Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости, страница 17

Величина компоненты ц в каком-либо направлении Равна производной от Ф в этом наиравлении и, в частности, ц Равно дФ/де, где д!дг оаначает дифференцирование по направлению линий тока. Если функция Ф (х, у, г, с) известна, то течение полностью определено, так как первые три равенства (6) дают,ц, дФ д то уравнение (4) можно записать так: дгай ( —,'+ ан) = О. (5) Следовательно, сумма дФ,/де+оН может быть функцией только от с, скажем 1(с). если Р(с) есть неопределенный интеграл от с(с), то дФ1 — '+ йН 1 = —,, илн — (Ф, — Р) = — уН. (5') сссг д 86 Гл.

11. ОбиЕие теоремы а затем последнее уравнение устанавливает величину Р, которая вместе с соотношением между р и 9 определяет р и д как функции от з, у, з и д Ясно, что аддитивная постоянная, входящая в функцию Ф, не играет существенной роли. В случае установившегося движения, когда Ч и Р не завпсят от г, пз первых трех равенств (6) следует, что дФ/дг не зависит от х, у и г, так как д(дФ/де)/дх=д(дФ/дх)/де=О, и т. и., а пз последнего равенства (6) следует, что дФ/дг также не зависит и от д Таким образом, производная дФ/де постоянна всюду и все время; действительно, согласно равенствам (6), она равна — яН, что находится в соответствии с заключением, утверждающим, что величина Н в установившемся безвихревом течении постоянна (см.

п.6.5). 2. Уравнение для потенциала При выводе равенств (6) использовались только формулы (1) и (4). Таким образом, произвольная функция Ф(к,у,г,е) вместе с соотношением между р и 9 и равенствами (6) опре- деляет распределение величин Ч, р и 9, которое удовлетворяет уравнению Ньютона (4), но, вообще говоря, не удовлетворяет уравнению неразрывности (3). Последнее уравнение будет удовле- творено, если Ф будет решением дифференциального уравнения, которое получается при подстановке Ф в уравнение (3). Левая часть уравнения (3) имеет внд с1чЧ = й!ть~аоФ=д*'+дФ + д * -— ЛФ, деш де ее деФ (7) ыс' (8) Если существует соотношение между Р и 9, то правая часть уравнения (3) равна 1 'Е 1додр с де с Ырде аесде леде так как, по определению, Р = ~ е(р/9 (см.

п.2.5). Таким образом, уравнение (3) принимает вид ЛФ= — — —. 1 ИР ае де (9) Мы покажем (уравнения (10) и (16)], что н а' и дР7е71 можно выразить через производные от Ф. где символ Ь (оператор Лапласа) используется в том же смысле, что и в 1 4. Скорость звука можно, как и в и. 4.1, определить равенством 87 7.2. Уравнение дап погпанциваа В случае несжимаемой жидкости, когда а= со, правая часть уравнения (9) равна нулю, потенциал Ф должен поэтому быть решением уравнения Лапласа, ЬФ=О, что поэволяет испольэовать все классические результаты, полученные для уравнения Лапласа. Далее, это уравнение не содержит 1; это еаначает, что Ф (а поэтому и все течение) в шобой момент определяется тольно граничными условиями, выполняющимися в данный момент времени: в беэвихревом движении несжимаемой идеальной жидкости нет «последействия» («а11ег-е11ес1»).

Дело обстоит значительно сложнее, когда жидкость сжимаема. Иэ последнего равенства (6) имеем — Р = дФ/дт+ о»72+ уЬ, так что по правилу дифференцирования Эйлера При дифференцировании функции Ь было использовано то обстоятельство, что дЦд1=0 и что производная дЫдг равна косинусу угла между направлением <1 ( = дга<) Ф) и ига<(Ь.

Следовательно, <7дЬ/дг — компонента дга<(Ф в направлении нормали к поверхности Ь= сове« или <7дЬ/де= дФ/дЬ; Испольэуя обозначения Ф„, Ф„, Ф. и Ф, для частных проиаводных Ф, запишем второй н третйй члены правой части уравнения (10) в развернутом виде дудФ~ дФ< дФ, дФ< <7 = Д вЂ” + <7 — -" <7 — = дв<,д<) "дх иду ' *дх дФ< дФ< + дФ< дх иду *де (11) Следовательно, эти два члена равны. При помощи уравнения (10) уравнение (9) можно записать так: 1 д»Ф 1 д l дФ двв 1 дФ ЬФ- — — = — д — ( 2 — + — )+ — д — . а» д<» а» дв<, д< 2) ' ав дь (12) Таи как в задачах о течении газа влияние силы тяжести обычно несущественно, то последний член в уравнении (12) в дальнейшем будет опуп<ен; сохранение этого члена ненамного усложнит уравнение.

Чтобы эаписать уравнение (12) в прямоугольных координатах, воспользуемся тем, что » д'Ф д»Ф д»Ф = Д» дхв + <вх <ви даду+ хххв дх де ' (13) 88 Га. 11. Общие таеареяы соответствующие формулы имеют место для д и о,. Подставив в уравнение (12) выражения (11) и (13), замейнв слагаемое ЛФ его выражением (7) и опустив гравитационный член, получим — 2 — — — 2- — — 2 —— дада деФ дад, деФ д,д„д'Ф аа дх ду аа ду да аа дада Это — основное уравнение для потенциала течения сжимаемой жидкости; вспомним для сравнения, что в случае несжимаемой жидкости ЛФ=О. Как было упомянуто ранее, аз является функцией первых производных от Ф, поэтому при помощи соотношения между р и о можно выразить а' через ц или р или Р; если пренебречь действием силы тяхсестн, то, согласно равенству (6), дФ,е дФ Р = — — ' — — = — — — — (огай Ф)'.

дС 2 дс 2 6 (15) Если движение установившееся и скорости достаточно малы, так что в компонентах скорости можно пренебречь всеми лленами второго порядка, то уравнение для потенциала опять приводится к классическому уравнению. Ввз этого приближения, однако, уравнение (14) является нелинейным, и поэтому сумма двух решений не обязательно будет удовлетворять уравнению: суперпозиция решений уже не имеет места, как в случае линейных дифференциальных уравнений. В случае политропического соотношения между р и р, р/ра= = (о1оа), УРавнение (8) дает аз= хР(Р,' а из УРавнениЯ (2.22в) Р=хр/(х — 1)о; таким образом, аа=(х — 1)Р и, согласно урав- нению (15), а' = — (х — 1) ( — + — ) = — (х —, 1) ~ —, + — (йгаб Ф)а ~ .

(16) При помощи уравнения (2.22г) можно проверить также, что тот же результат справедлив и для случая х= — 1, соответствующего линеаризованному соотношению между р и д (см. п.1.4 и 2.5). Для изотермичвского течения р/д = связь мы имеем а' = =р /й =сопз1. Во всех других случаях сначала при помощи соотношения между р и о устанавливается связь между а' и Р, а затем используется уравнение (15) для того, чтобы исключить Р. Нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных (14) в сочетании с формулой (16) илн какой-либо другой формулой для а' и с равенством 6= ягайФ определяет условие ».8.

Уетанаеиеа»ееел радиальное те»емче 89 того, что функция Ф(л,у,зд) является потенциалом скорости для физически возможного безвихревого течения идеальной упругой жидкости. Известно очень мало примеров решений этот.о уравнения в элементарных функциях. В оставшейся части этого параграфа мы рассмотрим некоторые частные случаи уравнения (14). 3. установившееся радиальное течением) Простейшим примером, отличным от равномерного течения, которое не нуждается в дальнейшем объяснении, является пример установившегося движения вдоль лучей, исходящих из неподвижной точки О.

Так как вектор и всегда направлен вдоль радиуса, исходящего из О, потенциальные поверхности должны быть концентрическими сферами с центром в О; таким образом, Ф является функцией только: от г и г=(ха+у'+з') ~е. Если мы обозначим через о„ скорость в направлении возрастания г, то величины Д»= д и Ч»=Ч е в а'+ — дв = сопзь = а'„ (17) где а, — скорость звука а, соответствующая д = О, так называемая скорость звука в покоящемся газе. (В этом пункте предполагается, что имеет место политропическое соотношение меясду и Е.) Направив ось х вдоль луча, проходящего через точку О и произвольную точку Р, имеем д =9,=0, д„=д„в точке Р, и так как все производные от д4дг обращавотся в нуль, то уравнение (14) сводится к уравнению деФ г 9» ~ деФ деФ (18) В первом члене даФ/дхв = дд,/дх = в(д„/е(г.

Второй член равен дд„/ду, и рис. 28 показывает, что дд /ду=- д,!г. То же самое справедливо для дд,/дг, и уравнение (18) можно записать так: —",„"(1 — ф)+29" =О. (18) *) То есть не зависят ке только ст ц во в от а, а и е.— Прим. ред. ' являются функциями только от г. В п.1 было показано, что , в установившемся безвихревом движении дФ/дт должно быть абсолютной постоянной а); тогда уравнение (16) сводится к урав- нению Бернулли Га. 11. Общие шеарааййй Если в это уравнение подставить вместо а'- его значение (17), то дифференциальное уравнение для д„как функции от г в конечном итоге примет следутощий вид: У " +2ч" =О.

(19') б 2,— ( — 1) Ч„+ В этом уравнении можно разделить переменные и непосредственно произвести интегрирование. Однако удобно сделать замену переменных и выразить г и о„. через безразмерные величины $ и т), которые определяются равенствами Р н с. 28. Донолннтельное соотношение длн радиального течвннн. й п т)ю —, Чй а где га — произвольная постоянная.