Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости, страница 6

Для четырех случаев, перечисленных раньше, функция Р задается следующими формулами: 2.6. Иненеераленме теореееее тельно, равенство йр йе еэ го —,й+ й для установившегося движения получается непосредственно иэ уравнения (4), если воспользоваться уравнениями (15), (5) и (19). Таким образом, пьеэометрвческая высота Р(д представляет не энергию, а сумму энергии и работы поверхностных сил.

В термодинамике сумма внутренней энергии П и частного р/р называется энтальпией, ее еее р (23) Я При адиабатическом движении, где ~' = О, нз уравнения (10) следует, что 6. Интегральные теоремы Для того чтобы распространить уравнение энергии (7) на объем конечных раамеров, необходимо использовать некоторые. формулы для преобраэования интегралов. Они сейчас будут выведены. а. Пусть )е есть объем, ограниченный поверхностью Я, и пусть г" есть функция от х, у, э, имеющая частные производные первого порядка, которые вместе с р' непрерывны внутри е' и на 8. Нужио доказать справедливость формулы ~ — Ы$' = ~ Р соэ (и, з) дЯ, Ф я (24) где (и, э) означает угол между осью г и внешней нормалью к Ю. Эта формула преобраэует интеграл по объему У' в интеграл по поверхности о. Поверхность Я может состоять иэ конечного числа кусков, на каждом из которых соа(п, а) изменяется непрерывно.

Сначала предположим, что объем Г таков, что прямая,параллельная оси з, пересекает поверхность Ю самое большее в двух точках, 1 и 2. Интеграл по объему можно вычислить как крат- так как для каждой частицы выполняется соотношение между р и о, выражающее постоянство энтропии. Таким образом, величина Р в случае адиабатического течения отличается от энтальпии 1 только на аддитивную постоянную (которая может быть раэличной для раэличных частиц).

Если движение является иээнтропическим, то, функции Р и 1 для всех частиц будут представляться одними и теми 'не функциями основных переменных н будут отличаться на одну и ту же постоянную. Гл. 1. Введение 32 ный интеграл (25) д ~Л = ) ЫА ) д с"г= ) (Рз Рв)НА, и А й где область интегрирования А для двойного интеграла есть проекция У на плоскость х, у, в то время как интеграл по г берется от точки 1, где вертикальный цилиндр с поперечным сечением ЫА впервые пересекает Р, и до точки 2, где он выходит Рис. 4. Прообразоваиие интеграла по объему з интеграл по поверхзости.

на е' (см. рис. 4); Ръ и Рз оаначают величину Р в этих точках. Пусть вел, и пЮз означают площади частей Ю, вырезаемых этим цилиндром, а и и и — направления нормалей к этим элементам поверхности. Тогда, так как ЫА, НЮ, вел — положительные величины, то е(А =- — соз (п„г) Юв = соз (п„г) сей,. Итак, последний интеграл в равенстве (25) можно переписать так: 1 (е'з — Рв)евА= ~ Р соз(п, г) еБз+ ~ Р йоэ(п„г)е(Л = А = ') и'соз(п, г) ЫЯ. (26) и Равенства (25) и (26) как раз дают формулу (24). Как легко видеть, ограничение, что каждая прямая, параллельная осн г, В.В. Интегральные теоремы $ й а, '(У = ~ 0 — е с(У+ ~ 41ч (яй) с()г+ ~ У де ейl' (ЗО) ч Объединяя интегралы, содержащие частные проиаводные д/дд и применяя формулу (27) к третьему интегралу, получаем ~ Š— „, 1У = ~ —,', ) 1У+ ~ Ей.АУ ч в (31) в) В отечественной литературе эта теорема называется теоремой Гаусса— Остроградского.— Прим.

ред. З Р. мввес пересекается с поверхностью только в двух точках, является несущественным. Аналогичные формулы имеют место для осей х и у. В част- ности, эти формулы могут быть приложены к случаю, когда у=во„, р=о„и р=о„где и„, ив и о, являются компонентами вектора ч, причем берется та формула, в которой дифференци- рование производится в направлении соответствующей оси. Если зти формулы сложить, то подинтегральной функцией в левой части уравнения (24) будет вйчч, а подинтегральной функцией в пра- вой его части будет о„сов(п, х)+о„соз(п, у)+о,сов(п, в), что как раз равно компоненте пи вектора ч в направлении и. Таким образом, ~ ейччсЖ= ~ ииаЯ. ' (27) ч Я Правую часть уравнения (27) можно назнать потоком вектора ч черве поверхность Я.

Результат (27) известен под названием теоремы Гаусса или теоремы о дивврввнции*). б. Пусть 1 есть величина, связанная с частицей жидкости, т. е. функция либо всех переменных д„, дв, д„р и о, либо не- которых из них. Тогда имеет место следующая формула:, —,~Е1 (г= ~ Š— „(Р, (28) где о — плотность, а е(( ~ й~ЫУ))(сП означает производную от ч интеграла ~ й1е(У, вычисленного по некоторому жидкому объему. ч Используя правило Эйлера (1.4') н делая вычисления, анало- гичные тем, которые были проведены при выводе уравнения (4), получаем о —,;=Š— д„+ЕЧ 8 4У=й — де+41ч(ЕУЧ) — Уб)ч(ЕЧ) (28) вУ дУ д) Из уравнения неразрывности (1.П) с)1ч(ре() = — др/дг, так что Гл.

1. Введение Левая часть уравнения (28) выражает полную скорость изменения 1 д7е1г', зависящую частично от изменения подинтеграль- Ф ной функции внутри )г с течением времени, а частично от движения границы о, вследствие чего изменяется объем, по которому берется интеграл. Жидкость течет дп через каждый элемент поверхности сБ; за время а( через элемент поверхности гБ к'объему' е' е(е11 ' ' прибавляется цилиндрический элемент объема ЫЯ д„ Ю (см. рис.

5). Тогда интеграл ~ д7Л', вычислен- ЬШ ный только по этому дополнительному объему, равен ~й ~ й~д„ЫЮ, Рис. б. Изменение объема, по й которому проводнтсн ннтвгрнро- и поэтому производная равна ванне, вследствие изменения н смещения граничной поверх- ) дфдвЫЯ. Таким образом, видно, ности. ь' что левая часть уравнения (28) равна правой части уравнения (31), и доказательство завершено. Конечно, если ~ш 1, так что ф7дг = О, уравнение (28) сведетсн к уравнению неразрывности в его первоначальной форме (1.2). 7. Уравнение энергии для конечной массы При помощи доказанных интегральных теорем легко вывести мз уравнения (7), которое выполняется для совершенного газа, соотношения между энергией, работой и притоком тепла для конечного объема газа.

Обе части уравнения (7) можно умножить на дЖ~ и результат проинтегрировать по г'. Если ввести сокращенное обозначение а=де/2+бай+с„Т и величину ш заменить ее значением (5), то результат будет таков: (32) Если первый интеграл преобразовать согласно формуле (28), а второй — согласно формуле (27), то получим (33) т Я т Полная внергия массы жидкости, заключенной внутри поверх- 8.1. Вяекие напряжения и гидравлическое давление ности Я, равна Е = ~ 9 ( 22 + уй+ ~т) бу = ~ 9) г, т Ф (34) в то время как работа, затрачиваемая в единицу времеви на преодоление снл давления, действующих на б, равна Иг= ~ ро-(И, (35) так как величина силы равна рддр, а скорость движения в направлении, противоположном силе, равна»„.

Таким образом, уравнение (33) дает и+ т (36) (37) ае Для упругой жидкости можно таким же образом применить интегральные теоремы к уравнению ($6); в результате получим — „, +И'=О (38) где Е'= ~ о (» +уй+ )с)р. й ~39) б 3. ВЛИЯНИЕ ВЯЗКОСТИ. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ! Вязкие напряжения и гидравлическое давление В идеальной' жидкости силы, с которыми действуют на элементы 'жидкости соседние массы, нормальны к поверхности элемента, на который они действуют, и имевот одну и ту же интенсивность р, какова бы нн была ориентация .

элемента 3' т. е. для конечного объема совершенного газа справедливо такое же утверждение, как и для бесконечно малого объема, рассмотренного в п. 2.2: общий приток тепла га единицу времени равен су ме производной по времени от полной энергии (кинетической, потенциальной и внутренней) и работы, затрачиваемой в единицу времени на преодоление сил давления; деиствувщих на поверхность обьема. Уравнение (36) не зависит от типа замыкающего уравнения. Для адиабатвческого течения ()' =О, и уравнение (36) принимает еид Гл.

1. Введение поверхности. Эта интенсивность р (сила, действующая на единичную площадку) называется гидравлическим давлением в рассматриваемой точке. Однако при наличии вязкости вектор напряжения для элемента поверхности ееЯ не будет больше'нормальным к его. Напряжение может быть разложено на нормальную компоненту о и тангенциальную, или срезывающую, компоненту т.

Рассматривая элементарные площадки, нормальные координатным осям (см. рис. 6), мы убедимся в том, 'что существуют три нормальных напряжения и„, пв и о, и шесть попарно равных гланеенехиальных напряэгеений х,„= т„„, т„, = т,„и тие = т,„хе). Здесь, Р н с. б. Векторы напряжений, прквожвввые к поверхности прямоугольного параллелепипеда в вязкой жидкости, н нх состявляжщяе яо осям координат. как обычно в теории упругости, т„и, например, обозначает компоненту в направлении оси у напряжения, действующего на элемент поверхности с внешней нормалью, направленной по оси х.