Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 2. Mnogomernye, nelinejnye, optimal'nye i adaptivnye sistemy. (Ким - теория автоматического управления), страница 7

В частности, если пРинЯть Р = 1г, то из последнего неравенства получаем !,т'(г,) — 1(г)! < — при !1г — 1! < ц. Из этого неравенства и неравенства (1.25) следует, что справедливо неравенство !~(1)! > — ' при [1г — 1! < ц, г =1,2,... Проинтегрировав обе части последнего неравенства на интервале [1т — Ц, 1, + т1), полУчим т,.п 1 [У(г)!д1 = ~,[(1) 38 Гл. Д 17редставление в пространстве состояний Равенство слева вытекает из того, что производная дат) на интервале интегрирования не меняет знака, так как на этом интервале она непРеРывна и УдовлетвоРЯет огРаничению ~~(1) ~ > ео,т2.

Из последнего неравенства получаем неравенство ~7(1т+т1) — 1~А — У)~ > еоу которое выполняется при любом 1„как бы велико оно ни было. А это противоречит тому, что функция Д1) стремится к конечному пределу при 1 — т сс. Лемма доказана. Установить равномерную непрерывность исходя из определения не всегда просто. Более удобным, если функция дифферснцируема, может оказаться рассмотрение производной; дифференцируемая функция равномерно непрерывна, если ее производная ограничена. Поэтому из леммы Барбалата получаем следуютцее следствие.

С лед с т в и е. Еслтт дважды дидтдтерениируемая на интервиле ~1о, сс) функттия Д1) имеет, конечный предел при 1 — т ос и вторая производная на этом интервале. ограничена, то производная Д1) стремится к нулю при 1 — ~ сс. П р и м е р 1.7. Адаптивная система описывается уравнениями е = — е+ Втт1), В = — еит(1), где е ошибка слежения, 0 ошибка оценки параметра (разность между оценкой и истинным значением параметра), ит(т) ограниченная непрерывная функция.

Требуется установить ограниченность переменных и сходимость ошибки слежения к нулю при 1 — т сс. Решение. Рассмотрим квадратичную форму К = ее +Вз, составленную из переменных, входящих в уравнения адаптивной системы. Ее производная по времени имеет вид Р = 2ее + 200 = 2е1 — е + Виет)) + 20( — етотт)) = — 2ез ( О. Так как функция К ограничена снизу нулем и ее производная отрицательна или равна нулю, то функция К сходится к конечному пределу при 1 -т оо.

Из ограниченности функции т' следует, что переменные е и В ограничены, и так как по условию и функция ю1т) ограничена, то из уравнений следует, что производные е и В также ограничены. Поэтому вторая производная Ё = -4ее ограничена,а согласно следствию $' = — 2ез — т О и соответственно е — т О при 1 -э сс.

1.8. Лемма Калмана — Якубовича В гл. 11 при рассмотрении адаптивных систем управления используются строго вещественно-положительные передаточные функции и лемма Калмана--Якубовича. Поэтому в данном параграфе остановимся на этих вопросах вкратце. !.9. Векторное дифференцирование Передаточная функция И'(в) линейной стационарной системы управления называется строго вещесптвенно-положительной, если все се полюса располагаются в левой полуплоскости (система устойчива) и вещественная часть частотной передаточной функции И'Оат) при всех ьт > О положительна: Ве И'Ош) > О ч'ат > О. Отметим ряд очевидных необходимых условий того, что передаточная функция Ит(в)является строго вещественно-положительной: годограф частотной передаточной функдии ИтОот) (амплитудно-фазовая частотная характеристика) должен располагаться полностью в правой полуплоскости; относительный порядок г переда, точной функции И'(в) не должен превышать 1 (г = О или г = 1); не только полюса, но и нули передаточной функции Ит (в) должны располагаться в левой полуплоскости.

Лемма Кацмана-Якубовича. Для того чтпобы у вполне управляемой стационарной линейной систпсмы управления х = Ах+ Ви, у = с х, х Е В', и, у Е В, (1.26) передаточная функция Ит(в) = ст(!в — А) 'В была старого вещест; венно-положщпельной, необходимо и достаточно, чтпобы существовали положительно определенные матрицы Р и (г такие, что выполняютюя соотноигения Атр+ РА тз (1.27) РВ = с. Лемму Калмана.-Якубовича иначе можно еще сформулировать следующим образом. Пусть стационарная линейная система (1.26) вполне управляема и устпойчива (собстпвенные значения матрицы имеют, отрицательные вещественные части). Тогда для того чтобы сущестпвовали положительно определенные матрицы и такие, что выполняются соотношения (1.27), необходимо и достаточно, чтобы КеИт(уат) = Пе1с~(!фо — А) ~В) > О Чю > О.

(1.28) 1.9. Векторное дифференцирование В дальнейшем в различных главах будет использовано векторное дифференцирование, которое позволяет использовать более компактную и наглядную запись. Поэтому в этом параграфе кратко рассмотрим определения и свойства векторного дифференцирования (симвьт вол = обозначает равенство по определению). АО Гл. 1. Пре0ставленне в пространстве состоянии 1) Производная вектора х = (х1 22 ... я„) по скаляру й т Нх Вве /ах 11 ~, Ае! сй 2) Производная скалярной функции в = в(х) по вектору Т (л1 лз .. яп) 3) Производная векторной функции Г(х) (Г = Л ...

Я ) по т ВЕКТОРУ Х = (Х1 тз ... Ип) ф) ф~ аз ЙХ„ ф~ дх ато 4х Н бее дх ен' атв паз Аяо Используя приведенные определения и обычные правила дифференцирования, можно получить следующие правила векторного дифференцирования. 1в. Производная скалярного произведения по скаляру й А(хту) Ах т 4у т 4х т Ау сй сй у+х — =у — +х сй сй сй Если у = х, то имеем д(х х) дх т дх Вывод: 4(х у) Ы Ых, 0у, Ых тНу сй сй сй сй ей — Я1й, = ~ — ' У, + ~~ и; — ' = — У+ х сй 2". Производная произведения матрицы и вектора по скаляру й А (Ах) ИА Нх сй сй Ж' А (т х п)-матрица, зависящая от й 41 др. Вени!арапе дафференаирооанае Вывод: 1=1 и д(Ах) д! и И вЂ” аи Х Ж ~-и = — х+ А —.

дА дх д! д! Зо. Производная скалярного произведения по вектору т (Х! Х2 ° " Хи) "(у я) тду тдя дх Нх Их Если у = х, то имеем (У У) 2 т !1У дх дх Вывод: д(у я) д д дх дх ' ' '1дхг = — ~У!2! =~ — ~Р,Я! 1.= 1 1=1 Е ° +Е ду, д», !иг ~дуг т дя ду! т дя ) дуг т дя — Х+У вЂ” ... — Х+У вЂ” = и+У ~ дХ1 дх! ''' дх„ дх„~ дх дх 4о. Производная квадратичной формы по вектору т (Х! Х2 . Хп) — (х~1,1х) = 2х~еЗ, дх симметрическая (11 х п)-матрица, не зависящая от х. Вывод: — (х Ях) = — ~~ хз т дх дх д — аг,хд д! ~ д — а21Х! д! к' 1=1 и Е амХ! 1=1 и 1=1 е,.

Е е ) !и1 1=1 43 бр, Веннгорное дифферениироооние в) У + 4У + 2У = 2'и' + й + 4и + 1; (г~'1 г) у + У + 4 у' + 2 у = 2 'и + й + 4 и + 1. 3. Исследовать управляемость систем, которые описываются уравнениями: Хг — Х1 д) хз = Х1 + хг + из, хг = т1 + хг, хз = Т1 + хз + иг, 1 4 — Х2 + Х4 е) Х1 — — хг, хг =тг+тг, тз =хз+т4+из, Х4 =хз+Х4+иг. 4. Выяснить, прн каких значениях параметров а и Ь вполне управляема система, которая описывается приведенными уравнениями; а) х1 = х1+ хг + аи, хг = хг + Ьи; б) Х1 =Х1+ии, хг =хг+Ьи; в) х1 = х1 + Т2 + Яи1, х2 = х2 + и1, хз = хз + Ьиг~ г) Х1 = Х1 + тг, Хг = Х1 + хг + Ьиг, Хз = хз + Ьиг.

5. Преобразовать в каноническую форму управляемости следующие уравнения; а) Т1 = Т1+ хг + и1, б) Х1 = хг, хг = Х1 + хг, хз = хз + Х4 + и1 Х4 = тз + Х4 + иг' в) Т1 = Т1 + Ш, хг = тг + Т4, хз = Т1 + хз + и, Т4 = хг + Т4', 1) Х1 Х1 + Х2 Х2 Х1 + Х2 ХЗ ХЗ + Х4 + и2 х4 = тз + Х4 + и1. 6.

Исследовать стабилизируемость систем, которые описываются уравнениями, приведенными в задаче 5. Т. Преобразовать в управляемую форму Луенбергера следующие уравнения: а) Х1 Х14 Х2; Х2 Х1+ гз тз тз+Х4+и~ х4 =хз+Т4+и; б) х1 = Х1 + хг, в) Т1 — Х1 + Х2 г) т1 = Х1 + хг, хг — Т1 + хз, тз — хз + Т4, Х4 = хз + Т4 + и; Х2 = х2 + хз| хз = ТЗ + Х4 + и, Х4 = хз + Т4; Х2 — Х1 4 Х2 + Х31 ХЗ вЂ” Х2 + тз + Х4 Х4 = тз + Х4 + и. а) х1 —— Х1+ тг+ и1, б) Х1 =Х1+Хг+и1, в) х1 = Х1 + тг + и1, 1) Х1 Х1 + Х2 + Х41 Т2 — 31 + и2 ХЗ вЂ” Х2 + ХЗ Х2 — Х1 + и2 ХЗ вЂ” Х2 + тз т4 — Х1 + Х4~ Х2 = Х1 + Т2 + и1 тз = Х2 + ХЗ + и2 хз=т1+Х4, Х2 =Т1+Х2, тз =Х1+тз+'иг, Х4 — Х2 + Х4 44 Го.

1. Представоенне в пространстве составная 8. Пусть управляемые системы описываются уравнениями; а) Х1 Х1+ Е2 Х2 — Х1+ХЗ; Хзг — 22+Хе+'и, б) х»=х»+хг, хг =х»+хз хз =хг+хз+и; в) х» = хз + хг, хг = хг + хз, хз = х» + и; Г) х1 = х2, х2 = хз, хз = х1 + У2 + и. Определить законы управления, при которых характеристические уравнения замкнутых систем будут иметь следующие корни: 1) Л» = -1, Л2 = -2, Лз = -3; 2) Л» = — 1» Л = — 2+31, Лз = — 2 — З.у 9. Пусть управляемые системы описываются уравнениями: 5 5р+1 а)д= и; б) д = 71; рз 4 2у,г 4 1» 4 1 ' у,з Ь 2рг Ь р Ь 2 в)д= 2 р -Ь 4 2 р -е 1 рз 1 2рг ~огр+3 рз+2рг 1 р 1 и; г)д= и. Определить законы управления. при которых характеристические уравнения замкнутых систем будут иметь следующие корни: 1)Л»= — 1, Лг= — 2, Лз= — 3; 2) Л» = — 1, Лг —— — 2+ Зу» Лз = — 2 — 3 у.