Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 2. Mnogomernye, nelinejnye, optimal'nye i adaptivnye sistemy. (Ким - теория автоматического управления), страница 9

2.3, б). Если положение равновесия х = О асимптотичсски устойчиво, то множество всех начальных точек х", из которых возмущенное движение приходит в начало координат при стремлении времени к бесконечности, называется областью притялсвпия начала координат. 4 Д.П. К 50 Гл.

2. Нелинейные системы. Метоб фазовой ллоскоспзи Иначе говоря, если точка хв принадлежит области притяжения начала координат, то выполняется условие йпзх(х,г) э О при 2 -э со, где х(хо, г) . решение уравнения (2.4) при начальном условии х(го) = = х" (х(хо,го) = хв). Определение 2.5. Положение равновесия х = О системы (2.4) называется глобально устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и при любых начальных условиях все ее фазовые координаты ограничены при всех 1 > 1о.

Это определение устойчивости тесно связано с определением устойчивости по Лагранжу. Система (2А) называется устойчивой ао Лагранжу, если все ее решения ограничены на всем интервале О (1 ( со [36). Очевидно, положение равновесия х = О системы (2.4) будет глобально устойчиво, если оно устойчиво по Ляпунову и устойчиво по Лагранжу. Определение 2.6. Положение равновесия х = О системы (2.4) называется асимптотически устойчивым в целом или глобально асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и возмущенное движение стремится в начало координат из любого начального положения.

Другими словами, положение равновесия называется глобально асимптотачески устойчивым, если его область притяжения совпадает со всем фазовым пространством. Теперь рассмотрим, как соотносится определение устойчивости линейных систем с рассмотренными здесь определениями устойчивости. Если положение равновесия линейной системы устойчиво, то возмущенное движение стремится к положению равновесия из любого начального положения. Так что принятое в теории линейных систем определение устойчивости совпадает с определением глобальной асимптотической устойчивости. В случае линейных систем положение равновесия (система) считается неустойчивым, если не выполняется критерий устойчивости, т.е.

если не все корни характеристического уравнения расположены в левой полуплоскости. Однако в общем случае с понятием неустойчивости не все так просто. Поэтому специально остановимся на его определении. При этом, как и выше, сферу радиуса р с центром в начале координат обозначим Яр. Определение 2Л. Положение равновесия х = О системы (2.4) называется неустойчивым, если существует такое число г > О, что для любого числа б > О найдется такая точка внутри сферы Яв, что возмущенное движение, начинающееся в этой точке, достигает сферы Яе.

Другими словами, положение равновесия х = О системы (2.4) называется неустойчивым, если существует такое число г > О, что не Я.З. Орбитальная увгпойчивость. Автоколвбания 51 найдется сферы Яв, которая не содержала бы внутри себя точки., начиная с которой возмущенное движение достигает сферы Яп Это определение является логическим отрицанием определения устойчивости по Ляпунову. Поэтому если положение равновесия не является устойчивым по Ляпунову, то оно неустойчиво. Положение равновесия линейной системы, неустойчивое в том смысле, как это принято в теории линейных систем, не обязательно будет неустойчивым в определенном выше смысле.

Как увидим дальше, если линейная система неустойчива (т.е. не все корни ее характеристического уравнения являются левыми), но имеет место маргинальная устойчивость (характеристическое уравнение не имеет правых корней), то система может быть устойчива по Ляпунову. 2.3. Орбитальная устойчивость. Автоколебания Пусть у'(г) и у(~) — невозмущенное и возмущенное движение соответственно. Выше при определении различных понятий устойчивости мы руководствовались тем, как изменяется со временем расстояние р[у" (1),уф) = ~у'ф — уф~ между изображаюгцими точками этих движений.

Однако если невозмушенное движение является периодическим и совершается по замкнутой траектории (например, движение небесных тел), то важно, как ведет себя изображающая точка возмущенного движения относительно траектории невозмущенного движения, а не относительно его изображающей точки.

Поэтому при рассмотрении периодических процессов используются понятия устойчивости, отличные от рассмотренных выше, орбитальная устойчивость и асимптотическая орбитальная устойчивость. Введем следующие обозначения; Х* - траектория невозмущенного движения, т.е. А* = (у: у = у*(1), 1 > 1о); р(у,ь) расстояние от точки у до траектории Ь, т.е.

до ближайшей точки этой траектории. Определение 2.8. Невозмущенное движение у" (~) называется орбитально устойчивым, если для лк>бого числа в > 0 найдется такое число д > О, что при всех й > йо расстояние от изображающей точки возмещенного движения до траектории невозмущенного движения меньше в (р(уф, А') < в) при условии, что в начальный момент это расстояние меньше б (р(у(йо), ь*) < д) [25). Определение 2.9. Невозмущенное движение у'(~) называется асимитотически орбитально устойчивым, если оно орбитально устойчиво и найдатся такое положительное число пп что расстояние от изображающей точки возмущенного движения до траектории не- возмущенного движения стремится к нулю (р(у(г), ь*) ь 0) при г — ь — э сю, если это расстояние в начальный момент не превышает у (р(уело),Ь') < и).

Иначе, говоря, невозмущенное движение у*(Г) асимптотически орбитально устойчиво, если вокруг его траектории Ь' существует 52 Гл. е, Нелинейные системы. Мегаоб фааовой нлосноспаи такая окрестность, что если возмущенное движение начинается в этой окрестности, то его траектория со временем сольется с траекторией невозмущенного движения Ь'. Из устойчивости по Ляпунову следует орбитальная устойчивость.

Из асимптотической устойчивости следует асимптотическая орбитальная устойчивость. То есть если невозмущенное движение устойчиво по Ляпунову, то оно орбитально устойчиво, и если невозмущенное движение асимптотически устойчиво, то оно асимптотически орбитально устойчиво. Обратное не верно: вообще говоря, из орбитальной устойчивости не следует устойчивость по Ляпунову, и из асимптотической орбитальной устойчивости не следует асимптотическая устойчивость.

Болев того, если невозмущенное движение является периодическим, то оно не может быть асимптотически устойчивым. Лействительно, пусть невозмущенное движение у* ф является периодической функцией с периодом Т: у'(1) = у*(с+ Т). Рассмотрим возмущенное движение уф = у'(е+ о). Это возмущенное движение не стремится к невозмущснному движению, как бы мало ни было расстояние можду изображающими точками возмущенного и невозмущенного движений в начальный момент. Каким бы малым ни было число и в условии ~у11о) — у*(1о)~ < и, если указанное расстояние отлично от нуля и больше некоторого положительного числа во, то в силу периодичности у'(е) впр)у(1) — у*(1)! ) во, как бы велико ни было 1'.

Слес>и довательно, расстояние между изображаю|ними точками не может стремится к нулю. В теории нелинейных систем важную роль играет понятие авто- колебаний, введенное в теорию колебаний А. А. Андроповым. Определение 2.10. Автоколебаниями называются асимптотически орбитально устойчивые свободные колебания (периодические движения) . Автоколебания являются незатухающими колебаниями, которые устанавливаются и поддерживаются в системе за счет собственных источников энергии, причем амплитуды этих колебаний определяются свойствами системы,. а не начальными условиями.

Системы, в которых возникают автоколебания, называются автоколебательными сисгаемами. Автоколебания возможны только в нелинейных системах. Незатухающие свободные колебания возможны в маргинально устойчивых линейных системах. Однако эти колебания не являются автоколебаниями, так как они не удовлетворяют условиям асимптотичоской орбитальной устойчивости. Если на выходе какой-либо системы возникают незатухающие колебания, то чтобы проверить, являются ли эти колебания автоколебаниями, можно поступить следующим образом: подать на вход системы возмущающее воздействие, которое приводит к незначитель- йыб Изображение процессов на фазовой плоскости 53 2.4.