Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости, страница 8

Иэ теории Упругости (или кинематики сплошной среды) известно, что Гл. 1. Введение величина Ы„„=»/ (дд (ду+дд /дх) есть екороет» сдвига вокруг оси в. Симметричный тенэор Ъ с компонентами о«и, И„в и т. д. называется тенвором скоростей деформаций. На основанйи самой природы вязкости некоторому направлению скорости деформации сдвига должно соответствовать касательное напряжение того же (а не противополоя«ного) направления. Следовательно, четвертое слагаемое в уравнении (11) тщ(дд„/ду+дд„/дх) неотрицательно, как и последующие слагаемые; таким образом, и сама величина 9 неотрицательна ").

Предположения, сделанные выше относительно знаков компонент вяэких напряжений, можно объединить в утверждение, что тенэор вязких напряжений Х' имеет характер силы сопротивления или трения, т. е. силы рассеивающеи, а не производящей внерзию "). Самое обычное предположение, которое делается в теории течения вяэкой жидкости, эаключается в том, что каждое иэ шести вяэквх напряжений считается линейной функцией скоростей деформации с постоянными или зависящими от р и д коэффициентами. Такая частная гипотеэа эдесь не принимается, но предположение относительно энаков является существенным, так как обратное предположение соответствовало бы «силе трепни» между материальными элементами, которая стремится увеличить их относительную скорость.

Мир, в котором силы тренин ускоряют движущиеся тела, противоречил бы всему нашему опыту. 4. Уравнение энергии для вяакой жидкости Уравнение энергии в механических параметрах уже было дано в виде уравнения (12). Как и в 5 2, приток' тепла ()' .можно ввести при помощи первого закона термодинамики, дающего свяэь между ()' и механическими переменными. На этот раэ, однако, утверждение (1.8) первого закона нужно видоиэме.нить так, чтобы учесть скорость диссипации энергии, которая для алел«ента объема ор равна 9 Же; видоизмененное уравнение для единичной массы имеет вид е"е'+ — = „5+рД( ~), ' (13) где Д', как и ранее, обозначает количество тепла, подведенное эа единицу времени к частице единичной массы от окружающих элементов жидкости эа счет излучения или теплопроводности.

Если объединить уравнения (12) и (13), то уравнение энергии примет внд — ( — + дй+ е„Т) + = Д', (14) «»сли е, считать постоянным, как для совершенного газа. Раэличие между уравнениями (14) и (2.7) эаключается только 8.4. Уравнение'енереии дек вовкой кеидкоети е добавочном слагаемом ш'/9, которое представляет отнесенную к единице массы работу, затрачиваемую в единицу времени на преодоление вязких напряжений, действующих на поверхность элемента. Если рассматривается адиабатическое течение, то условие ~'= 0 дает нам замыкающее уравнение — ( — + уй+ с,Т)+ — = О. .

(15) Это уравнение не приводит к простому условию (1 12) ИЮ/й = О, как в случае адиабатического течения для идеального совер- шенного газа, потому что уравнение (1.8) заменяется соотно- шением, следующим из уравнения (13), а именно ' Д'=с,— +р — ( — ) — —. дт г 1 Е Если Т и с, заменять выражениями (1.6) и (1.9), то вместо уравнения (1 12) получится уравнение дд Е О=Т вЂ” — —, о (16) где используется определение энтропии (1.7). Таким образом, уравнение (15) эквивалентно уравненжо сю з йв (17) и в качестве замыкающего уравнения для адиабатического 'тече.ния вязкого совершенного газа можно взять либо уравнение (15), либо (17). Из 'уравнения (17), кроме того, следует, что так как д неотрицательно, то ЫЯ/Нг >0 для аднабатического течения (заметим для сравнения, что в случае идеальной жидкости НЮ/ей = 0), т. е. энтропия частицы вязкого совершенного газа никогда не может уменьшиться, если нет прйтока или отвода тепла.

Этот Результат выражает второй закон термодинамики. Уравнение (14) выполняется только в том случае, когда жидкость такова, что величина с„постоянна. Для вязкой жидкости, для которой уравнение состояния имеет вид (2.9), можно, как показано в п.2.3, найти функции ее'(р, д) и Л(р, 9), удовлетворяющие уравнению Т вЂ” = ~'+ — = — +Р— ( — ) 4и ' В е7У ЫГ$'~ Лв Е 'в дв(. о) (18) и подчиненные остающимся неизменными ограничениям (2.11), Уравнением энергии тогда будет уравнение евв(,а +ай+(7)+ — =К =Т ле ' ' (19) Гл. е.

Введение а не уравнение (2.14), как для идеальной л<идкости. Замыкающим уравнением для адиабатического течения снова будет уравнение (17) или (15), где ееТ нужно заменить на У. Интеграл от уравнения энергии по конечному объему можно вычислить так же, как это было сделано в п.2.7. Появится один новый член И" — интеграл от ш'ЫУ. Можно показать при помощи формальных преобразований (или вывести, основываясь на физическом смысле величины ш'), что И" является работой, затрачиваемой в единицу времени на преодоление сил вязкости, действующих на поверхность рассматриваемого объема.

Таким образом, если Ф„', — вяакое напряжение на элементе поверхности НЮ с внешней нормалью и, то ~е) (20) Интегральное уравнение будет иметь вид —,е+И +И' = ~ ЕР'е(У= ~ (ЕТ вЂ” „— д)е)У . (21) для вязкого совершенного газа (ср. с уравнением (2.36)]; функ- ция Л снова дается выражением (2.34). 5. Теплопроводность Все соотношения, рассмотренные до сих пор в настоящем параграфе, справедливы независимо от того, является ли жидкость теплопрозодной.

Теплопроводность будет играть роль в механике жидкости только в том случае, когда она явно или неявно входит в замыкающее уравнение. Например, замыкающее условие может состоять в том, что частица не испытывает притока или отвода тепла, за исключением обмена теплом с окружающими частицами посредством теплопроводности. Чтобы вывести замыкающее уравнение, соответствующее атому случаю, необходимо рассмотреть механизм теплового потока. Нужно, как обычно, предположить, что в каждой точке непрерывно распределенной массы поток тепла в любом направлении пропорционален производной от температуры .по этому направлению и поток движется (тепло передается) от частиц с ббльшим значением Т к частицам с меньшим значением Т.

Рассмотрим опять прямоугольный параллелепипед, иэображеяный на рис. 6. Если предполагается, что проиаводная дТ(дх положительна, то тепловой поток будет двигаться через левую грань параллелепипеда в отрицательном направлении оси х и будет равен й(дТ(дх) ЫуЫг, где )е — коэффициент (внутренней) теплопроводноети для данного вещества. Поток через противополож- З.а. Общая форма асмы сающесо Вравнснис ную грань равен ~ Ус ~~+ ~ (Ус о) Й*~ Йд с(з, так что общее количество тепла, полученное за счет теплового потока через эти две грани, равно —,'.(й$) ьйрй., общее количество тепла, полученное за единицу времени еди- ницей объема за счет теплового потока через все грани, составит — (Ус--)+ — „~Ус — )+ — (Ус — ) = Й1ч(Усягай Т).

(22) Здесь Ус может быть заданной постоянной или заданной функцией от Т. Если движение жидкости происходит при авагиадиабатиче- ских условиях (см. п.1.5), т. е. если внешний теплообмев (вследствие радиации и т. д.) отсутствует, то общий поток тепла за единицу времени н на единицу объема 9Ч' должен быть равен величине (22), или Ч' = — Й1ч (Ус рай Т). (23) Я (Этот результат следует сопоставить с соотношением (У' = О, соответствующим адиабатичесзомр течению.) Замыкающее усло- вие (23) может быть представлено в иной форме при подста- новке в него вместо су' его аначения из уравнения энергии (14) или (19), а именно — с( "2+бй+УУ у+ + = — й)ч(УсягайТ) (24) Т вЂ” — — = — Йсч (Ус ягай Т).

сБ 6 1 Й с о (24') Эти уравнения отличаются от соответствующих уравнений для адиабатического течения тем, что в правых их частях вместо нуля стоит величина (1У9) йст(Усягай Т). 6. Общая форма замыкающего уравнения ") Для некоторых целей полезно иметь общую форму замыкающего уравнения, которая не была бы столь ограничительной, как форма (1.11Г), но все же была бы более конкретной, нежели уравнение (1.111), и которая вклсочала бы случай и вязкой и идеальной жидкости как при наличии теплопроводности, так и при отсутствии ее. Такой формой аамыкающего уравнения будет уравнение (П1') Гл. 1: Введение а различные частные случаи получаются принадлежащем выборе коэффициентов А, В, С.