Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости, страница 13

рис. 14,б) н .два возможных значения 1(асс. При ао.< [3 величина возмущения, соответствующая с(а, равна нулю. Во всех случаях при изменении р наибольшее и наименьшее значения 1 равны рос+а с и ) аоС вЂ” аос( соответственно, так' что отношение (7/йос)е изменяется лишь в пределах между (М,— 1)е в (М,+1)'. Таким образом, если М, < 1,' то интенсивность распространения [т. е. коэффициент йри с(а в формуле (6)) Р. Ми«со Гл. 1. Введение может меняться между двумя положительными конечными пределами, причем разность между этими пределами обращается в нуль, когда М,=О (случай покоящейся жидкости). В сверхзвУковом слУчае (М, ) 1) множитель У'1 — Ме езш'Р в знаменателе формулы (6) обращается в нуль, когда р достигает значения ош так как зшас=1/М„и будет мнимым для всех ббльших значений р. Интенсивность распространения, таким образом, будет стремиться к бесконечности для лучей, примыкающих к конусу Маха, к поэтому часто говорят, что малые возмущения в жидкости, движущейся со сверхзвуковой скоростью, практически распространлютсл вдоль поверхности конуса Маха, Формулы для полной величины возмущения для любого конуса, соосного с конусом Маха, могут быть получены интегрированием уравнения (6).

4. Установившееся двумерное двиевеиие. Линии Маха Как было указано в п.1.2, в любом установившемся 'течении существувот фиксированные ликии тока, т. е. кривые, неподвижные в пространстве, являющиеся траекториями жидких Нопроепение пинии С' ия така Направление пинии С нопраепение Рис. 15.

Линни тока и линии Маха з двумерном установившемся сверхзвуковом тече- нии. частиц и име1ощие поэтому в каждой точке касательные, направление которых совпадает с вектором скорости. В двумерном устаповивиевмсн течении линии тока обраауют семейство плоских кривых, нигде не пересекающихся, за исключением особых точек.

Предполагается . также, что жидкость упруга, или, если это не так, что в каждой точке надлежащим образом задана величина ар/дй. В сверхзвуковой области такого течения в каждой точке определяется не только величина скорости внука а и число Маха М, но также и угол Маха а, причем зша=1~М;, поэтому в каждой точке Р определены два направления, которые образуют с линией тока, проходящей через точку Р, углы а и — а (см. рис.

15). В звуковых точках, где М=1 и а=90', эти два 5.4. "е'елвановививеееч двумерное движение. Линии Маха О7 направления противоположны друг другу. До тех пор пока М конечно, а отлично от нуля и эти два направления не могут совпадать. Таким образом, в любой части плоскости, в которой течение является сверхзвуковым, а М имеет конечное значение, определены два поля направлений, которые при обычных предположениях о непрерывности определяют два семейства кривых. Эти кривые называются линляма Маха. Если угол между вектором скорости и и некоторой неподвижной осью обозначить через О, то углы, которые линии Маха образуют с этой осью будут равны О+а и Π— а соответственно. В частном случае равномерного сверхзвукового потока со скоростью по, направленной вдоль оси х, линии Маха образуют два семейства параллельных прямых, составляющих с осью х углы а и — а соответственно. В общем случае линии Маха обраэувот сетку криволинейных четырехугольников, так как через каждую точку проходят две такие линии.

В любой должным образом ограниченной области сверхзвукового потока можно различать два семейства линий Маха, таких, что каждая линия одного семейства пересекает каждуво линию второго и не пересекает ни одной линии своего семейства. Угол пересечения равен 2а, и этот угол делится пополам линией тока, проходящей через точку пересечения.

В общем случае линии тока не нвляются диагоналями четырехугольников, образуемых линиями Маха. Аналитически линии Маха можно во многих случаях представить двумя уравйениями, каждое из которых содержит некоторый параметр. Например, в случае равномерного потока, параллельного оси х, линии Маха эадавотся уравнениями У вЂ” хФйа =с„У+хВбав=св, где а, постоянно, а с, и св — переменные параметры. В других случаях единственное уравнение с одним параметром описывает оба семейства. Например, все касательные к единичному кругу х соз вр + у Мп ~р = 1, где ~р — параметр, в области, внешней к кругу, образуют сетку требуемого типа. Так как угол а острый (эа исключением звуковых точек)„ то линиям Маха можно придать определенную ориентацию: в качестве положительного направления любой линии Маха выбирается такое, которое направлено в ту же сторону от нормали к линии тока, что и и.

Будем считать положительными углы, соответствующие повороту против движении часовой стрелки; тогда линия, образующая с и угол +а, будет называться линией С", или плюс линией Маха, а другая будет ьв Гл. 7. Вввдвиив называться линией С, или минус линией Маха* ). Таким образом, наблюдатель, движущийся вдоль линии тока, имеет в каждой точке линию С' слева от себя, а линию С справа от себя.

В точке Р (рис. 15) линия С' обрааует с осью х угол 9+а, а линия С угол  — а. 5. Роль' линий Маха Роль, которую играют линии Маха, полностью станет ясной только тогда, когда в последующих главах будут развиты аналитические основы теории. Но некоторые интересные свойства этих линий можно указать уже сейчас.

Снова рассмотрим установившееся двумерное сверхзвуковое течение упругой жидкости. В достаточно малой окрестности точки Р, скорость й которой равна о, С течение можно рассматривать .как равномерный поток со скоростью о. Поэтому вблизи точки Р малые возмущения могут распространяться только внутри угла между касательными к линиям С''и С в точке Р. Достигнув точки Р и с. 17. Область влияния возмущения, расположенного з точке Ам и интерззя АВзазисимости от решения з точке С. Рис. 16. Распростране- ние возмущений. Р' в этой окрестности, возмущения могут распространяться далее только между двумя линиями Маха, проходящими через Р' (см.

рис. 16); аналогичная картина наблюдается для последующих точек Р', Р™', .... Так как линии Маха одного семейства не пересекаются, то это означает, что малое возмущение, возникшее в точке Р, не может достигнуть какой-либо точки вне области, лежащей между линиями С" и С, и не оказывает никакого влияния на течение вне этой области. Теперь рассмотрим кривую К (кривую А,АВВ,), пересекаемую в том же направлении (под углом, отличным от нуля) всеми линиями Маха С' и С . Линии Маха показаны на рис. 17.

*) В отечестзонной литературе линни С' обычно называются ливиями первого семействе, а линии С вЂ” линиями второго семейства.— Прим. рвд. Ю.й. Роль линий Маха Как мы только что видели, малое возмущение в Аг не окааывает влияния вне области, лежащей между двумя линиями Маха, проходящими через точку А,. Следовательно, линии С, проходящие через точки А, и А, не могут пересекаться и т. д.

Поэтому, в частности, возмущение в А, не может влиять на течение в любой внутренней точке четырехугольника АСВР. То же самоевернодляВги для любой точки линии К вне дуги АВ. Таким образом, течение внутри четырехугольника АСВР, образованного четырьмя линиями Маха, проходящими через точки А и В, не зависит от того, что происходит на линии К вне этого четырехугольника. Если мы предположим, что дифференциальные уравнения течения и условия, заданные вдоль К, достаточны, чтобы определить течение в некоторой области, примыкающей к К, то из сказанного следует, что решение внутри' АСВР определяется значениями параметров течения вдоль АВ и не зависит от их значений на К слева от А и справа от В.

В случае несжимаемой жидкости или в случае дозвукового течения сжимаемой жидкости, когда не существует линий Маха, подобной картины не наблюдается. В этих случаях возмущение распространяется во всех направлениях, течение в одной области никогда не бывает независимым от того, что происх днт в другой области. Эти весьма неполные предварительные замечания о роли линий Маха предназначены для того, чтобы дать грубое представление о том, насколько по своей физической природе сверхзвуковые течения отличаются от более обычных дозвуковых течений. Поэтому не удивительно, что для решения задач о течзнии жидкости в этих двух случаях нужно было раавивать специальные математические методы. С другой стороны, читатель не должен заключить, что нет ничего общего в теории движения сжимаемой жидкости для этих двух случаев или что какие-то необычайные явления отмечают каждый переход скорости частицы от звукового к сверхзвуковому значению.

ГЛАВА П ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ $6. ТЕОРИЯ ВИХРЕЙ ГЕЛЬМГОЛЬЦА И КЕЛЬВИНА1) Р н с. 18. Замкнутый контур в векторном поле. Р н с. 19. Адднтнвносте циркуляции. дуги можно рассматривать как бесконечно малый. вектор И1, имеющий направление касательной к С. Как обычно, ц означает мгновенную скорость в каждой точке.

Если взять интеграл от скалярного произведения й.д1 по этому контуру, то криволинейный интеграл Г= фц с(1= фусса(ц, о1) Ж=(фу, с(( с с с называется циркуляцией по С. Все значения ц нужно брать прп одном~и том же значении ге). (. Циркуляция Во многих задачах гпдродинамики используется кинематическое понятие циркуляции, которое можно определить следующим образом. Рассмотрим контур С, т. е. простую замкнутую кривую в пространстве, на которой задано направление обхода (указанное стрелкой на рис. 18). Тогда на С каждый элемент 6.1. Циркуляция циркуляция аддитивна в следующем смысле.

Предположим, что мы соединим две точки контура С при помощи некоторого отрезка АВ (см. рис. 19) и задаем на двух новых контурах АВРА и ВАЕВ то же направление обхода, что и на С. Тогда циркуляции по новым контурам Г, и Г, соответственно удовлетворяют условию (2) Г=Г,+Г, Действительно, определение (1) показывает, что Г, является интегралом от и А1 по контуру АВ.ОА, который можно представить з виде суммы отрезков АВ и ВЮА.