Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости, страница 7

Точнее, и„, т,„и т„, обозначают компоненты вектора напряжения С„, действующего на элементарную площадку, для которой направление внешней нормали совпадает с положительным направлением ося х. Таким образом, положительное значение для пв определяет растягиввющее усилие, а отрицательное значение соответствует сжатиго. Итак, С„, С„и С, обозначают напряжения, действующие на элементы поверхйости с нормалямп в направлении осей х, у и х; тогда, поскольку элемент жидкости должен находиться в равновесии, вектор напряжения С„, действующий на элемент поверхности с внешней норыалью направления и, должен задаваться формулой С„=С„сов(п, х)+С„сов(п, у)+С,сов(п, х). (1) Следовательно, величина и, являгощаяся компонентой С„в направлении и, определяется формулой о=С„й е„„сов(п, х)+е„ясов(п, у)+~„,ров(п, х), (2) ды. Валкие наярлонэнил и гидравлическое давление 37 где Сн„ен„и еа, — компоненты Сн по направлениям х, у и х, а и — единичный вектор в направлении и, в то время как результирующее касательное напряжение равно т = )/гй — о'.

(з) В частном случае идеальной жидкости вектор ь„параллелен и по предположениго; тогда в формуле (2) о=э„, формула (3) сводится к равенству т=О и компонента С„в направлении оси х равна осоз(п, х) =о„соз(п, х), так что о=о„. Подобно этому о=о„=о,', как указано в п.1.2, где общая величина нормальных напряжений была обозначена через — р е). В общем случае, однако, три нормальных напряжения о„, пэ, пе не обязательно будут равными и нх разность будет тем больше, чем больше касательные напряжения.

В теории упругости зто обстоятельство не вызывает затруднений, но в механике жидкости существование уравнения состояния требует, чтобы существовало гидравлическое давление, одинаковое во всех направлениях. Возникает вопрос: что можно испольэовать вместо переменной р в уравнении состояния (и в других термодннамических уравнениях), когда мы имеем дело с вязкой жидкостью? Ответ на этот вопрос определяется,тем обстоятельством [следугощим из уравнений (2) и (1) при помощи простого вычисления, использующего элементарные свойства . направляющих косинусов ортогональных направлений), что сумма нормальных напряжений о„, оа и о, не меняется прн повороте координатных осей **), т. е. еслй х', у' и я' образуют ортогональный трехгранник, а о,оэ.

и о- — нормальные напряжения, соответствующие этим направлениям, то о„+ па + о, = о„+ се+ о,. (4) Для идеальной жидкости ета инвариантная величина имеет значение — Зр. Таким образом, естественно рассматривать одну треть суммы (4) как среднее растяэиеаюч(ее напряжение, а если она имеет отрицательное значение, то как среднее давление в заданной точке.

Обычно в качестве величины р, входящей *) Перечисленные свойства векторов эю отражающие то обстоятельство, что для вовкой жидкости наярнжениое состояние описывается симметрич. ным аффннным тепаором второго ранга, янляютсн следствиями теорем об нэмененин количества движения и об иэменеиин момента количества движения, примененных к частице. Подробнее по этому поводу см. Лойцянски Л. Г., Механика жидкости и газа, М.— Л., э950, стр. 95 — 90.— Пр, . рд.

**) Это утверждение явлнется следствием того, что матрица, составленная иэ компонент векторов гн, св и ьн обраэует аффивный тенэор. Сумма ок+оэ+о, наэываетсн линейным инвариантом тенэора напряжений. — Прилег ред. Гл. 1. Введение в термодинав<ические уравнения, берут р= — 3 (а +а„+а,) 1 (5) Вопрос о справедливости этого предположения — чисто экспериментальный вопрос, который не может быть решен на основании известных сейчас экспериментальных данных. Уравнение (5) будет использовано в атой книге как рабочая гипотеза *). Если р определено, то распределение напряжений в каждой точке можно представить как сумму гидравлического давления р, одинакового по всем направлениям, и системы вяаких напряже'- а„= — р+а„', а„= -р+аэ', а,= -р+а,' ' (6) и, следовательно согласно уравнени<о (5), а'+ а„'+ а,' = О.

(7) 2. Уравнение Ньютона для вязкой жидкости 'э) Общая форма уравнения Ньютона, справедливого для любой сплошной среды, задается уравнением (<.<). В величину «внутренних сил, действу<ощих на единичный объем», давление р делает вклад, равный — дга<) р, точно так же, как и в случае идеальной жидкости.

Для прямоугольного параллелепипеда, изображенного на рис. б, силы вязкости, действующие в направлении оси х на грани, имеют величину а„' Ыу <Ь, т„„с)х Нх, т,„<»х Йу, и) Эта гипотеза яе является едизстзеяио воэможяой. В теории, постулирующей линейную сэяаь между теиэорами яапряжезий и скоростей деформации, устанавливается следующий результат: аи+ аэ+ а,= — Зр+рх д<ч ч.

Коэффициезт р<, лаэыэаемый коэффициентом второй ля»кости; был и»учел Л. Д. Лаядау. По этому аопросу см. Лаядау Л. Д., Лифшиц Е. М., Механика сплошиых сред, Гостехиэдат, 1933, стр. 376.— Ириэ<. ред. Нужно заметить, что вязкив напряжения не явля<отся дополнительными неизвестными, поЯвлЯющимисЯ помимо <7„, <7„, Рю р и 9, рассмотренных до сих пор. В теории вязкой жидкости напрян<вння а' и т счита<отся заданными функциями р, 9, ц и их производных, например, а„' считается пропорциональной д<7„/дх и т. д. Точная форма этой зависимости здесь рассматриваться не будет, хотя некоторое необходимое ограничение, обусловленное тем, чго силы вяакости являются «сплами трения», будет упомянуто в п.З.

8.2. Уравнение Ньютона дхи вхвкоа хеидкооти а на противоположные грани '+д — е(~)~рв(~, ( „„+~фе(у)е)хв(з, (т,„+~ (з) яе(р. Если разность сил, действующих на параллельные грани, разделить на элемент объема Ыхв(уе(з, то компонента по оси х результирующей силы вязкости, действующей на единичный объем, будет равна дпх д ьих дтт о = — "+ — + —. х дх ду де (8) Это уравнение можно также записать в векторной форме е — дв=ей — 8 ар+у. Ыя (1') ъ где т — результирующая сила вязкости, действутощая на единичный объем. Если напряжения не разложены на гидравлическое давление р и вязкие напряжения, то в уравнениях (8) член — (др/дх) + (до„'(дх) должен быть заменен на до удх и т.

д. Читатель, знакомый с обозначениями, принятыми в тенэорном исчислении, может заметить, что уравнение (1 ) можно также записать в виде 9 „— =9К вЂ” 8гап р+8гапХ дч в (8') яли в виде ЕД=Е8+8 бХ, (8") где через Е обозначен тенэор напряжения, а через Е' — тензор вязких напряжений "4). уравнение (1") (или уравнения (8)) заменяет уравнение (1.1). Учет вязкости не влияет на форму уравнения неразрывности (1.11) или (1.11'); для того чтобы сделать систему уравнений замкнутой, снова должно .быть добавлено некоторое замыкающее уравнение вида (1.Н1).

Таким образом, уравнение Ньютона в проекции на ось х имеет еид ивх др дсх дхих дтгх Я =98 — — + — + — +— Ие " дх дх ду дк (8) аналогичным образом или путем циклической подстановки е уравнении (8) можно получить уравнение Ньютона в проекции яа две другие оси Ы~Ь др дехи док деви уд~ др дтхе ' дтив див 9- ь=Е8 — --+ — -, — + —. де * дк дх ' ду дк ' Гх. ?. Введение 3.

Работа сил вязкости. Диссипация В 6 2 уравнение энергии для идеальной жидкости было по- лучено из векторного уравнения (1.1) при помощи скалярного умножения последнего на ц. Если же мы в качестве отправного пункта возьмем уравнение (Г) вместо уравнения (1.1), то в результате умножения получится, как и прежде, уравнение (2.6), но в правой ' части появятся добавочные члены, происходящие от «1 т, а именно Р Каждое слагаемое в выражении (9) можно разбить на два, например, дсх д,, дух дтгх д д~д дх =дх(Чх ") "дх ' Ч* ду =ду(Чхтг*) тг д г у Далее введем обозначение д д дх(Чх х+Чг хг+Чг хг)+ду(Чх ах+ Чг у+Че гг)+ + дг (Чей+ Чгтгг+ Чги~) .

(10) д и, вспоминая, что т„„=т„„и т. д., положим д=а' — "+и' — +и,' — '+т ~ — + — )+ дх "ду ' дг хг~ ду дх) Тогда уравнение, которое получается вместо уравнения (2.6), может быть записано в следующем виде: Величины, введенные равенствами (10) и (11), допускают вполне определенное физическое истолкование. Будет показано, что а) ш' представляет собой работу, затрачиваемую в единицу времени на преодоление сил вязкости, отнесенную к единице объема, и что б) 6 является существенно положительной величиной, имеющей раамерность работы, совершенной за единицу времени и отнесенной к единице объема; эту величину можно назвать диссипативной функцией или просто диссипацией, характеризующей скорость превращения механической энергии в тепловую за единицу времени и в единичном объеме.

З.З. Работа сиа вясаасти. Диссипациа а) При избранных ранее обозначениях для компонент напряжения компоненты по осям х, у и г силы вязкости, действующей на левую грань (внешняя нормаль направлена противоположно оси х) прямоугольного параллелепипеда, изображенного на рис. 6, выражаются следующим образом: — о' ду есг, — т„е ду Йг, — т„, оу ссг. Таким образом, работа, совершенная этими силами за единицу времени, равна — Чини "У с(г — дст„„ду Йг — ц,гас йр дг. Работа, совершенная силами вязкости, действующими на противоположную грань (с внешней нормалью в направлении оси х), равна [таси+ о — (тиса) ~Ух ) ~Хе с г+ ( Д~т~~+э= (Я~таз) дх|с1с' иг+ + ( ц,т„,+ — (д,т„,) ссх~ ссуде. Таким образом, суммарная работа, совершенная силами вязкости на этой паре граней эа единицу времени в расчете на единичный объем, равна д, д д би (ох «)+ ба (оутис)+ ба (матис)1 аналогичные выражения имеют место для оставшихся пар граней, так что общая работа по всем граням в точности равна правой части уравнения (10), и следовательно, — ш'.

Тогда ю' — отнесенная к единице времени и к единице объема работа, затрачиваемая на преодоление сил вязкости. Так как ш — работа, затрачиваемая на преодоление сил гидравлическозо давления, то слагаемое в+ю' в уравнении (12) включает всю работу, эатрачнваемуео на преодоление поверхностных напряжений ").. б) Производные от скоростей, входящие в уравнение (11), легко интерпретировать. Например, д„„ = дд„/дх представляет собой скорость деформации в направлении оси х, так как за время ссс' левая грань прямоугольного параллелепипеда получает смещение д„де, в то время как правая имеет смещение (ч„ + (дд,(дх) Их]ог. Кроме того, так как о„' — нормальное напряжение, обусловленное вязкостью жидкости, необходимо предположить, что о' положительно (растягиваеощее напряжение), когда происходит растяжение (дд„/дх полоя<нтельно), и отрицательно в случае сжатия (дд„/дх отрицательно); первое произведение, входящее в выражение (11), о„' дд„1дх неотрицательно, точно так же, как два последующих слагаемых.