Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости, страница 14

Аналогично Гз представляет собой интеграл по контуру ВА+ АЕВ. В сумме Г„+Г, интегралы по АВ и ВА взаимно уничтожаются, так как для этих двух путей ц одинаково, а л) имеет противоположные направления. Таким образом, сумма сводится к интегралу по ВЪА и АЕВ, что является в точности интегралом по С, т. е. Г. С Равенство (2) можно обобщить. Предположим, что Ф вЂ” произвольная незамкнутая двусторонняя поверхность, натянутая на С, т. е. имеющая С в качестве края. С одной стороны как ивтег ал по йозе х- М обход С будет совершаться против часовой стрелки, и нормаль к Ф всегда будет браться с этой стороны.

На М проводятся два семейства кривых, образующих сетку, как показано на рис. 20. Каждая ячейка сетки представляет собой замкнутый контур, причем направление обхода будем брать против часовой стрелки относительно нормали к поверхности. Тогда этим замкнутым контурам соответствуют значения циркуляции Г„ Гз и т. д.

Применяя последовательно формулы (2), найдем Г=Г,+Г,+...+Г, (3) где пг — число ячеек в сетке. Увеличим теперь число соединяющих путей так, чтобы сетка стала более густой, все ячейки стали бы меньше, а число членов в равенстве (3) увеличилось. Определим функцию у в каждой точке Р, принадлежащей Ю, как предел отношения циркуляции по контуру ячейки, окружающей Р, к площади ячейки, когда ячейка стягивается к этой точке.

Тогда для первой ячейки циркуляция Г, приближенно задается как уг 4Фь где пя, — площадь ячейки, а ут — значение у в некотоРой точке внутри ячейки, причем приближение становится тем точнее, чем меньше АМК то же получается и для остальных ячеек. Таким образом,- когда число слагаемых неограниченно Гл.

И. Общие теерееем 72 увеличивается, правая часть равенства (3) переходит в интеграл от у по поверхности Ю, т. е. (4) Из определения у ясно, что значение этой функции в каждой точке Ф- зависит от распределения скоростей «) в окрестности етой точки. При вычислении этой зависимости выберем на дг кривые, пересекающиеся всегда под прямыми углами. Тогда в любой точке Р можно взять прямоугольную систему координат, направив ось г по нормали к Ф в точке Р, а оси х и у — по касательным к двум кривым, проходящим через Р, так, чтобы получилась правая система координат. Тогда бесконечно малая ячейка с вершиной в точке Р имеет такой вид, как показано на рис.

21. При вычислении криволиней- Р Ре ного интеграла (1) для этой ячейки ' путь интегрирования можно разбить на четыре бесконечно малых элемента н вычислить д,й для каждой части. Вдоль РР, зта величина равна д„е(х, Р вдоль Р,Р, равна [де+(дд /дх) еехфу, рис. 21. цкрку-цик во вдел Рерз — (у«1(дЧы4у)ду)(х, бесконечно малому конту- вдоль Р, Р она равна —.У„е(у. Сумма РУ. этих членов дает интеграл по всему пути, и циркуляция по контуру этой бесконечно малой ячейки равна ~, дх ду,г Так как с(хе(у — площадь атой ячейки, то в точке Р функция у должна быть равной дое7дх — дд„(ду.,Но эта величина в точности равна составляющей по оси г вектора, известного как вихра (или гоФ) е(, который определяется равенством / дее дее дде дде дее дех '~ го6«ш ( — — —, (5) ду де ' де дх ' дх ду ( ' Необходимо заметить, что зто определение вихря верно в любой правой прямоугольной системе координате>.

Так как здесь ось г направлена к поверхности Ю, то оказывается, что у равно по величине проекции гоге) на нормаль к поверхности, В.2. Среднее ераиеение Таким образом, формулу (4) можно записать так: Г= ~ (госЧ)„АМ, Я Г= ~ (гоее)) М. (6') Комбинируя формулы (1) и (6'), получаем ф е) е(1 = ~ (гос е)) ей. Эта векторная формула известна под названием теоремы Сепсиса ') Она утверждает, что если скорость течения равна е), то циркуляция по любому контуру равна интегралу от гоье) по любой поверхности, натянутой на данный контур.

.е А Ясно, что формулы (6) нли (6') В ~ можно применять. только в том случае, если возможно найти некоторую поверхность, для которой данный контур является краем и на которой всюду определен гое «(. Например, в случае обтекания бесконечного цилиндрического пре- 1~ пятствия нельзя найти ни одной такой поверхности для любого контура, охватывающего цилиндр. Однако и здесь теорему можно применить, хотя зто даст несколько иной результат. Как по- Р и с. 22. Контуры, ахеян казано на рис.

22, два таких контура тыяающие препятствие. Сх и Се при помощи отрезка АВ можно превратить в простой контур, на который можно натянуть соответствующую поверхность. Тогда интеграл (6), взятый по этой поверхности, будет равен à — Г; так как на контурах Сх и С заданы противоположные направления обхода. и интегралы по АВ взаимно уничтожаются. В частности, если гоь е) = О в области течения, т. е. если мы имеем беввихревое течение (см. 5 7), то Ге в Ге = О или Гх= Г: циркуляции по всем контурам, охватывающим препятствие, равны.

Среднее вращение Вектору гоее(, определенному равенством (5), можно дать простое кинематическое истолкование. причем эта формула не зависит от выбора системы координат. Если ввести вектор йде, имеющий величину Ывг и направленный по. нормали к поверхности, то равенство (6) можно также записать в следующем виде: Га. 11. Общие тпсореисы Пусть Р— точка движущейся среды, а ~ — соседняя с ней точка. При вращении твердого тела с угловой скоростью се вокруг оси, проходящей через Р, в точке () вихрь вектора скорости будет один и тот же, равный 2се, независимо от того, где расположена точна ф Не так обстоит дело в случае жидкости или лгобой деформируемой среды. Начнем с вычисления угловой скорости отрезка Рс1 относительно в произвольно заданной оси, прохо- 1 дящей через точку Р. Принимая точку Р за начало отсчета, выбе- --~ ' "Ф рем правую ортогональную систе- Р му координат, такую, что ось г в'в с.

23. Вычвслевве срелзегс направлена по этой оси. Пусть еращеввя. РЧ=-Иг, (3' — проекция ~ на плос- кость х, у (см. рис. 23), 0 — угол между осью г и Р(1 (широта, отсчитываемая от полюса), а ф — угол между осью х и РЯ'(долгота). Расстояние от оси г до Д равно РЯ' = в|п 8 ссг и декартовы"координаты ~ относительно Р задаются равенствами Их = совф в(п 0 Иг, ссу = в1пф яп 04г и вг = сов 0 с(г.

Поэтому если скорость в точке Р равна и, то вектор скорости в точке Д (относительно точки Р) равен — совф в(п 8+ — як ф вша+ — сов 0 ) Иг. ач . , ач . . дч ах ау дс 'Угловая скорость отрезка РД относительно оси г получается путем деления компоненты скорости в точке ~ в направлении, перпендикулярном к Р~' и к оси г, на расстояние точки (1 от оси г, т. е. на РЯ'. Углы, которые ато направление составляет с осями х, у и г, равны ф+ 90', ф и 90' соответственно, и косинусы этих углов равны — в!п ф, сов ф и О. Таким образом, искомая компонента равна — сов ф — — яп ф — ( — — — ) в1в ф сов ф ) яп 0 сЬ + деи , асх .

, Г дд„ дд„ ~ . дх ау (, дх ду,l + ( — сов ф — — яп ф) сев 8яг. Г дси дух дг дс 'Разделив это выражение на яп 0 с(г, получим угловую скорость РЧ относительно оси г, причем в общем случае эта величина зависит от координат 0 и ф точки Д. Теперь вычислим среднюю угловую скорость для всех точек (3, лежащих на одной параллели 9 = сопв$ сферы с(г = сопев, сначала интегрируя по ф от 0 до 2и, а затем деля результат на 2л. Все интегралы, за исключением интегралов от первых двух 6.2. Среднее вращение 75 слагаемых, обращаются в нуль, что дает $ г г 2( ) е о (7) Так как этот результат не зависит от 9 и йг, то та же величина получится, если взять среднюю угловую скорость относительно оси е по всей бесконечно малой сфере с центром в Р. Так как ось з может иметь любое направление, то предыдущий результат показывает, что в любой точке Р движущейся гоь с)„ жидкости вектор г/' гоФ ц С представляет собой (мгновен- / / / ную) среднюю угловую ско- / / / рость, или среднее вращение, С г всех отрезков РЯ внутри бес- / конечно малой сферы с цент- / ром в Р.

Мы назовем его / / средним вращением вля средней угловой скоростью элемента жидкости в точке Р '). Во всех случаях, кроме случая гоги ля 6, равенство Рвс. 24. вихревая трубка вразлвчзые (б) контуры, лежап1ие па ее поверхности. б) определяет в каждый момент времени г и в каждой точке жидкости вектор госц, который является удвоенной средней угловой скоростью элемента жидкости в точке Р. Этот вектор обычно называется векторомеихрем. Каждая линия внутри жидкости, касательная к которой в каждой точке имеет то же направление, что и гойц, называется вихревой линией. Все вихревые ливии, проходящие через точки замкнутой кривой С, которая сама не является вихревой линией, образуют вихревую трубку.

Вихревая трубка бесконечно малого поперечного сечения называется вихревой нитью г). /еля любого контура, такого, как контур С„изображенный на рис. 24, лежащего на поверхности вихревой трубки, но не охватывающего вту трубку, ~4иркулядия должна быть равной нулю. Это следует из уравнения (6), так как за поверхность Ю, натянутую на зтот контур, можно взять часть поверхности вихревой трубки, где нормальная компонента гоби всюду равна нулю. Но это обстоятельство уже не будет иметь места для контуров, охватывающих трубку, таких, как С и С„изображенные ва рис. 24. Из 'формулы (6) следует, что в этом случае для всех контуров, охватывающих одну и ту же трубку, /4иркуля/)ия до/ююна иметь одинаковое значение. Действительно, при вычислении циРкУлЯции Гг по контУРУ С, можно выбРать в качестве Фг 76 Гя.