Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости, страница 11

Увеличение С на ве- личину ссС прибавляет к объему сферический слой толщины а,с(с; элемент объема этого слоя равен сс'г'=аосссссЯ, так что ' 8атем, подставляя это выражение в уравнение (20) и используя ФОРмулу (18), получаем ~ Дусь = а' — ~ Д1 сСЯ = а*Ди, дв1СССС дм 4яС д о4яа1С З о 66 Гл. /. Гвведение условиям.

Предположим, что при г 0 и=/(*, у, ), — =я(х у, ), ди (22) где / и г-дифференцируемые функции. Рассмотрим (х у г г) = —,(Я+гб (23) где д и/ есть функции от х, у, г и г, которые получаются из функций / и я процессом усреднения (16). Это выражение, конечно, удовлетворяет волновому уравнению (15), так как оно является суммой двух решений; его второй член имеет в точности форму (17), первый же представляет собой производную от выражения (17), а мы уже видели, что производные от решения волнового уравнения также являются решениями этого уравнения. Остается показать, что начальные условия также удовлетворяются. Так как д(г/)/дг=-/+в(от/дг), то правая часть равенства (23) при е = 0 сводится к /; но /(х, у, г, О) как раа и есть |(х, у, г).

Действительно, / (х, у, г, 0) равно пределу при  — >0 среднего значения У(х, у, г) по сфере радиуса )т с центром в точке (х, у, г), и этот предел должен быть равен /(х, у, г), так как функция / непрерывна. Первое из условий (22) поэтому удовлетворяется. Вычисляя ди/дг из равенства (23), получаем ди д/ Где/ дд ~ — =2 — +я+г( — + — ) . дв дв (. дв дв,/ 5. Исследование решения Рассмотрим возмущения, расположенные в начальный момент внутри ограниченной области трехмерного пространства, т.

е. предположим, что / и я тождественно обращаются в нуль вне конечнойобласти1) (см. рис. 8). Функции 7 и я будут, конечно, При г=О последнее слагаемое равно нулво, а второе превращается в д (х, у, г, 0) = л (х, у, г); см. выше рассуждения для функции /. Производная д//дг может быть вычислена из уравнения (19). Когда г — и О, радиус сферы, на которой нужно брать значения д//дг, также стремится к нулю.

В пределе элементы интеграла, соответствующие диаметрально противоположным точкам сферы, взаимно уничтожаются, так как соответствующие величины д//дг оказываются производными от /(х, у, г) по взаимно противоположным направлениям. Таким образом, при г=О ди/дг сводится к я(х, у, г), что и требовалось доказать. Решение (23) задачи с начальными условиями для малых возмущений называется Формулой ввуассона. а.б, Исследование решения обращаться в нуль на поверхности сферы с центром в Р, если эта сфера не пересекает Ю. Для фиксированной точки Р(х, у, з) вне Р существует минимальный радиус В«и максимальный радиус В, для сфер с центром Р, пересекающих ее; для Р внутри Р В = О.

При В < В, и В > В, сферы не пересекают О; следовательно, при Жнс = г«Вь~ас = гь и(х,у,н,г)=0, если г < г, или г > г„(24) где г и ге зависят от Р. Это овна- О чает, что возмущение, которое Р н с. 8. Возмущенна, порожвоаникает в Р, ощущается в Р толь ласмос начальным зозмущеннек в области В, сщущаетсн в точке ко в течение промежутка времеви от р только в течение промежутка ~, до Ге. С другой стороны, при времени вв(Р)(«(вв(Р).

фиксированном значении г возмущение ощутимо только в тех точках Р, расстояние которых от некоторой точки Ю точно равно а,г; возмущение существует только в области ))„ состоящей из точек поверхностей всех сфер радиуса нег с центром в Ю (см. рис. 9). Р н с. 9. Возмущение, порождаемое начальным возмущением в области Р, в момент вре- мени г ощущается только в области влв. Если Ю сжимается до бесконечно малой окрестности одной точки О, то возмущение ощущается в точке Р только в момент Гл.

С. Введение времени С =ОР/асг С другой стороны, в заданный момент времени С возмущение ощущается только в точках, лежащих на расстоянии а С от О, т. е. Р, становится поверхностью сферы радиуса а С с центром в точке О. Короче говоря, малое возмущение, возникающее в идеальной упруевй жидкости, находив- шейся первоначально в покое, рае/к проетраняетсл во всех неправа лениях с постоянной скоростью Р а = )/с/р/ссй. Характер изменения величины возмущения со временем легко можно видеть на простом примере. Пусть Р— область, заключенная внутри сферы Яь, задавугяв пусть /(х, у, г)=с/ (где С/ — по- ложительная постоянная) для точек внутри Яь н /=О в остальных точках, а у= — О. Так как задача симметрична, возмущение и(х, у, г, С) должно быть функцией только от С н от г=-(х'+у'+з') /'.

Пусть Р есть точка зне Я„так что для нее г) е. Из формулы (16) следует, 'что аначение / в точкеР в момент Сравно величине У/4я, умноженной на телесный угол а, под которым видно из точки Р пересечение Ю и Ю„где Ю вЂ” сфера радиуса В = а,С с центром в Р. Площадь части Я, вырезаемой конусом с вершиной в Р и углом а при вершине, равна 2яЯв (1 — соз а) = аЛв, так что (см. рис. 10) а = — [е' — (г — Л)з). гВ Затем, подставляя зто выражение в формулу (23) для и при у = О, В=а С, получаем д — С/ д С/ г с и (х, у, з, с) = — (С/) = — — [ез — (г — а С)е] = — ( 1 — а — ) . дс 4гаь дс ь =2( ьг (25) Эта формула имеет место прп С, =(г — с)/аь<С<(г+с)/а„=се, так как Вс и В, на основании формулы (24) равны, очевидно, з этом случае г — е и г+е.

Для всех остальных значений С и=О з точке Р. В заданный момент С и(х, у, з, С) = 0 во всех точках, за исключением точек, для которых а С вЂ” с < г < аес+е; зти точки ааполняют сферический слой толщины 2е. Внутри этого слоя величина и постепенно увеличивается от значения — Уе/2 (а С вЂ” с) аа внутренней поверхности до аначения Ус/2(а С+с) на внешней поверхности, обращаясь в нуль при г= а,С.

Можно показать, что, хотя значения и внутри слоя убывают, когда слой расшн- о.в. Двулссрннэ случаи ряется с увеличением г, интеграл от н по этому объему имеет постоянное значение со!+с аоо+с У Г асвУсо /= ~иосР=4я ~ игооог=4я — ~ г(г — ао!)в(г=, (26) 2 ао! — с ао! — с Таким образом, возмущение затухает со временем, когда оно распространяется от источника. Это поведение возмущений отлично от того, что мы имеем в одномерном случае. Для точек внутри Яо имеем в! =.О, как упомянуто в и. 4, н возмущение длится до тех пор, пока ! не будет равно го=(г+с)/а . В центре О возмущение обращается в нуль при ! =с/ао.

За время ~ = 2с/ао оно затухает всюду в Юо. Таким образом, если воабудить второе воамущенне в Я через промежуток времени 2с/а„то это возмущение будет распространяться с той же скоростью, что и первая волна, и достигнет любой точки вслед за первой волной с постоянным запаздыванием во времени. Если с очень мало, можно рассмотреть последовательность значений в/, положительных и отрицательных, и эта последовательность будет проходить в уменьшенном размере на лвобом расстоянии г. Таково положение в случае акустических сигналов.

Но этот тип задач, обычно изучаемый в акустике, мы не будем обсуждать. Во всяком случае, из формулы (25) следует, что интенсивность возмущения, возникающего вначале внутри малой окрестности О, одинакова во всех точках сферической поверхности Я с центром в О, которой это возмущение достигает в некоторый момент времени /. 6. Двумерный случайоо) Если движение ограничено двумя измерениями, т. е. если д,=О, и если все производные по з обращаются э нуль, то волновое уравнение (15) сводится к уравнению (27) В этом случае поведение малых возмущений может быть определено при помощи решения трехмерной аадачи. Чтобы начальные условия были такимн, какими они должны быть в случае двумерного течения, предположим, что вначале возмущения ограничены неким бесконечным в направлении осн з цилиндром с конечным поперечным сечением Со в плоскости з,у и что в условиях (22) заданные функции /.и я не зависят т.

е. /(х,.у, з) =/(х, у) и т. д. Пусть Р=(з,у,О)— некоторая фиксированная точна в плоскости з,у. Интеграл Гл. А Веедевие в формуле (16) для 1(х, у, О, г), распространенный по сфере радиуса )т = аег с центром в Р, можно выразить как интеграл в плоскости х, у. Если е(Ю есть элемент площади в точке ($, т), е",) аа Я и АА означает проекцию Ы ва плоскость х, у, то ИЯ: ЫА = =тт: 1/пз — гз, где ге=(х — $)е+(у — В)з. Проекция Ю на плоскость х, у является кругом С радиуса 11 с центром в Р; этот крут перекрывается дважды, так что 4апе 1 (' ' 4вде 1 ' УЕ~ 3 с Г еА 2пВ ) ~( ' ~) Уре,е с При ааданных 1 и д двумерное решение и (х, у, г) может быть дано в форме (23), если определение (16) для 1 заменить'следующим: 1(х У г)= „~1($ Ч) (28) с Так как подинтегральная функции в этом выражении равна нулю всюду, за исключением области пересечения С и С„то снова справедливо утверждение, что в любой момент г в любой точке плоскости х, у, расстояние которой от начального возмущения больше, чем а,г, воамущения отсутствуют.