Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости, страница 9

Пусть сначала С О, а А и В равны частным производным по р и о от функции Р, зависящей от р и о. Тогда уравнение (П1") выражает то обстоятельство, что Р(р, о) имеет постоянную величину для каждой частицы. Если учесть, что в некоторый момент времени эта величина одинакова для всех частиц, то мы получим замыкатощее уравнение для упругой жидкости.

В частности, если в качестве функции Р выбрана антропия Я(р, о), то уравнение (ПГ) будет замыкающим уравнением для адиабатического течения идеальной жвдкостл. Уравнение' (П1") будет соответствовать общему классу условий при предположении, что А, В и С вЂ” произвольные функции от х, у, з, е и параметров потока р, о и т1. Соответствутощий широкий класс двиитений жидкости характеризуется некоторыми общими свойствами. Этот класс не включает случаи вязкой илв теплопртводнсй жидкости и может быть назван классом двинсений идеальной эесидкости (частный ' пример будет рассмотрев нами в п.9.6).

Замыкатощее уравнение для случая вязкой и теплопроводной жидкости также может быть представлено в виде (П1"), если член С в правой части может зависеть от производных Р, 9 и т). Действительно, если Т (р, о) и о (р, 9) заданы и мы возьмем А=Т вЂ”; В=Т вЂ”, (25» др' до ' то левая 'часть уравнения (П1") будет равна Т (ЫЮ/Ж) и, согласно формуле (16), она должна быть равной ()'+ 8/й. Здесь 8 определено формулой (11) как заданная функция вязких напряжений и', т и производных т( по координатам; предполагается, что в общем случае о' и т являтотся заданными функциями производных т( по координатам с коэффициентами, аависящими от р и о.

В случае адиабатического течения Д'=О, в то время как в случае квааиадиабатического течения, когда допускается теплопроводность, но нет постоянного притока илн отвода тепла, Ч' определяется формулой (23) как функция производных от Т (р, о) по координатам. Чтобы охватить более общие случаи, необходимо прибавить к правой части уравнения (23) некоторую функцию, выражающую количество тепла, выделившегося за единицу времени и на единицу массы.

Если общий приток тепла [а следовательно, и величина С в уравнении (ПГ)] является заданной функцией от х, у, з, е, р, о, т) и частных производных от р, о, и по координатам, то система уравнений, описывающих движение, состоит из следующих уравнений: уравнение (1"), являющееся обобщением ураввеаия (1.1), уравнение (1.1Г) и уравнение (П1"). Эта система может быть ВЛ. Посыановав задачи записана следующим образом: ац ч и= — =д — — ягабр+ —, 1 о — „= — й 6(чц, ае си гр в . с — = — й61ч ц+— аЧ А А (26) где т, как и в уравнении (1"), является результирующей силой вязкости, действующей на единицу объема.

Так как т зависит от производных ц по пространственным координатам и возможно от параметров потока (через коэффициенты вязкости), то уравнения (26) ыожно истолковать следующим образом: в каждый' момент времени и для каждой частицы полные производные по времени от пяти неизвестных ц, р, о определены как функции мзновенных значений р, й и г( в точке х, у, з и в окрестности втой точки.

3 4. СКОРОСТЬ ЗВУКА. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ огай р = аз йтай д. (2) Состояние покоя (ц = 0) при постоянном давлении и плотности (р=рз, й=оз) удовлетворяет уравненизо движения (1.1) и уравнению неразрывности (1.П), если пренебречь тяжестью, так как зсе члены этих уравнений представлязот собой производные"). Предполагается, что значения р = рз и й = оз удовлетворя1от заданному соотношению между р'и о. 1.

Постановка задачи Предполагается, что масса жидкости простирается бесконечно ео всех направлениях, так что границ нет, и что исидкость идеальна и упруга. ' Последнее предположение означает, как, и в и. 1.4, что существует универсальное соотношение, опреде- ляющее взаимно однозначное соответствие между р и о. Пред-' полагается, что это соотношение между р и й днфферевцируемо и что плотность воарастает ври увеличении давления и наоборот. Тогда производная Ыр/Ый неотрицательна, и можно записать ац (1) Размерность этой производной равна (МЦТзз з)ЦМ/йз) = йз!Тз. Таким образом, а имеет размерность скорости ЦТ. Если ввести обозначение (1), то любую производную р можно выразить через соответствующую производную й, например, др,'дх=аздй/дх и, в частности, 48 Гл.

1. В««дено« Сейчас мы рассмотрим малое еозмущенае этого состояния покоя, вызванное начальным еоомущением: каждой фиксированной четверке чисел (х, у, г, г) будут соответствовать малые зна- ченЯЯ Ч', Р— Ро и о — о . Слово «малые» означает, что, по пРедположению, проиаведением любых двух (или большего числа) этих величин или их производных можно пренебречь по сравнению с членами первого порядка. Полную проваводную й/йг от любой из этих величин можно заменить частной производной д/дг, так как все добавочные слагаемые имеют второй порядок малости. Более того, в левой части уравнения (1.1) йдЧ(дг можно заменить на йодЧ/д», так как разность (о — йо)дЧ(дГ имеет второй порядок малости. В правой части этого уравнения вектор нгай р, согласно уравнению (2), равен вектору аоягайо, который можно заменить на а,'дгайй, где а, есть значение,которое принимает а при р р, и о = о„так как разность (ао — а,') огай о — малая второго порядка.

Таким обрааом, если пренебречь силой тяжести, то уравнение (1.1) можно заменить уравнением яо д« = — а, Кгай 0; дч (3) подобно атому уравнение неразрывности (1.1Г) заменяется уравнением йо й'т Ч = дЕ д« (4) д д а =а,=О и — = — =О, ду до 2. Одномервьгй случай. Решение Даламбера Можно легко получить некоторые сведения о характере малых возмущений, если рассмотреть одномерную задачу; предполагается, что все частицы движутся в одном заданном направлении, скажем, направлении оси х, а все переменные не зависят от у и з, т.

е. Тогда в уравнении (3) остается только компонента по оси х, Эти два уравнения являются уравнениями, определяющими малые возмущения в идеальной упругой жидкости, находившейся первоначально в состоянии покоя. Имеется одно скалярное и одно векторное уравнения для определения одного неизвестного скаляра о и одного неизвестного вектора Ч.

В отличие от точных уравнений (1.1) и (1.11) полученные уравнения линейны относительно переменных о и Ч, что делает их более удобными для получения решения. С другой стороны, подлинный смысл линеаризации определить нелегко. Некоторые замечания по атому вопросу будут сделаны в п.(3.3. б.д. Одномерный ааваай.

Решение Даламбюра э уравнении (4)6(ч надо заменить на д/дх, и мы получим е — = — а — е — = — —. дтх а де ддх до да а дх ' о дх да (5) умножая второе уравнение на а'„дифференцируя первое по г, а второе по х и вычитая результаты, получаем двх адвх — =а —; даа е дха если не умножать второе уравнение на а, 'и поменять местами дифференцирование по х и по г, то получим в результате дао а дсо — =а' — . дм а дха (бб) Легко также заметить, что любая дважды дифференцируемая функция и от переменных Ех и Е удовлетворяет тому же самому уравнению даи а даи даа = о дха где з заменено на х+ аов в первой функции и на х — а е во второй; в самом деле, обозначая И~а (з)/Из через ~а' и т.

д., получаем в уравнение (6) превращается в тождество. Предполагается, что рассматриваемые малые возмущения "ызваны начальными возмущениями, наложенными на состояние Н Мизес если пренебречь членами высших порядков относительно производных Ех и Е. Действительно, если и = и (Ею Е), то ди ди дз„ди до даи ди даах ди даэ х — = — — "+ — —, дх дзх дх до дх ' дха дах дха до дха где в последнем уравнении члены, содержащие (дд„/дх)а и т. д., опущены.

Аналогично даи ди дадх дй дае + Ша дд„да до даа ' комбинируя эти равенства с уравнениями (6а) и (66), мы получаем уравнение (6). Уравнение (6) есть (одномерное) волновое уравнение. Общее решение этого уравнения было дано Даламбером а') в следующем виде: пусть /а (з) и ~а (г) — проиавольные дважды непрерывно дифференцируемые функции действительного переменного з; тогда уравнение (6) удовлетворяется, если положить и =/а (х+аот)+)а(х аот) (7) Гл.

1, Введение покоя. Возмущение может быть задано значениями д„и при т = О, так что д„(х,О) и 9 (х,О) — заданные функции х. Если известно значение д„в некоторый момент времени е, то на основании второго из уравнений (5) в тот же момент времени известно также и дй/дв. 'Гакнм образом, если обозначить д — 9 через и, то начальные данные для и могут быть записаны в следующем виде: при в=О и=/(х) в —— 8(х), (8) где / и я — заданные (достаточное число раз дифференцируемые) функции х.

Если и означает д„, то по заданному аначеншо 9(х, 0) величину дд„/де можно найти из первого из уравнений (5), так что опять начальные условия для и имеют вид (8). Задача, стоящая перед нами, заключается в том, чтобы найти интеграл уравнения (6), удовлетворяющий условиям (8). Мы собираемся показать, что зто решение имеет вид а(хд) = — (/(х+аот)+/ (х — а о)]+ Р + — ]С(х+а е) — С(х — а е)], (9) 1 2ао где С(х) — функция, производная которой равна я(х), С»аа ~ 8(~)д~; (9') вторая часть решения (9) может быть также выражена интегралом ае-оов 2ао 1 о (о) х — оой Действительно, решение (9) имеет форму (7), если положить /, = т/а/+С/2ао и/о= '/,1 — С/2ао, так что выражение (9) удовлетворяет дифференциальному уравненопо (6).