Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости, страница 16

Это обусловлено наличием вязкости, которой пренебрегают в теории идеальной жидкости. Теоремы о вихрях следуют иа того обстоятельства, что вектор ускорения является градиентом (и поэтому его вихрь равен нулю). Для того чтобы прийти к этому утверждению — уравнению (12),— необходимо пренебречь всеми компонентами напряжений, за исключением давления Р (всеми касательныыи напряжениями), и предположить существование соотношения между р и д, чтобы сделать возможным определение Р.

.5. Среднее вращение и функция' Бернулли В п.2.5 мы ввели понятие полной высожы (полного напора) Н=Х+ь+ — ', 2я д' (14) которая, как было показано, должна быть постоянной вдоль любой линии тока в установившемся течении (уравнение Бер- нулли). Рассмотрим соотношение между функцией Бернулли Н и средним вращением жидкости, или гоФЧ. Исходя из уравнения движения идеальной упругой жидкости, записанного в форме (12), вычтем ягаб Щ2) из обеих частей равенства; используя равенство (14), получаем —, — зтай ( — ) = — ягай (йн).

Ж~ Где~ (15) Чтобы истолковать вектор, стоящий в левой части получен- ного уравнения, вычислим компоненту этого вектора по оси х. Используя правило дифференцирования Эйлера и равенство 7е=Щ+дл+д*, и обозначаЯ кРатко гоСЧ чеРез Л, полУчаем, .что компонента этого вектора по оси х равна 'ь+(Л 7, Л,Ч )='т+(ЛХЧ)„; .тогда из уравнения (15) следует, что") — „+(го1Ч Х Ч) = — агаа(дН). дч (17) Это (векторное) уравнение (которое является одной из форм уравнения Ньютона *) для идеальной жидкости) включает и (ска- *) В отечественной литературе ото ураваеиие обычно яазыаается ураа~иевием даижеиия в форме Громеяи — Лаибе.— Прим.

ред. 6.6. Докаеательетео Гельмеольиа теорем о еикрлк 81 ляряое) уравиевие Бернулли. Действительно, для устаиовившегося течения дЧ!дг = О, так что 8гай Н = — — (го$ и Х 11). 1 (18) Ю 'Гак как векторное произведеиие перпендикулярно к каждому ив своих сомиожителей, то уравнение (18) показывает, что вектор бгайН перпепдпкуляреи к я. Следовательно, производная от Н по касательной к ливии тока равна нулю, и Н должво быть постоянным вдоль линии тока.

Более того, .8гайН ие может иметь компоненты в напРавлении го$1(е т. е. по касательной к вихревой линии. Таким образом, в установившемся течении идеальной упругой жидкости поверхности, на которых функция Бернулли принимает постоянные значения, составлены из линшь тока и вихревых линий. Наиболее важное следствие из уравнения (18) таково: если гоги равен нулю во всех точках, то ва основании уравнения (18) 8гайН— = О, т. е.

функция Бернулли имеет всюду одно и то же значение, и можно утверждать, что в установившемся безвихревом течении идеальной упругой жидкости фуеекезия Бернулли (полная высота) имеет одно и то же значение на всех линиях тока. Обратвое утверждение, вообще говоря, веверпо. Может случиться, что линии тока и вихревые линии будут совпадать; в этом случае векторное произведение гоьи Х 11 равно нулю и Н постоянно всюду, хотя движение пе является безвихревым"). Однако это — весьма частный случай движения, например, ои пе может иметь места в двумерном течении (6,=0 и д/дг= О), в котором, как показывает формула (5), гос ц перпевдикуляреи и плоскости х, у и поэтому пе может совпадать везде с ц.

В случае иеустаиовившегося безвихревого движения ураввевпе (17) приводит к уравнению 61 — — 8г й (ун), (19) которое понадобится вам в дальнейшем. б Доказательство Гельмгольца теорем о вихрях за) Гермая Гельмгольц вывел две свои теоремы о вихрях иепосредственио из уравиевия (17), ие пользуясь понятием циркуляции.

Основное его рассуждение, которое однако ве приводпт к строгому доказательству, состоит в следующем. Хорошо известно, что вихрь градиента равен нулю. Действительно, если для некоторой. функции ~р вектор а удовлетворяет равенству а=бгай~р, то Р. маеее 82 Гл. 11. Общие теаделил и т. п., и формула (5) показывает, что гоь а тождественно равен нулю.

Таким образом, применяя операцию го~ к обеим частям уравнения (17), получаем го1 — + гоз(гоЛ и х и) — О. дЧ Если мы изменим порядок дифференцирования в первом члене и будем писать Л вместо гоФе), то это уравнение примет вид — + гоь(Л Х н) =О. дЛ д$ (20) Члены, которые получаются от дифференцирования произведений, расположены ниже в первом, втором, четвертом н пятом столбцах дЛх дЛх дЛх дЛи дЛе дЛх х( х) х и е х+ иди еде хдх хдд х де хдх а члены, добавленные в третьем и шестом столбцах, взаимно уничтожаются.

Комбинацию членов, стоящих в каждой строке, можно упростить, и выражение (21) можно ааменить выражением Ч дх — Чхб1т Л+Л„б1те( — Л д*, (21") где д/до означает дифференцирование по направлению Л (вдоль вихревой линии). Второй член в выражении (21") равен нулю, так как дивергенция вихря всегда равна нулю, что можно показать на основании формулы (5). В третьем члене множитель Й1тп можно заменить на — (1/Ч)ЫЧ/е(г на основании уравнения неразрывности (1.1Г). Таким обрааом, величина (21") записывается в виде дЛх Лх да ддх Ч вЂ” * — —" — — Л вЂ” ". де Ч айаг до а это выражение в точности равно компоненте по оси х вектора Ч вЂ” — — — Л,—.

дЛ Л ЫЧ дЧ (22) де о ен да' Если второй член в уравнении (20) заменить его выражением (22) н перегруппировать члены, используя одновременно эйле- Воспользовавшись определением (5) вихря и определением векторного произведения, запишем компоненту второго слагаемого по оси х в виде д — (ЛхЧи — ЛиЧх) — д (Леׄ— Л„Ч,).

д д (21) 6.6. Дохаеатеяьетео Геяьмеояьча теорем о вихрях 83 рова правило дифференцирования ($.4), то получим д$, 1 Ыо дц — — — ) — =Х вЂ”. бг Е бе да' (23) разделим все члены этого уравнения на й и положим Л = 1/о; тогда — =Л вЂ”. ееА дЧ бг до' (23') Это — уравнение Гельмгольца, которое можно истолковать таким образом, что получатся две теоремы о вихрях. Пусть Р и () (см. рис. 27) — две близкие точки, лежащие на одной вихревой линии. Тогда РЯ = Ле для достаточно малого з. р Ле ',фй Р н с. 27. Истолкование урввненнк Гельмгольца. РР'=г)ей, Я~~'=(ц+ДЛ~)Ы. Тогда Р'(1' задается равенством Р'Я' = — РР' +.РЯ+ Д~' = (Л+ д Л еМ) з.

Но тогда уравнение (23') дает Р'Я'=(Л+ — „„е(1) е=Л'з, (24) так как выражение, стоящее в круглых скобках, в точности Равно значению Л' вектора Л, которое он принимает в точке Р' по истечении времени Ж. Из равенства (24) следует, во-первых, что точки Р' и е',)' снова лежат на вихревой линии (с точностью до членов первого порядка малости), так как Л' имеет направление вихревой линии в точке Р', это полностью согласуется с первой теоремой о вихрях. Во-вторых, равенство (24) показы- еь За время е(г частица, находившаяся в точке Р, переместится в точку Р', а частица, находившаяся в точке (г', — в точку (г', при-- чем Гл.

ГГ. Общие жеоремм вает, что изменение длины отрезка РЯ пропорционально изме- вению Л. Но во время перехода от РЯ к Р'Я' масса частицы ке изменяется; поэтому если ИФ и Идг' — нормальные поперечные сечения вихревой нити до смещения и после него, а р и о'— соответствующие значения плотности, то откуда (25) Но произведение оЛ, согласно определению Л, равно длине вектора гоСл), так что равенство (25) является выражением второй теоремы о вихрях: произведение поперечного сечения вихревой нкти на величину вихря остается постоянной величиной. Отсюда может быть получена аналогичная теорема для вихревой трубки конечного поперечного сечения.

1 7 БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ лл) 1. Потенциал Из теории вихрей, изложенной в предыдущем параграфе, следует, что в идеальной упругой жидкости частица, которая в некоторый момент не имела среднего вращения, не может впоследствии приобрести его "). Если в некоторый момент времени г=О вся рассматриваемая масса жидкости свободна от вихрей, то это будет иметь место и в дальнейшем.

Таким образом, могут существовать течения такие, что гол й = 0 для всех а Переход к вихревому движению возможен только в том случае, когда становятся существенными силы вязкости или когда жидкость перестает быть упругой и т. д. В частности, если течение начинается в области, где ц, р и о постоянны (например, из состояния покоя), течение остается безвихревым везде и все время, независимо от того, будет ли оно установившимся илп неустановившимся. Условие (1) математически эквивалентно,утверждению, что вектор ц является градиентом, т.

е. что существует функция Фл(х,у,з,г), градиент которой равен и, а именно дФ, дФ, дФл Ч згаоФл' Ч* ' .дх ' Чэ д ' Ч' д ' (2) Кроме некоторого заданного соотношения между р и о течение удовлетворяет а) уравнению неразрывности, которое мы можем у.т Потенциал ваять в форме (1.1Г) 1 до й1тц = — — —, о и' (3) и б) уравнению движения, которое мы возьмем в форме (6.19), справедливой для безвихревого течения идеальной упругой жидкости, дц е дс — = — ягай (дН) =' — атай1 — +уй+ Р) . 2 (4) Если принять во внимание, что ц = исай Ф, и что — дя йФ,=яг й —, д дФ, дс дс Так как г" нв зависит от х, у и з, функция Ф= Ф, — г" имеет те же производные по координатам, что и Ф, и может быть поэтому использована в формулах (2) вместо Ф,.

Тогда Ф удовлетворяет следующим четырем условиям: дФ дФ дФ /ес д — — ц„— =ц, — с — — ~ — +ей+Р) . (6) ду У' дг ы дС ~ 2 Здесь шесть условий интегрируемости дсФ дсФ д'Ф д'Ф дхду дуде' '''' дедс дсде выполняются вследствие равенства (1) и уравнения (4) и таким образом функция Ф для данного типа течения определена с точностью до аддитнвной постоянной. Функция Ф называется потенциалом безвихревого течения жидкости. Читатель знаком с тем обстоятельством, что ягайФ нормален к поверхности Ф=сопэ$; таким образом, вектор скорости ц перпендикулярен к этим элеи- потенциальным поверхностям, или, короче, потенциальным поверхностям.