Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости, страница 12

Однако нельзя сделать ааключения, что любая область становится свободной от возмущений по прошествии .определенного времени. 4 5. ДОЗВУКОВОЕ И СВЕРХЗВУКОВОЕ ДВИЖЕНИЕ. ЧИСЛО МАХА, ЛИНИИ МАХА 1. Малое возмущение в однородном потоке Теорию, изложенную в предыдущем параграфе для малых воамущеннй в упругой жидкости, находящейся первоначально в состоянии покоя, легко можно распространить на случай упругой жидкости, находящейся первоначально в состоянии равномерного движения. Во-первых, постоянные аначения скоРости, давлениЯ и плотности, Ч = Че, Р =Ре, о = ое Удовлетворяют основным уравнениям (1.1) — (1.1П), если значения р, и ое удовлетворяют уравнению (1.111) и не учитывается влияние силы тяжести.

Далее, уравнения движения не меняют своего вида, если отнести их к системе координат, движущейся с постоянной скоростью (инерциальная система). Поэтому отсюда следует, что для наблюдателя, движущегося с постоянной скоРостью Че, все ЯвлениЯ бУдУт пРотекать так, как описано в $4: малое воамущенне, возникающее в момент ~ = О в точке 0' дн. Малое еоеееуиьение е однородном потоке 61 Р н с. 12. То же, что на рнс.

11 прн Чо)оо (сверхзвуковое течение), Рис. 13. То же, что на рно. 11 нрн но=о, (звуновсо течение). вправо при возрастании и Левая точка пересечения имеет абциссу (ао — ао) 1. Для до с. ао (рис. 11) левая точка пересечения находится слева от точки О и тем дальше от нее, чем больше д Все сферы инерциальной системы, будет ощущаться в момент времени на поверхности Я сферы радиуса В = ао) с центром в О'. Однако для неподвижного наблюдателя в момент 1 точка О' должна сместиться на расстояние до) от своего начального положения О при г = О. Для этого наблюдателя сферы Я, которых последовательно достигает возмущение, оудут образовывать пучок сфер, центры которых перемещаются по За прямой линии в направлении со скоростью йю а радиусы увеличиваются со скоростью а,.

а Вид этого пучка зависит от относительных величин до и а . уо дно На рис. 11 — 13 изображенй три возможные конфигурации пучка сфер со сферами, соответст- е)о вующими 1=1, 2, 3. Плоскость чертежа — любая плоскость, со- Р н с. 11. Возмущенно, сооредотодержащая О и е(о; каждый круг ченное в начальный момент врепредставляет собой пересечение мена в точне О в распространяю- щееся сь скоростью звука оо, в мосферы Я с этой плоскостью. менты времени 1=1,2, 6...,; гав Круг, соответствуеощий моменту д двнжетсн с постоннной горнзонимеет радиус аог и абсциссу тальной скоростью оо < о, (дсзвуцентра дед Таким образом, пра- ковоо течение). вая точка пересечения круга Ь' с гоРизонтальной осью имеет абсЦиссУ а Г+ао1=(до+но)1 и находится всегда справа от точки О, неограниченно движущейся Гл.

Г. Введение 62 содержат источник первоначального возмущения, так что возмущение распространяется во всех направлениях от источника (хотя скорость распространения не одинакова по всем лучам, исходящим из этой точки) и, конечно, достигнет всех точек пространства. Таким образом, нет большого различия между этим явлением и явлением, рассмотренным в предыдущем параграфе, где де=О.

Если о ) ав (рис. 12), то левая точка пересечения, имеющая абсциссу (д,— а,)г, лежит справа от О и смещается направо с увеличением г; ни одна нз сфер не включает источника возмущений. Все сферы находятся внутри кругового полуконуса, у которого угол ав между осью и образующей задается равенством Йпи,= —" (1) Чв и касаются этого конуса. В этом случае возмущение распространягтсл нв по всем направлениям от источника, а только по таким направлениям, которые лежат внутри полуконуса, определенного равенством (1). Эта картина совершенно отлична от той, которая имеет место в случаях д, = О и ог < а . Наконец, предположим, что д, =а .

Полуконус, заданный равенством (1), вырождается в конус, соответствующийа„= 9Ов, т. е. в полупространство, лежащее справа от плоскости, проходящей через О н нормальной к направлению и,. В этом случае поверхность любой сферы Ю касается граничной плоскости з точке О. Возмущение распространяется во всех направлениях, лежащих справа от этой плоскости. 2. Терминология' Глубокое различие в поведении малых возмущений з случаях о„ < а, о, = ав и ов ) а, привело к терминологии, общепринятой в настоящее время в теории сжимаемой жидкости. Отношение скорости потока к скорости звука о ~а, называется числом Маха Ме для потока (невозмущенного), полуконус, определяемый равенством (1), называется конусом Маха, а угол а„— углом Ямаха. Все эти названия связаны с именем Эрнста Маха, который впервые наблюдал и описал этот тнп явлений").

Для равномерного потока три случая М,=чв <1, М =1, М,)1 (2) соответствуют дозвуковому, звуковому и сверхзвуковому течениям. Конус Маха существует только в случае сверхзвукового течения; для дозвукового течения не существует действительного значения угла а„удовлетворяющего равенству (1). Если д =О, д.з. Термииолоеил то число Маха равно нулю, но это также имеет место для любого ао при со= сс, т. е. в случае несжимаемой жидкости (е(р=О, Йр/ар=со). Таким образом, число Маха в некотором смысле является мерой сравнительного отклонения действительного' поведения сжимаемой жидкости от поведения несжимаемой жидкости.

По причинам, которые будут выяснены позже, эти определения используются также в более широком смысле. Если а, р и р есть величины скорости, давления и плотности в любой точке равномерного потока, для которого. определено соотношение между р и ц,и если привять обозначения а= зе/ —, М= — =у у и Мпа= — = —, (3) В Где .

а 1 У дй ' е У «р д М то а называется местной скоростью звука (см. п.4.2), М— местным числом Маха, а угол а (когда он существует) — местным углом Маха. Любая область жидкости, в которой М ( 1, называется дозвуковой, а в которой М ) 1 — сверхзвуковой. Точки, в которых М=1, называются звуковыми точками. В том же смысле мы говорим о дозвуковых, сверхавуковых или внуковых скоростях или течениях. Иногда для описания области, в которой 1 — М меняет свой знак, или для течения, в котором М всюду близко к 1, пользуются термином околоззуковсе (или трансзвуковое). Для полноты можно упомянуть также, что области, в которых величина М чрезвычайно велика, называются гиперзвуковыми. Необходимо заметить, что все эти определения предполагают, что определена производная ар/е)р.

Они, конечно, применимы е случае упругой жидкости, где, по предполоекению, вааимно однозначная связь между р и р существует во всей среде. Во всех остальных случаях символы а, М и т. д. могут быть использованы только в связи со специальным определением для е(р/е(д. Например, можно дать такое определение Ыр йр/де (4) /Э = Лй/де где е(/дг имеет тот же смысл, что и в (равенстве (1.4); в случае установившегося движения это определение приводится к Ыр др/де (4а) Ый до/де ' В частности, может оказаться, что соотношение между р и р выполняется для каждой частицы, но для различных частиц это соотношение различно.

Примером такого случая служит адиабатическое течение совершенного идеального газа, в котором энтропия с„1п (р/от) изменяется при переходе от одной частицы н другой (см. пЛ.5). Га. 1. Введеиие 3. Направленное распространение возмущений Для жидкости, которая первоначально находилась в состоянии покоя, воамущения,как показано в п.4.5, распространяются равножерио во всех направлениях. Вернемся к частному случаю, когда и = У в начальный момент внутри сферы Я радиуса с; было показано, что и отлично от нуля в момент г только внутри концентрического сферического слоя толщины 2с и среднего радиуса а в и что интеграл 1= ~ п«5', (5) В любой момент г возмущение равномерно распределено по сферической поверхности Ю с центром С (где ОС = оег) и радиусом Л = ае«.

Если ОР и Оч — образующие двух соседних конусов (см. рис. 14,а), причем точки Р и ев лежат на Ю взятый по этому сферическому слою, имеет постоянную величину, 1=4яУс»~3 для всех значений г. В этом пункте нам нужен только тот случай, когда с очень мало, а 11. велико, егак что можно считать, что в любой момент времени г возмущения сосредоточены на поверхности сферы радиуса авц окружающей малую сферу о'„катеру»о можно считать совпадающей с ее центром О. Во всяком случае, возмущение и одинаково во всех точках любой сферы с центром в О, так что «величина» возмущения 1 однородно распределена по всем направлениям: лгобому пучку лучей, проходящему через О и ааполняющему телесный угол Ыо, соответствует «величина» возмущения (1(4я) Ыа. Это можно выразить, сказав, что интенсивность распространения в любом направлении равна 114я. Но в случае движущейся жидкости интенсивность распространения уже не будет одинаковой для всех направлений, проходящих через точку О, а при сверхзвуковом движении она даже обращается в нуль в некоторых направлениях, как показано в п.1.

Тем не менее все же существует симметрия относительно направления пе: направления, лежащие на конусе с вершиной О и осью, йараллельной »1«, не различаются по интенсивности. Если угол между образующей и осью этого конуса равен р, то все эти направления составляют угол с направлением «1 . Для вычисления изменения «величины» возмущения с изменением р удобным элементом »1а является пространство между двумя круговыми конусами с углами раствора 2р и 2(р+Ыр) соответственно.

Для конуса с углом раствора 2р телесный угол при вершине равен о= 2я(1 — совр); таким образом, угловое пространство между двумя конусами равно «(о=2язшр«»р. Ю.В. Наяраеаенное расироетраненое еоеа«усаеннй и ОР=(, то площадь ИЯ, выреваемая двумя этими конусами, будет равна сьУ =2я(РХ) агсР() =2я)в1п[) —, сов 6 ' где б — угол между РЯ и нормалью к ОР. Угол 6 можно вычислить, применив к треугольнику ОСР теорему синусов, в)пб= — Ма[1 =М вш 1«С аес — о Эта формула показывает, что треугольники ОСР для различных с будут подобными. По той же причине отношение 1/асс не зависит от с, а зависит только от р и от заданного отношения Чеlйо = М, Тогда «величина» а Р и с. 14.

Часть сферической поверхности (с центром С и радиусом а,с), вырезаемая двумя соседними конусами (с вершивамн в точке С). а-хоеетноеое течеене„ О вЂ” ееерхзеуоозое течение. возмущения, соответствующая сса, в дозвуковом случае (М, < 1) будет равна 1 ~Ы 1 2ясев(н() а7 с У С ~е 1 1 (б) 4я Не 4л (аес)е У1 — М1 вше () 4п (. аес ) У1 — Мее в(п~ () В сверхзвуковом случае (М, > 1) при р < ае нужно комбинировать два таких члена, так как лучи внутри телесного угла с)а пересекают сферу Я дважды, чему соответствуют два возможных треугольника ОСР и ОСР' для ваданных значений [) и' М, (см.