Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости, страница 10

Далее, сразу видно, что п(х, 0) =/(х), в то время как ( ~", ) = ) 2 (ао/'(х+а„С) — ао/'(х — аот)]+ + 2 ]аоС'(х+ аоГ)+аоС'(х — аоГ)] ~ — — 2аоС'(х) = д (х), 2ао как и требует условие (8). . Выражение (9) покааывает, что значение.и в данной точке х и в данный момент времени е зависит только от величин началь- б.я. Одномернььй случай. Решение Даламбера ных возмущений и и ди/дг в интервале (х+аед х — а 8) и не зависит от значений начальных воамущений в других точках. С другой стороны, начальные возмущения на интервале (хю ха) определяют возмущения и(х, г) только для аначений (х, г), лежащих внутри треугольника в плоскости х, /; основанием этого треугольника является отрезок (х,, х,), а стороны имеют наклон 1/аеи — 1/ае соответственно.

х -оча Е а,1 Р я с. 7. Распространение малого одаомераого эоамущенвя со скоростью а . Чтобы изучить решение (9), предположим сначала, что й— функция, тождественно равная куя<о, и что /(х) обращается в нуль вне некоторого интервала АВ ( — с ~( х < с). На рис. 7 изображены значения и = '/а (/(х+ ась)+/(х — ась)), соответствующие определенным значениям е(<=0, ь'=ею /=/а). Для некоторой фиксированной точки х, лежащей справа от АВ(х ) с), воамущение и будет равно нулю, аа исключением таких значений для которых х — а / лежит между с и — с. Иначе говоря, и(х, 1) ~ 0 только тогда, когда (х — с)/ае(Г( (х+с)/а,.

Вэтом интервале времени и принимает последовательно значенйя, равные половине значений /(х) в интервале от х = — с до х= с. При фиксированном ( возмущение равно нулю в трех интервалах: х< — с — а ц с — ась (х< — с+а /; х>с+ась'. (10) Эту картину в целом моя<но описать следующим обрааом: начальное возмущение /(х) ширины 2с распадается на две равные части, каждая из которых опять имеет ширину 2с, а высоту в два раза меньшую, чем начальная высота /(х), причем одна из этих частей движется вправо со скоростью а„а вторая— влево с той же скоростью а . Таким образом, ае можно назвать саоростью распространения малых воамуи(ения. Эта скорость зависит только от свойств жидкости н от начального состояния покоя; она не зависит от формы воамущення. Типичными возмущениями для воздуха в состоянии покоя являются шумы или акустические сигналы; йоэтому большей частью пользуются 4* з2 Гл.

1. Введение более коротким термином скорость звука. Если заданное соотно, шение между р и 9 является уравнением (1.56), р/9" сонэ<- характеризующим политропическое течение, то а' = Ыр/<19 = кр19, Для воздуха при стандартных условиях (ре = 1,033 кГ(сме. йе=1,293 г1дме и к=у=1,4), рассматриваемого как совершен- ный газ, величина а, равна 340 м<сел или 1225 км1час "). Результаты, полученные выше, не изменятся существенным образом, если опустить ограничение д (х) = О.

Предположим, что пРи.<=0 и д„и 9 — йе обРаща<отсЯ в нУль вне некотоРого интеР- вала АВ. Если и отождествить с 9 — й„то 1(х) опять обра- щается в нуль вне АВ, а д(х)=(д91дг)< в, последняя величина, согласно второму из уравнений (5), пропорциональна (д<1 /дх)< в и доли<на также обращаться в нуль вне интервала АВ. Далее, проекция <1„должна обращатся в нуль в точках А и В, так как она, по предположению, непрерывна и обращается в нуль вно интервала АВ. Таким образом, в д „ —' ,'"д, =р„(В) — д.

(А)=0 дх л Г е Но тогда также ~ я(х) <ех=О и из равенства С(х) = ~ з(ь) <е$ л следует, что С (А) = С (В). Если постоянну<о интегрирования выбрать надлежащим образом, то это общее значение будет равно нулю. Тогда С (х) будет обладать тем свойством, что С(х) ='0 для всех х вне интервала АВ, что было существенным свойством функции 1(х), использованным в предыдущем анализе.

Опять получается, что воамущение равно нулю там, где удовлетворяются условия (10), так что возмущение распространяется вправо и влево с той же скоростью а„как и прежде. Однако на этот раз правая и левая полуволны не равны между собой. 3. Волновое уравнение в трехмерном случае Прежде чем вернуться к общему случаю, охватываемому уравнениями (3) и (4), необходимо напомнить два формальных соотношения. Во-первых, дивергенция градиента равна оператору Лапласа, или, применяя этот оператор к любому скаляру 1, получаем <11т(йта<11) = — ( — ~ ) + — ( — ~ ) + — ( — ~ ) = де) де1 дЧ = — + — + — = <<1.

дее дуе дее Во-вторых, как было показано в п.2.6, поток вектора через д.д. Волновое уравнение в трехмерном случае замкнутую поверхность Л есть интеграл от дивергенции этого веитора по объему, ограниченному поверхностью Ю, илн в при- менении к некоторому вектору ч 1 йу т д У = 1 О„о(ю. у я (12) При помощи формулы (И) можно соответствующим образом видоизменить уравнения (3) и (4), описывающие малые возмущения идеальной упругой жидкости, находившейся сначала в состоянии покоя. Применяя оператор дивергенции к обеим частям уравнения (3), используя формулу (И) и дифференцируя уравнение (4) по г, получаем 0 й» вЂ” = — а гвя, дЧ о дв о Тая как операторы д(д~ и йч перестановочны, то двЕ в — „= вйЕ.

дов «3) С другой стороны, если продифференцировать уравнение (3) по й и взять градиент от уравнения (4), то получаем йо д,в = ао до йтапЯ йонас(йУЧ) = агап дв Здесь члены, стоящие в правых частях, равны с точностью до множителя а'„поэтому — „=: а, йгаб(а1ч Ч). два дн Вычисляя дивергенцию от обеих частей этого уравнения и применяя формулу (И) еще раа (для 1=йчЧ), получаем —,, (йу Ч) = а',Л (31у Ч).

(14) Уравнение дви г' дви дви дои Ч вЂ”,— = ась и = а' (. — + — +— две о о (; дхв дув двв (15) называется (трехмерным) волновым уравнением. Из формул (13) и (14) следует, что этому уравнению удовлетворяют функции и = д и и = Йу Ч. Как и в предыдущем пункте, можно показать, что любая дважды дифференцируемая функция от о и йу Ч также удовлетворяет уравнению (15), если пренебречь членами высших п'Рядков относительно возмущений и их производных. В частности, полная энергия, отнесенная кединице объема, о(Чо(2+с„Т), заданной точностью (если пренебречь ао) является функ- 54 Г.а.

Г. Введение цией только от р и, следовательно, также удовлетворяет уравнению (15). (Т зависит только от о, так как на основании уравнения состояния Т является функцией от Р и р, а здесь р считается функцией от р.) Далее, путем дифференцирования уравнения (15) легко обнаружить, что если произвольная функция и удовлетворяет волновому уравнению, то ему также удовлетворяют ее частные производные ди/дх, ди/де, например любая компонента драй р и т. д. Уравнение, предшествующее уравнению (14), можно записать также в следующей форме: и 3 —,= а,(йв1+ го1го1п). (Мы обозначаем череа госв1 вектор с компонентами две дее дф« бф* дуу де« ду де ' дв д« ' д« ду который будет рассмотрен подробно в п.б.) Кроме того, кз уравнения (3) следует, что — (гоС е1) = О.

д Поэтому в любой области, где го$е1 =О в начальный момент, он будет всегда равен нулю, и, следовательно, вектор «( и его компоненты удовлетворяют волновому уравнению. 4. Решение Пуассонагз) Ниже показывается, как найти функции и(х,у,г,~), удовлетворяющие волновому уравнению. Пусть / (х,у,г) — произвольная достаточное число рав дифферейцируемая функция пространственных координат, Р— точка с координатами х, у, г, а Ю вЂ” сферическая поверхность с центром в точке Р и радиусом Л =аф. Для любой точки х,у,г и момента времени определим функцию / (х,у,г,е) следующим образом: Г(х,у,г,г) = — „„* ~ 7($Л,4) ид =4 — „~ 1еЬ, (16) в где первый интеграл должен быть взят по всей поверхности Ю. Так как площадь Я равна 4яетз, то 1 представляет собой среднее значение / на Я, причем время 8 входит тальков значение радиуса Л =а ~ сферы.

Третий член в равенстве (16) получается из второго, еслй положить вес=ай/ете, где ееа — телесный угол, под которым элемент Юд виден иэ точки Р. Тогда функция четырех переменных (17) и (х,у,г,С) = 81 (х,у,г,С) удовлетворяет уравнению (151. о,е. Решение Стуассона Чтобы доказать это, заметим, что операции усреднения по сфере и дифференцирования по х, у, з можно переставлять, так что д.= д1 = —."Ь д1а$= —, Ь д/ыю. 4яВо з -' 4яаоос, з Что же касается ди/дС, то видно, что изменение С на ссС вызывает изменение радиуса сферы Ю, равное сСг = аосСС, и, следовательно, вызывает также соответствусощее с(о иаменение величины 1 на сфере, равное (дС/дг)Ыг, где д/(дс — производная от ) яо направлению радиуса, вли радиальная производная.

Таким образом, дС ао Г дС вЂ” = — ~ — ССП. дс 4я з дг (19) сс наше предположение докааано. Как и в одномерном случае, основная задача заключается том, чтобы подчинить решение (17) заданным начальным Поэтому дои д г дС С ~ до7 дС 1 д Г од('~ — = — ~С вЂ” +С ~=С вЂ” +2 — = — — ( Со — ); ди дС ~, де ' ,) дм дС С дС (, дС г) ' если учесть, что В=аоС и воспользоваться уравнением (19), то последнее равенство можно записать в следующем виде: Польауясь, теоремой Гаусса (12) для т=дтас)~ и замечая, что направление нормали совпадает с направлением радиуса, когда поверхность Я является сферой, получаем ~ — сс8 = ~ йт (йтас( ~) Ы)г еа ~ Д1сПС, сде интеграл распространен по объему, заключенному внутри поверхности Ю., Производная по времени от этого интеграла аависит только от изменения области интегрирования, так как подивтегральная функция не зависит от С.