл Рл Элементы первых столбцов второго, третьего и четвертого определителей представляют собой постоянные, а элементы второго и третьего столбцов — многочлены первой степени, следовательно, все эти определители в раскрытом виде дают многочлены второй степени.

После деления на 0(з) получаются дробно- рациональные функции, в которых числители имеют меньшие степени, чем знаменатели. Разложив эти функции одним из указанных ранее способов на простейшие дроби, мы сумеем отобразить их назад в пространство оригиналов. Определитель, содсржащнй в себе изображения Рь может быть представлен в виде Р! Р12 Р!з гг Ра Ргз Рз Рм Рзз Ргг Рм р Ргг Ры + Р Рм Р~з ! ~ 2 з ~ Рм Ри Рзг Рзз Рм Ргз (1 5.4) Определители второго порядка после деления на 0(з) опять дают дробно-рациональныс функции. Применив к произведению этих функций на множители Р; теорему свертывания, мы перец- дем назад в пространство оригиналов, 88 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДНФФСРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВИВГ(ИЯ (гл.