Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 2. Mnogomernye, nelinejnye, optimal'nye i adaptivnye sistemy. (Ким - теория автоматического управления), страница 10

Изображение процессов на фазовой плоскости Если уравнения системы управления представлены в нормальной форме, то вектор состояния системы однозначно определяет ее состояние. Каждому состоянию системы в пространстве состояний соответствует точка. Точка, соответствующая текущему состоянию системы, называется изобрахсаюилей точкой.

При изменении состояния изображающая точка описывает траекторию. Эта траектория называется фазовой траекторией. Совокупность фазовых траекторий, соответствующая всевозможным начальным условиям, называется фазовым портретом. Наглядно фазовую траекторию и фазовый портрет можно представить в случае двухмерного фазового пространства. Пвухмерное фазовое пространство называется фазооой плоскостыт Фазовая плоскость . †. это координатная плоскость, в которой по осям координат откладываются две переменные (фазовые координаты), однозначно определяющие состояние системы второго порядка. Метод анализа и синтеза системы управления, основанный на построении фазового портрета, называют методом фазовой плоскости. Рассмотрим систему управления второго порядка, которая описывается уравнениями хь = Хз(хм ха), х = Хз(хыхз).

(2.5) Решение этой системы дифференциальных уравнений при начальном условии хПо) = х = (хз~ хоя) представляет собой параметрические уравнения фазовых траекторий. Параметром здесь является время. Построив фазовые траектории по этим уравнениям при различных начальных условиях, получим фазовый портрет. Уравнения (2.ог) являются дифференциальными уравнениями фазовых траекторий в параметрической форме. Разделив второе уравнение на первое, получим дифференциальное уравнение дхз ХПхп хз) (2.6) ьх1 Хз(хм ха) решение которого непосредственно связывает фазовые координаты. Это уравнение будем называть (непараметрическим) дифференииаль- ным уравнением фазовых траекторий.

ному изменению амплитуды; если после устранения возмущающего воздействия амплитуда колебаний со временем восстанавливается, то эти колебания являются автоколебаниями, в противном случае они не являются автоколобаниями. 54 Гл. 2. Нелинейные системы. Метод фазоеой плоскости Точки, в которых правая часть уравнения (2.6) равна отношению нулей, называются особы ми.

Особые точки являются корнями системы уравнений Х;(хы хз) = О, с = 1,2. Как следует из уравнений (2.5), в особых точках фазовая скорость х равна нулю. Следовательно, особые точки являются положениями равновесия. Через особые точки может проходить более одной траектории, в то время как через неособые точки проходит только одна траектория.

Часто при изображении процессов на фазовой плоскости за фазовую координату хз, которую откладывают по оси ординат, принимают производную хз координаты хы откладываемой по оси абсцисс. В этом случае уравнение (2.6) принимает вид дхо Х1 (хм хо) дх1 хо и фазовые траектории обладают следующими свойствами. В верхней полуплоскости изображающая точка движется слева направо, так как хз = хз > 0 и хз возрастает. В нижней полуплоскости, наоборот, изображающая точка движется справа налево, так как х1 = хя < < 0 и хз убывает.

На оси абсцисс (хз = О) производная с1хз/сЬ1 = оо (за исключением точек равновесия), и поэтому фазовые траектории пересекают ось абсцисс под прямым углом. По фазовому портрету можно судить о характере переходных прсщессов. В частности, по фазовой траектории можно построить без расчетов качественно временную характеристику .. кривую зависимости х1 от времени, и, наоборот, по временной характеристике можно качественно построить фазовую траекторию. В качестве примера сначала по фазовой траектории построим временную характеристику, а затем по временнбй характеристике фазовую траекторию. Пусть задана фазовая траектория (рис.

2.4, а). Рис. 2.4. Построение времеинбй характеристики по фазовой траектории Отметив на ней характерные точки (начальную точку, точки пересечения с осями координат), нанесем соответствукзщие им точки на временной плоскости и соединим их плавной кривой (рис. 2.4, 5). 55 2.б. Фаэовые поргпретм и типы особых точек Рис. 2.5. К построению фазовой траектории по временной характеристике Пусть теперь задана временная характеристика (рис. 2.5, а). Отметив на ней характерные точки (начальную точку, точки экстремума и точки пересечения с временной осью), нанесем соответствующие им точки на фазовую плоскость и соединим их плавной кривой (рис.

2.5, 6). 2.5. Фазовые портреты и типы особых точек Фазовые портреты нелинейных систем характеризуются большим разнообразием, чем фазовые портреты линейных систем. Однако типы особых точек линейных и нелинейных систем совпадают. Здесь имеются в виду те особые точки, в окрестностях которых уравнения нелинейных систем допускают линеаризацию. 2.5.1. Фазовые портреты н типы особых точек линейных систем. Пусть линейная система второго порядка описывается уравнением х+ ахи+ агх = О, или, в нормальной форме, (2.7) г 1 — хг йг — а1хг огх1 Решение, фазовый портрет и типы особых точек зависят от корней характеристического уравнения Л + а1Л + ог — — О.

Из уравнения (2.7) следует, что рассматриваемая система имеет одну особую точку в начале координат. В зависимости от вида фазового портрета в окрестности особых точек последние подразделяются на различные типы. В табл. 2.1 приведены временные характеристики, фазовые портреты и типы особых точек при различных корнях характеристического уравнения. 56 Гл, 2. Нелинейные системы. Метов фазовой илоскосгаи Таблица 2.1 Тип корней Центр Чисто мнимые Комплексные Седло с отрицательной действительной частью Комплексные с положительной действительной частью Действительные отрицательные Действительные положительные Действительные разных знаков Кривак переход- ного процесса Фазовый порт- рет Тип особой точки Устойчивый фокус Неустойчивый фокус Устойчивый узел Неустойчивый узел йб.

Фавовые пориереты и типы особых реечек 57 Когда корни характеристического уравне- Х2 ния являются чисто мнимыми, фазовые траектории являквтся эллипсами или окружностями, т.е. они являются замкнутыми. Замкнутым фазовым траекториям соответствуют незатухающие колебания (перио- Х1 днческие режимы). Однако эти колебания не являются автоколебаниями, так как их ампли- ов туда зависит от начальных условий и они не являются асимптотически орбитально устой- Рис. 2.5. К определечивыми.

нию устойчивости осо- Положение равновесия, соответствующее бой точки типа центр особой точке типа центр, является устойчивым по Ляпунову. Лействительно, по заданному е можно выбрать нужное Б (см. определение 2.3) следующим образом. В качестве Б выбирается любое положительное число, меныпсе или равное половине длины меньшей оси эллипса, касающегося изнутри окружности радиуса е (рис. 2.5).

2.5.2. Фазовые портреты нелинейных систем. 11елинейные системы могут иметь несколько положений равновесия (особых точек) и характеризуются большим разнообразием фазовых портретов. Если правые части нелинейных уравнений хе = Х,(х1,хг), 1 = 1,2, допускают линеаризацию в окрестностях особых точек, то эти особые точки могут быть лишь тех же типов, что и особые точки в случае линейных систем. Чтобы определить тип какой-либо особой точки, нужно произвести линеаризацию правых частей приведенных уравнений в окрестности этой точки, а затем по линеаризованным уравнениям определить ее тип.

В качестве примера рассмотрим фазовый портрет нелинейной системы, которая описывается уравнениями ~53) х1 = -х1(1 + хг) — 2хг, Х2 — Х1 + Х2. Приравняв правые части нулю, получим следующие уравнения для особых точек; — х1(1+ хг) — 2хг = О, х1 + хг = О. Эта система уравнений имеет три решения: 1)х1=0, хг=О; 2)х1 — — 1, хг —— — 1', 3)х1= — 1, хг=1. В окрестности первой точки линеаризованные уравнения имеют вид х1 = — 21 — 2хг, Х2 — Х1 + Х2. 58 Гл.

2. Нелинейные системьь Метод фазввой нлоскосот Характеристическое уравнение этой системы уравнений Л+1 2 =Лг+1=0 — 1 Л вЂ” 1 имеет чисто мнимые корни Лг г = х)1 Следовательно, точка (0,0) является особой точкой типа центр. В окрестности точки (1,— 1) линсаризованные уравнения имеют вид бч = — 4г)г — 20г, г)г = Н)г + Нг, где г)ь = ть — 1, Нг — — Яг + 1. ХаРактеРистическое УРавнение этой системы уравнений Л+4 2 Лг) 8Л 2 0 — 1 Л вЂ” 1 имеет вещественные корни с разными знаками: Лг г = ( — 3 х у'Г7))'2.

Следовательно, точка (1, — 1) является особой точкой типа седло. В окрестности третьей точки ( — 1, 1) линеаризованные уравнения принимают точно такой вид, что и в предыдущем случае, если пРинЯть Нг — — тг + 1, г)г = тг — 1. Следовательно, точка ( — 1, 1) также является особой точкой типа седло. На рис.

2.7 представлен фазовый потрет рассматриваемой системы. Из этого рисунка видно, что точка равновесия (О, О) устойчива по Ляпунову, а две другие точки равновесия неустойчивы. Если движение начинается внутри замкнутой жирной линии, то возникает колебательный (периодический) процесс. Если движение начинается вне указанной замкнутой кривой, то возникает расходящийся процесс. Как следует из рассмотренного примера, при наличии нескольких точек равновесия возможны различные типы фазовых траекторий.

Особые кривые (жирные кривые на рис. 2.7), разделяющие фазовую плоскость на области с разными тиРис. 2.7. Фазовый портрет поли- пами фазовых траекторий, называнейной системы ются сенарагарисами, Фазовые портреты нелинейных систем могут содержать другой тип особой кривой — — изолированные замкнутые траектории. Эти кривые называются предельными циклами. Если изнутри и снаружи фазовые траектории сходятся к предельному циклу (рис. 2.8, а), то такой предельный цикл называется усллойнавым предельным циклом.