Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости, страница 5

2. Уравнение энергии для элементарного объема идеального совершенного газа Физическое истолкование слагаемого ш покажет, что равенство (6) действительно можно рассматривать как предварительную форму уравнения энергии для частицы жидкости. Рассмотрим опять бесконечно малую часть движущейся жидкости, заключенную внутри прямоугольного параллелепипеда со сторонами длины Ых, Ыу, Иг (см. рис. 1). Сила давления на левую грань имеет величину рс(удг и направлена в положительном направлении оси х, так что работа, совершенная атой.

силой эа единицу времени, равна д„р ау с(г. На противоположной грани давление направлено в отрицательную сторону оси х, так что работа, затрачиваемая на преодоление сил давления в единицу времени, дается выражением (Ч„р+а(о„р)]Буиг, где с((ц„р)= = [д (д„р)1дх) Их. Таким образом, (д (д„р)~дх) с(х Ыу с(г представляет собой выражение для работы, затрачиваемой на преодоление сил давления, действующих на эту пару граней. Выписывая аналогичные выраячения для двух остальных пар граней, получаем, что общая работа, затрачиваемая на преодоление сил давления в единипу времени, аадается как б(т(рй) Ыхс(удг. Таким образом, в=с(гч(рд) представляет работу, затрачиваемую в единицу времени на преодоление сил давленил, действующих на поверхность элемента жидкости, имеющего единичный объем, а в,'о— эту работу, отнесенную н единице массы.

Так как д'!2 есть кинетическая энергия, а дй — потенциальная энергия (с точностью до аддитивной постоянной), каждая из которых отнесена к единице массы, то левую часть уравнения (6) можно истолковать как изменение за единицу времени суммы кинетической и потенциальной энергии и работы, затраченной в единицу времени на преодоление сил давления, дей- 9,9. Уравнение внервии даа влементарново объема 25 ствующих на поверхность элемента жидкости; все эти. величины отнесены к единице массы.

Правая часть уравнения (6) уже фигурировала в уравнении (1.8), которое выражает первый закон термодинамики; поэтому р Ы (1/9)/еее = е'„)' — сбйТ(й. Таким образом, уравнение (6) можно записать в следующем виде: — ( ~ + у)в + с„Т ) + — = (,е ', (7) ае /эв со ао — ( — +у)в+с Т)+ — =Т вЂ” . ив~,2 ' " ) 9 дв (8) Как уравнение (7), так и уравнение (8) являются классическими уравнениями энергии для элемента совершенного гага. В уравнение (8) входят термодинамические величины Т, Я, с„. Если заменить этн величины их значениями из уравнения состояния (1.6) и определений (1.7) и (1.9) соответственно, то уравнение (8) долл<но тождественно совпасть с уравнением (6).

Можно дать Различные другие формы уравнения энергии, если испольэовать термодинамические переменные, отличные от с„, Т и Я. Например, если вводится (для совершенного газа) удельная тепло- емкость нри постоянном давлении с„посредством формулы св = с„+ уЛ *), то уравнение (1.8) прн Т = р/(йуВ) принимает ) Тогда вг формулы (Сэ) следует, что у=ар/о„т.

е. что у рввво отэошанэю удельных теплоаикостей. где предполагается, что с„ — постоянная, что справедливо для совершенного газа; случай переменного с, будет рассмотрен в п.З. Для совершенного гаэа произведение с„Т наэывается (удельной) внутренней энергией. Смысл уравнения (7) эаключается в том, что для идеального совершенного гава количество тепла е,е', притекшего эа единицу времени, равняется сум е производной по времени от полной внергии (кинетической, потенциальной и внутренней) и работы, эатрачиваемой в единицу времени на преодоление сил давления, действующих на границу элемента (все эти величины отнесены к единице массы). При предположении, что течение является адиабатическим, ~'=О, левая часть уравнения (7) должна обращаться в нуль.

В этом случае уравнение (7) выражает условие е,)'=О в механических переменных (если воспользоваться равенством (1.9')). Читатель может проверитэн что приравнивание нулю левой части уравнения (7) снова приводит к уравнению (1.11), которое было дано в качестве замыкающего уравнения для адиабатического течения.

Другое выражение для О' было получено в формуле (1.12); испольэуя это выражение, уравнение (7) можно эаписать так: Гл. Д Введение 26 такую форму: Этим выражением можно заменить правую часть уравнения (8). дЯ д(( Т вЂ” =— др др Исключая (7, получаем Это приводит к условию д(Я, Т) д(р а) дЮ д(( р Т вЂ” = — —— де дс Се (11).

и дЯ дТ дЯ дТ 1 др до де др ое ' (12) или д(г, Т) д(-,, р) (12') 3. Несовершенный (идеалйный) газ Уравнения (7) и (8) были выведены в предположении, что уравнение состояния имеет вид (1.6) и что величины Я и с„ определяются формулами (1.7) и (1.9). В несколько обобщенной форме уравнения (7) и (8) справедливы также и для несовершенного газа. Предполагается, что справедливо некоторое уравнение состояния в формет= т(р, 9). (9) Природа газа определяется видом функции Т (р, о), а такясе видом двух других функций: антропни Я(р, 9) и внутренней внерга и (7 (р, 9).

Эти две функции, однако, не могут быть выбраны независимо от Т(р,й) и одна от другой. Требуется, чтобы и для несовершенного газа также выполнялось уравнение (1.12), означающее, что приток тепла (е' за единицу времени к единичной массе равен 7'е(Я7Ж, и чтобы при любых изменениях р и д выполнялся первый закон термодинамики в форме т — =о = — +р — (' — ~, дд, ЫУ Ы /1~ де = де де ~. О ) ' (10) соответствующей уравнению (1.8). Так как ЫУ дУ е(р дУ ас ' «(В до ер до ИΠ— = — — -+ —— и + 1 Ш Ыр Ж до Ш Ж др Ш до еи то соотношение (10) может быть справедливым для произвольных значений е(р7е(г и е19/е(е только в том случае, когда З.й.

Ураенение энергии ден .унругей геиднеегии 27 Легко проверить, что условие (12) удовлетворяется выраже- ниями для Т и В, которые задаются уравнениями (1.6) и (1.7) для совершенного газа, в то время как соответствующее значе- ние П с точностью до произвольной постоянной равно П $ Р (13) г — 1е ' что, согласно формуле (1.9'), равно с,Т.

Для заданного уравнения состояния (9). существует бесконеч- ное множество функций В(р, 9), удовлетворяющих условию (12). Когда выбрана, какая-либо одна из этих функций, внутренняя энергия П(р, 9) определяется из уравнений. (11) с точностью до произвольной постоянной. Правая часть уравнения (6) тогда может быть заменена на основании уравнения (10) через г,г' — г(П/еЫ или Т (ггЮМ) — г((г'!Ш и окончательное уравнение будет отличаться от уравнений (7) нли (8) только тем, что вместо с,Т будет стоять П, т. е. —.е (.— + "+')+-,=~'=Т— ги, ~Б егЕ( 2 ) Е еге (14) Условием адиабатичности течения опять является равенство г1Я!егг = 0; оно и будет представлять собой соотношение между р и 9, если предполагается, что величина В для всех частиц оди- накова. Например, если уравнение состояния ваято в ниде Вг Т = Агр+ — ', Я где А, и Вг постоянные, то допустимо выбрать Ю как Ю = Ар+ —, где А, — АВ, = 1, Я а соответствующее выражение для П будет таково: П= — р +А — + — +сопзз, ААг р 2 ей 2йг что легко проверяется дифференцированием.

4. Уравнение энергии для упругой жидкости Если замыкающее уравнение представляет собой соотношение .между р и 9, то уравнению энергии может быть придана другая форма. Так как рассматривается только едиаственный элемент жидкости, то нет необходимости, чтобы соотношение между р н 9 выполнялось во всей жидкости; достаточно предположить, что такое соотношение выполняется для рассматриваемой частицы, т. е. что для любых двух состояний этой частицы, для которых ~печения р одинаковы, аначения 9 также будут одинаковы. 29 ЛА.

Уравнение Бернулли Это не имеет существенного значения, так как в уравнение (16) входит только проиаводная от е. 5. Уравнение Бернулли Коли мы воспользуемся уравнениями (2) и (3), то уравнение (1) может быть записано в таком виде: +уй )= й Ч'йтаир. а'в ~. 2 Далее предположим, что движение установившееся, так что др/де =0; тогда, согласно правилу Эйлера (1.4), Ч ягайр= —, ар и предыдущее соотношение принимает вид — ~ — +уй)= — — — .

агв* тир Вв ~ 2 ) 9 Ве (18) Предполагая, что для рассматриваемой частицы существует соотношение между р и й, можно считать й функцией от р и можно ввести новую функцию, скажем Р, производная которой по р будет равна 1(й, р С ар (19) Тогда а'Р т ар Ж йт' и уравнение (18) переходит в уравнение —,", (в*+уй+Р)=О, (20) которое называется уравнением Бернулли те).

Обычно величина Р(д (которая имеет размерность длины) называется пьевометрической высотой (или напором давления), а Чз/28 — скоростной высотой (или скоростным напором). Уравнение (20) зквивалентно уравнениео д / те Р" Вв Р ) — ( — +й+ — )=О, или — +и+ — =Н, (20') (2в где Х вЂ” постоянная (которая может быть различной для рааличных частиц), или в словесной формулировке: при установившаяся движении жидкости, которая или является упругой или удовлетворяет для каждой частиЧы соотношению мемеду р и о, сумма Н скоростной высоты, геометрической высоты и пьевометрической высоты имеет постоянное значение для каждой Гл.

1. Веедекие. костины. Для всех частиц, находящихся на одной линии тока, эта постоянная одинакова. Величина Н называется полкой высотой (полным напором), константой Бернулли, или функиией Бернулли (так как она может изменяться при переходе от одной линии тока к другой) "). Уравнение Бернулли может быть эаписано в дифференциальной форме; для этого уравнение (18) нужно умножить на Ж дав+ дай+ — йр = 0; 1 о (21) если пренебречь силой тяжести, то это уравнение примет вид еуйу+й =0; (21') а) течение несжимаемой 'жидкости, о = йю Р = — + сопэС; Р Ое б) иэотермическое течение совершенного газа, — = —, Р Ре, 'Е Ее' Р = Р' 1п р+ сопэ1; ое (22) в) политропнческое.

течение, — = — , Р Ре а к 1т Р = — — Р1"-'Ф'+ сопэс = — ' — + сопэ1; к Ро Х к — 1 Ое н — 1о В г) лннеаризированное условие, о = Ре Р Р= Р'Р +сопэ1. 2 2В Аддитивная постоянная в выражении для Р снова проиэвольна. Если уравнение Бернулли (20) сравнить с уравнением энергии (16) для упругой жидкости, то видно, что Р содержит как энергию деформации, так и работу, поверхностных сил ш. Действи- алесь дифференциалы описывают изменения д, Ь н Р для эаданной частицы. Уравнение Бернулли в дифференциальной форме можно непосредственно вывести из уравнения (1Л), проектируя уравнение Ньютона на направление «(, где с(/а1 должно быть равно о (д/дг).