Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 2. Mnogomernye, nelinejnye, optimal'nye i adaptivnye sistemy. (Ким - теория автоматического управления), страница 8

Глава 2 НЕЛИНКЙНЫЕ СИСТКМЫ. МКТОД ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ Практически все системы управления, строго говоря, являются нелинейными, т.е. описываются нелинейными уравнениями. Линейные системы управления являются их линейными моделями, которые получаются ну~ем обычной линеаризапив линеаризации, состоящей в разложении нелинейных функций в ряд Тейлора и отбрасывании нелинейных слагаемых. Однако такая линеаризация не всегда возможна. Если нелинейность допускает обычную линеаризацию, то такая нелинейность называется несущественной. В противном случае нелинейность называется существенной. Существенными нелинейностями обладают всякого рода релейные элементы. Даже в тех случаях, когда обычная линеаризация возможна, часто на конечном этапе исследования может потребоваться рассмотрение исходной нелинейной модели.

2.1. Нелинейные статические характеристики. Особенности нелинейных систем Нелинейньае стагаичесние харантперистини. Здесь будут рассмотрены статические характеристики некоторых нелинейностей. Па рис. 2.1 представлены релейные характеристики разных видов: характеристика идеального реле (а); характеристика реле с зоной нечувствительности (б); характеристика реле с гистерезисом (в); характеристика реле с зоной нечувствительности и гистерезисом (г); характеристика квантования по уровню (д).

На рис. 2.2 представлены кусочно линейные характеристики: кусочно линейная характеристика с насьпцением (а); кусочно линейная характеристика с зоной нечувствительности и насыщением ( б), кусочно линейная характеристика с зоной нечувствительности (е); люфт (характеристика звена с люфтом) (г); диодная характеристика (д); кусочно линейная характеристика с гистерезисом и насыщением (е). 46 Гл.

2. Нелинейные систсивь Мето0 фаэовой плоскос1ии Рис. 2.1. Релейные характеристики Рис. 2.2. Кусочно релейные характеристики Нелинейные системы по сравнению с линейными обладают рядом принципиальных особенностей. В частности, такими особенностями является следующее: не выполняется принцип суперпозиции, и исследование нелинейной системы при нескольких воздействиях нельзя сводить к исследованию при одном воздействии; — устойчивость и характер переходного процесса зависят от величины начального отклонения от положения равновесия; — при фиксированных внешних воздействиях возможны несколько (а иногда и бесконечное множество) положений равновесия; 47 е.е.

Определение устойчивости -- возникают свободные установившиеся процессы, которые в линейных системах невозможны (например, автоколебания). Универсальных аналитических (математических) методов исследования нелинейных систем нет. В процессе развития теории автоматического управления были разработаны различные математические методы анализа и синтеза нелинейных систем, каждый из которых применим для определенного класса систем и задач.

Наиболее широко используемыми методами исслодования нелинейных систем являются: метод фазовой плоскости: - метод функций Ляпунова; метод гармонической линеаризации (метод гармонического баланса); методы исследования абсолютной устойчивости. Любое исследование более или менее сложных нелинейных систем. как привило, заканчивается математическим моделированием. И в этом отношении математическое моделирование является одним из универсальных (неаналитических) методов исследования.

В этой книге будут рассмотрены все указанные выше методы исследования нелинейных систем и ряд других методов. 2.2. Определение устойчивости При рассмотрении линейных систем было принято следуя>щее математическое определение устойчивости: линейная система называется устойчивой, если общее решение однородного описывающего ее дифференциального уравнения стремится к нулю при стремлении времени к бесконечности. Очевидно, это определение нельзя распространить на нелинейные системы. Поэтому в общем случае используются другие определения устойчивости.

Существует множество различных понятий и определений устойчивости. В этой книге будут рассмотрены наиболее широко используемые понятия устойчивости, основанные на определениях, данных А. М. Ляпуновым. Пусть система управления описывается уравнениями У~ = Г~(Уырз,,Уп,«), « = 1,2,...,п, или. в векторной форме у = ъ" (у, «). (2.1) Лопустим, что у*(«) = (у~(«) уз(«) ... у„*(«))т частное решение уравнения (2.1), которое описывает интересующее нас движение.

Это движение и само решение называют нсвозмущенным двилсением (траекторией). Любое другое решение и движение, которое описывается этим решением, называют возмуи«енным двилсением (траекторией). Принимается, что в фазовом пространстве (пространстве состояний) ««" рассматриваемой системы вввдена евклидова метрика 48 Гл. 2. Нелинеиные системы.

Метоб фозовой плоеного|и (норма), т.е. длина (норма) вектора у, и расстояние между точ- ками уО~ и уОО определяются следующим образом ~уО' — у"'~ = ~; (уО' — уГ')' ь=1 о Ь~~=Ь~= ~ 3уу Прежде чем переходить к другим понятиям устойчивости, преобразуем исходное уравнение. Дело в том, что при исследовании устойчивости методом функций Ляпунова уравнения системы управления должны быть записаны в отклонениях, т. е. так, чтобы невозмущенному движению соответствовало нулевое решение.

Введем новые переменные, которые определяются следующим образом: х = у — у'. В новых переменных уравнение (2.1) примет вид х = Х(х., 1), (2.4) где Х(х,1) = х'(х+ у*,1) — у*(е). При этом невозмущенному движению системы (2.4) соответствует нулевое решение х'(1) = О.

Кроме того, нулевое решение (начало координат) является положением равновесия системы (2.4). Действительно, имеем Х(0,1) = 'У(у',1)— — у*(1) = О. Таким образом, при таком преобразовании проблема Если у(1) = (у1(1) уз(й) ... уо(1)) какая-либо траектория системы (2.1), то точка в фазовом пространстве, соответствующая этой траектории в текущий момент времени 1, называется изображающей точкой. Определение 2.1. Невозмущенное движение у*(1) называется устойчивым во Ляпунову, если для любого положительного числа е найдется такое положительное число д, что расстояние между изображающими точками невозмущенной траектории у*(1) и какой- либо возмущенной траектории у(1) в любой момент времени 1) 1о меньше е, если только расстояние между этими траекториями в начальный момент 1 = 1о меньше б, т.е. если выполняется условие ~у'(1) — у(1)~ < е 'ч'е ) 1о, если ~у*(1о) — у(1о)~ < б.

(2 2) Число о, которое определяется по заданному числу е, в общем случае зависит как от в, так и от начального момента 1о. Если можно выбрать число б, не зависящее от начального момента 1о. то говорят, что невозмущенное движение равномерно устойчиво. О и р е д е л е н и е 2.2. Невозмущенное движение называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и существует такое положительное число и, что расстояние между изображающими точками невозмущенной и возмущенной траекторий стремится к нулю при стремлении времени к бесконечности, как только расстояние между этими траекториями в начальный момент меньше О, т.е.когда выполняется условие (у*(1) — у(1)) — > О при 1 — э оо, если )у'(Со) — у(1о) ~ < и (2 3) 49 2.2.

Определение устойчивости устойчивости невозмущенного движения сводится к проблеме устойчивости положения равновесия. Любое ненулевое решение является возмущенным движением. Определение 2.3. Положение равновесия х = О системы (2.4) называется устойчивым пв Лжлупвву, если для любого положительного числа в найдется такое положительное число 6, что в любой момент времени 2 > 2в расстояние от изображающей точки возмущенного движсния до начала координат )х(г)) меньше в, когда начальное отклонение ~х(2в) ~ меныпе д, т. е. когда выполняется условие ~хП)~ < в ч у ) 2в, если ~х(ув)~ < б. Опроделение 2.4.

Положение равновесия х = О системы (2.4) называется асимптвтически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и найдется такое положительное число у, что возмущенное движение хф стремится к началу координат, если начальное отклонение ~х(2в) ~ меньше у, т. е. когда выполняется условие х(Х) — з О при у — ь оо, если !х(2в)! < у. Приведенным определениям устойчивости можно дать следующую геометрическую интерпретацию.

Устойчивость по Ляпунову означает, что, если задана сфера Я, радиуса в, то существует сфера Яв радиуса б такая, что, если возмущенное движение начнется внутри сферы Яв, то изображающая точка никогда нс достигнет сферы Я„т. е. движение будет происходить внутри сферы Я, (рис. 2.3, а). Рис, 2.3. К определению устойчивости Асимптотическая устойчивость означает, что выполняется условие устойчивости по Ляпунову и существует сфера Яв радиуса у такая, что если возмущенное движение начинается внутри сферы Яв, то оно стремится к началу координат при стремлении времени к бесконечности (рис.