Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости, страница 4

ргд. ««) Совершеивый гае не обягательио яэляется идеальным (т. е. лишенным вязкости. — Ред.) 1.а. Заляеааьщев уравнение газа условие (5а) соответствует течению с постоянной температурой, или иготермичесному течению. Энтропия Я совершенного газа определяется формулой Я= ~ 1п ~+солги, дЛ (7) ет где у — постоянная, для сухого воадуха имеющая значение 1,40. Следовательно, движение совершенного гааа при условии (56) в качестве замыкающего уравнения и при к=у является изэнтропичеспим. Движение любой жидкости, для которой замыкаю-. щее уравнение имеет форму (5б) при и > 1, будем называть политропичесним. Коли вычертить графин р как функции 1/й, то замыкающее уравнение изотермического течения будет представлено кривой (1), т.

е. равносторонней гиперболой (см. рис. 2); соответствующая Р я с. 2. График эаэисвмостя р от 1/Е дзя, яэотэрмичэсвого (1) я иээатропи- чэского (2) течений. кривая для иээнтропического течения изображена пунктирной линией (2). В том случае, когда изменения р и о ограничены малыми величинами, соответствующая часть этих (нли других); кривых может быть приближенно заменена отрезком прямой, дающей третий тип замыкающего уравнения (5в).

Эта линеаризированная форма соотношения между,р и о (см. ц.17.5) часто облегчает решение задачи. Замыкающие уравнения, имеющие 2* Гл. Т. Введение 20 форму, отличную от уравнения (Ш'), будут рассмотрены ниже (вз2и3). Н случае установившегося движения, которое определяется дополнительным условием д/д~ = О для всех пяти зависимых переменных, может показаться, что уравнений больше, чем неизвестных. Но в действительности, если г не входит в замыкающее уравнение, что 'в частности справедливо, когда это уравнение взято в форме (ПГ), то система уравнений (1) — (1П) не содержит г явным образом. Для такой системы предположение д(дг = О при г= О приводит к решению, вообще не зависящему от Таким образом, предположение, что двюкение является установившимся, представляет собой только граничное условие в соответствии с определением, данным в начале этого пункта.

Ана.логичный результат получается в случае плоского двиоесенил, .которое определяется условиями 7,=0 и В~да=О для всех. переменных при условии, что г не входит явно в замыкающее уравнение. 5. Адиабатическое течение Часто вид течения характеризуется в термодипамических понятиях. Тогда для того, чтобы получить замыкающее уравнение (1П), необходимо выразить эти термодинамические переменные через механические. О двух примерах мы уже упоминали.

Если известно (или предполагается), что температура равна во всех"„точках и для всех значений г, то уравнение состояния, связывающее Т, р и о, дает соотношение вида (П1'), Р(р, р) =О, а если условие состоит в том, что энтропия одинакова всюду и во все моменты времени, то определение (7) дает другое соотношение типа (Ш'). Наиболее распространенное допущение при изучении сжимаемой жидкости заключается в предположении, что в каждой частице не происходит нн притока, ни отвода тепла.

Если это относится только к переносу тепла при помощи радиации и химических процессов, то течение называется квагиадиабакеическиле. Если теплообмен между соседними частицами также исключается, то мы говорим об адиабаепическоле движении. Чтобы записать каждое из этих предположений в виде замыкающего уравнения, необходимо воспользоваться первым законом термодинамики, дающим связь между притоком тепла и механическими переменными.

Если ел' означает полный приток тепла от всех источников к единичной массе за единицу времени, то первый закон термодинамики для идеальной жидкости может быть записан в следующем виде: (8) е.д. Адиабатичеекее течение здесь с„— удельная теплоемкость жидкости при постоянном объеме й количество тепла измеряется в механических единицах. Первый член в правой части представляет ту часть притекшего тепла, которая была затрачена на увеличение температуры; второй член соответствует работе, совершаемой прп расширении. Уравнение (8) эквивалентно более привычному уравнению сЧ = с,ЫТ+ ре(о, которое выводится из уравнения (8) при умножении его на ем и замене 1/9 на с (удельный объем).

Если известно, что течение является" адиабатическим, т. е. что полный приток тепла от всех источников (теплопроводность, радиация и т. д.) равен нулю, то в уравнении (8) следует Д' положить равным нулю и тогда при помощи уравнения состояния Т можно будет выразить через ри 9. Наконец, нужно знать, как выражается с, через Т, р и о. Для совершенного газа для которого уравнением состояния является уравнение (6), вообще предполагается, что с,— постоянная величина, которая задается следующим образом: дВ с т — 1' (9) где для сухого воздуха у=1,4.

Для дальнейшего заметим, что из уравнений (6) и (9) следует, что (9') Таким образом, из уравнений (6), (8) и (9) следует, что для совершенного идеального гааа справедливо соотношение 1 Г 1 дл р де ~ р дз —.т — 1(.за с ю~ о а и ~ 1 др т дз ~ т — тс~р ч о п~' или — (1п ~„)=0, (11) которое имеет место для адиабатического течения совершенного идеального газа. (10) При предположении ~'=0 уравнение (10) сводится к замыкающему уравнению 22 Гя. 1. Введение При помощи соотношений (6) и (7) в уравнения (10) и (11) может быть введена энтропия о; тогда эти уравнения принимают следующий вид: а8 Е'=т —,, Ю (12) 1 2.

УРАВНЕНИЕ ЭНЕРГИИ. УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ 1. Некоторые преобразования Уравнение Ньютона (1.1), уравнение неразрывности (1.П) и записанное в соответствующей форме эамыкающее уравнение (1.П1) являются основой для теории течения идеального сжимаемого газа. В настоящем параграфе из уравнений (1.1) и (1.П) независимо от уравнения (1.П1) будет выведено скалярное уравнение, известное под наэванием уравнения энергии.

Зто уравнение справедливо всегда, неэависимо от того, принята ли гипотеэа упругой жидкости или гипотеза об адиабатичности течения и т. д., так как эти предположения связаны только с уравнением (1.П1). Должно быть оставлено только предположение об идеальности жидкости, так как оно использовалось при выводе уравнения (1.1). Влияние вязкости на вид уравнения энергии будет рассмотрено в $ 3. Необходимо подчеркнуть, что уравнение энергии является математическим следствием уравнений (1.1) и (1.П) и поэтому не накладывает никаких ограничений на систему функций, определяемых уравнениями (1.1) и (1.П); в частности, уравнение энергии не может заменить замыкающее уравнение (1ПП).

Если, однако, баланс энергии подчинен некоторым условиям, эквивалентным замыка1ощему уравнению, то можно испольэовать уравнение энергии для'того, чтобы выразить это условие в форме замыкающего уравнения. Таким образом, Я (или р/В») сохраняет постоянное значение для любой частицы во все моменты времени, когда Д'=О. Тем не менее это постоянное значение о может быть различным для различных частиц, так что адиабатическое течение не обяэательно будет также иээнтропическим в том смысле, как это определяется в п.

4'). Только при дополнительном предположении, что для всех частиц величина Ю в какой-то момент времени г одинакова, условие (11) приводит к соотношению между р и о, имеющему форму (5б). В дальнейшем (п.15.6) мы встретимся со случаями движения жидкости, для которых замыкающее уравнение в точности совпадает с уравнением (11), но р/й» имеет различные значения для различных частиц. Замыкающее уравнение (11) не принадлежит к типу (1П'); совершенный идеальный гаэ в адиабатическом течении не обяэательно ведет себя подобно упругой жидкости. З.1. Навал~орые лреабрааования Умножая скалирно на Ч обе части векторного уравнения (1.1), мы получаем скалярное уравнение ЕЧ. ~, =ЕЧ б — Ч К бр Й$ Каждое слагаемое должно быть теперь надлежащим образом преобразовано.

а. Поскольку 2ч — есть производная от ч ч= о, то Ыя в дс (2) (3) в. Согласно аналитическому определению скалярного произведения, имеем др др . др Ч бгас)Р=Ехд +Чвду+Ч, —,,„. Р и с. 3. Измеиеиие геометрической высоты. Первое слагаемое в правой части может быть записано следующим образом: др д дех — (Х) Р " дх дх " дх ' Проведя аналогичные преобразования остальных двух слагаемых, получим Ч бган р = 41» (РЧ) — р Жч Ч = 41ч (РЧ) + Р дЕ, (4) где последнее слагаемое получается при замене 41чЧ его значе- нием из уравнения неразрывности (1.П'). б.

Из геометрического определения скалярного произведения следует, что величина Ч я равна олсозд, где 8 — угол между направлениями Ч и Ря (см. рис. 3). Если через Ь обозначить функцию от х, у, з, дающую высоту каждой точки Р относительно некоторой произвольной горизонтальной плоскости, то высота точки Р', полученной смещением точки Р на величину с(г в направлении вектора Ч, равна Ь+ ~й =Ь+(дЬ1дг) Ыг.

Тогда созе = = — дЬ/дг, как это следует из рис. 3. Следовательно, Ь является функцией только от Ч положения, дЬ/дг=О, и, согласно зйлерову правилу дифференцирования (1.4), с(Ь1сй = = о дЬ/дг. Таким образом, дь дй д еч б= — ебч — „= — еб — „= — е — „„(бь). Гл. 1. Введение Если подставить в уравнение (1) выражения (2) — (4), то это уравнение примет следующий вид: Р Чч ~ Р во Š— ( — )= -Š— (уй) 61тОЧ)-- —; Вс(,2) с Час' положив 61 ( ) э(Рчл)+о(Рчв) ( (Рчй дх ду дв (5) перегруппировав слагаемые и разделив на о, получим — „', ( — ', +~й)+ — = -Аф.=р —,", ( — ') (6) Это соотношение справедливо для любых функций р, о и ц, зависящих от переменных х, у, г, 1 и удовлетворяющих уравнениям (1.1) и (1Л1).