Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 2. Mnogomernye, nelinejnye, optimal'nye i adaptivnye sistemy. (Ким - теория автоматического управления), страница 4

Определение 1.1. Управляемая система (объект) (1.11) называется управляемой или вполне управляемой, если, каковы бы ни были точки х" и хю в фазовом пространстве Л", существует допустимое управление, определенное на конечном интервале [всю су) и переводящее систему (1.11) из начальной точки х(1в) = х" в конечную точку х(гу) = хю. Лругими словами, если объект вполне управляем, то он может быть переведен допустимым управлением из произвольного начального состояния в любое другое состояние за конечное время. 1.4.1. Управляемость линейных объектов.

Рассмотрим линейный объект, который описывается уравнением х = Ах+ Вп, х Е Л", и Е Л". (1.12) В случае линейного объекта справедливо следующее утверждение. 20 Гл. д Представление в пространстве состояний Утверждение 1.1, а) Линейный объект (1.12) вполне управляем, если, каково бы на было начальное сос1лояние х(1в) = хо, существует допусгаимое управление, определенное на конечном интервале (Ув,1у) и переводящее объект (1.12) в конечное состояние х(гу) = О, т. е. в начало координат. б) Линейный объект (1.12) вполне управляем, если, каково бы ни было конечное состояние х(1у) = х", сущестоует допустимое управление, определенное на конечном интервале (1в,1у) и переводящее объект (1.12) иэ начального состояния х(1о) = О, т.

е. иэ начала координат„в конечное. состояние х(1у) = хУ. Утверждение остается справедливым, если в первой части в качестве конечной точки вместо х(1у) = О выбрать любую другую фиксированную точку, а во второй части вместо начальной точки х(1о) = = О выбрать любую другую фиксированную точку. Показательство. а) Формула Коши (1.9) в случае уравнения (1.12) принимает вид х(1) = Х(1, 1в) х + ~Х(1, т)В(т) п(т) дт.

Поэтому достаточно показать, что последнее уравнение имеет ре- шение. Очевидно, решение этого уравнения совпадает с репзением уравнения О = Х(1у,1о) х + /Х(1у,т)В(т) п(т) дт, (1.13б) если Х(еу, «о) х = Х(ее, Со) х — х~, или — Х ~(1В1в) хс = х — Х(го,1у) хс. Но по условию решение уравнения (1.13б) существует при любом начальном условии, что доказывает первую часть утверждения 1.1. б) При нулевом начальном условии из формулы Коши получаем хУ = ~Х(1у, т) В(т) п(т) дт.

Управление, переводящее объект (1.12) из начального состояния х(1о) = х в конечное состояние х(гу) = ху, должно удовлетворять уравнению О хг = Х(1В 1е) х + (' Х(1у, .т)В(т) п(т) йт. (1.13а) 21 14. Управляемость объекта управлвниа Это уравнение по условию имеет решение при любом конечном состоянии.

Решение уравнения (1.13а) совпадает с решением последнего уравнения, если х~ = х~ — Х(1у,бв) хо, что доказывает вторую часть утверждения 1.1. 1.4.2. Управляемость линейных стационарных объектов. Пусть уравнение (1.12) х = Ах + Вп, х Е В", п Е В'. описывает стационарную систему, т.е. матрицы А и В являются постоянными. Введем в рассмотрение матрицу У= (В АВ АгВ ... А" 'В1, (1.14) столбцы которой представляют собой столбцы матрицы В и произведений матриц АВ, АгВ, ..., А" зВ. Эту матрицу называют матрицвй управляемости.

Критерий управляемости линейных стационарных систем. Линейный стационарный объекта вполне управляем тогда а только тогда, когда матрица управляемости имеет максимальный ранг, т. е. когда ее ранг равен и. Напомним, что ранг матрицы равен числу независимых строк, числу независимых столбцов и порядку отличного от нуля минора максимальной размерности. Определение 1.2. Пару (А, В) называют управляемой или вполне управляемой если ранг матрицы управляемости (1.14) равен и. Ниже при доказательстве критерия управляемости используется теорема Кэли-Гамильтона, которая формулируется следующим образом: любая (и х ть)-матрица удовлетворяет своему караютвристикескому уравнению йеь(Л! — А) = Л" — с1Л" ~ — сгЛа г —...

— с„= О, т. е. справедливо равенспьво А" — с1А" ' — сгА" ' —... — са1 = О. (1.15) Показательство критерия управляемости. В силу утверждения 1.1 лостаточно ограничиться случаем, когда х(1о) = х = О. Решение уравнения (1.12) при постоянных матрицах А и В и начальном условии х(го) = х" = О имеет вид (см. (1.10)) х(ь) = /елр '~В п(т) дт. о 22 Гл. д Предетпавленне в пространен~во еоетолннй Отсюда, положив 1 = 11 и х(11) = хУ, получим хУ = ~е' ~ ' 'Вп(т) Йт. о (1.16) Необходимость. Из определения матричнойэкспоненты имеем е 1' '~ = 1+ А(1у — т) + — А (11 — т) + — А (1у — т) +...

2! 3! Подставив это выражение в равенство (1.16), получим х = Веко+ АВее2+А Века+ .. (1.17) где 1у ее;, = / ' ., ц(т)е1т, 1=0,1,2, о Из равенства (1.15) получаем А" = С2Ан ~ +С2А 2+ .. +Снй Умножив обе части этого равенства справа на матрицу В, получим А"В = с2А" 'В+ с2А" В+ + соВ. Умножив обе части последнего равенства слева на А и подставив справа вместо А" В его выражение из последнего равенства, найдем А" е'В = с1" Ан-'В + с"'А"-'В + + с~'~ — 1 2 А"+ьВ = г. 1Ан ~В+аз ~А" 2В+ . + с~~~В, й = 1,2, и Используя эти соотношения, можно исключить из (1.17) все А'В с 1 > и.

Следовательно, конечное значение х(11) = хт может быть представлено в виде линейной комбинации столбцов матрицы управляемости, и точка, определяемая этим значением, при любом конечно непрерывном управлении будет принадлежать пространству, порождаемому столбцами матрицы управляемости. Поэтому если ранг матрицы управляемости меньше п, то будет существовать подпространство, в которое нельзя будет перевести объект. Достаточность.

Объект будет вполне управляем, если уравнение (1.16) относительно неизвестного управления имеет решение при любом хт. Решение будем искать в виде [15) и (елра — т~В)т и Палее, продолжая аналогичные операции над получаемыми соотноше- ниями, будем иметь 14. Управлнелеоегпь ооъепгпа управления где х -" вектор из Лп. Подставив зто выражение для управления в уравнение (1.16~, получим хУ=Рх, где Р /'елру — е1В1ел(е~ — е)д~те1г о Таким образом, вопрос о существовании решении интегрального уравнения свелся к вопросу о существовании решения алгебраического уравнения. Полученное алгебраическое уравнение имеет решение при любом хг, если е1еь Р ~ О. Следовательно, достаточно показать, что выполняется последнее соотношение.

Допустим противное: е1еФ Р = О. Тогда соответствующее однородное уравнение имеет ненулевое решение, т.е. существует вектор х ф. О такой, что Рк = О. Умножив это равенство слева на хт и подставив выражение для Р, получим ее О 1йтеп(ег — ВВ(епр,— е)д)тйА / фт,п(е,— ~)д)зсе о о В силу непрерывности подынтегрального выражения последнее равенство возможно, если на всем интервале О ( т (1у выполняется равенство ~<О е ге — О Дифференцируя зто тождество по т, получим соотношения втАьеАОе )И = О, й = О 1 ...,п — 1, откуда при т = 11 находим ктАЯВ = О, й = 0,1,...,и — 1. Заметим, что Ао = Д Из последних равенств следует, что ненулевой вектор х из Лп ортогонален всем векторам-столбцам матрицы управляемости, что невозможно, так как ранг матрицы управляемости равен и.

Следовательно, допущение, что е1е1 Р = О, неверно. Критерий управляемости полностью доказан. Пример 1.2. Определить, при каких значениях параметра о объект, заданный уравнениями кь + из, хз+ им — хз + ееиз, вполне управляем. 24 Гл. 1. Представление в пространстве состояние 1'ешение. Матрицы А и В в данном случае имеют вид А= О О 1, В= 1 О Найдем произведения матриц АВ и АзВ А= О О 1 [:1 АзВ=А(АВ) = О О 1 О о = Π— о Для матрицы управляемости имеем О 1 О 1 О 1 У=[В АВ АзВ~= 1 О О о Π— о О о Π— о О о Минор, составленный из первого, второго и четвертого столбцов, имеет вид О 1 1 Аз= 1 О а = — =2сс. О о — се Ьвр -> Ь~р ' Ь...

з'- Ь, оор" -с а~р" ' -Ь... '- а„ где не все ноэсрфиниенты Ь, (1=0, 1,..., ш) равны нуло., вполне управляема. Доказательство. Как было показано в параграфе 1.2, если преобразовать последнее уравнение в нормальную форму, то уравнение состояния примет вид О 1 О ... О О О 1 ... О х = Ах + Вп = О О О ... 1 — а„— а„з — ап з ...

— ае Он отличен от нуля при о у. -О. При о = О все элементы последней строки матрицы управляемости обращаются в нуль, и ранг матрицы управляемости не может быть больше 2. Поэтому рассматриваемый объект вполне управляем при о ф О. Утверждение 1.2. Одномерная управляемая система, описываемая уравнением 23 14. Уираеляелоетиь объектив управления Вычислим произведения матриц, необходимые для получения матрицы управляемости: А'В = А(АВ) = АВ = О 1 — ат — аз+ а~ — ат Продолжая вычисления, нетрудно заметить, что в произведении АяВ (й ( и — 1) в (й + 1)-й строке снизу стоит единица, выше .. одни нули и в произведении А" тВ в первой строке (сверху) стоит единица.

Поэтому в матрице управляемости на неглавной диагонали будут стоять одни единицы, левее этой диагонали одни нули. Следовательно, детерминант матрицы управляемости будет отличен от нуля, и управляемая система вполне управляема. Инвариатпностпь свойстпва управлнемостпи и линейным преобразованиям. Свойство управляемости при неособом линейном преобразований не меняется. Действительно, рассмотрим неособое линейное преобразование х = Тх, бее Т ~ О.

При таком преобразовании уравнение (1.12) принимает вид х = Ах + Ви, где А=Т тАТ, В=Т 'В. Убедимся, что пара (А, В) вполне управляема. Лля матрицы управляемости этой пары имеем У= [В АВ АтВ ... А" 'В]. Как нетрудно убедиться, АЯ = Т ~А"Т, АьВ = Т ~АтВ, и = 1,2,...,п — 1. Подставив эти выражения в последнее соотношение, получим У= Т '[В АВ АзВ ... Аи 'В] = Т 'У. Так как матрица Т ' нсособая и ее ранг равен и, то ранг матрицы управляемости У «преобразованного объекта» равен рангу матрицы управляемости У исходного объекта. 1.4.3.

Подпространство управляемости. Определение 1.3. Область, состоящую из всех точек пространства состояний, в которые может быть переведена управляемая система допустимым управлением из начала координат за конечное время, называется ее облвсттьью уироеляемостии. 26 Гл. 1. Представленье в проетранетвве состоянье хз =хз+ию х, =хз+и, хз = — хз. Эти уравнения соответствуют уравнениям, рассмотренным в примере 1.2, при а = О. Поэтому матрица управляемости имеет вид 0 1 0 1 0 1 У= 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Эта матрица имеет два линейно независимых столбца: хр~ = (О 1 0)*, хбб = (1 0 0)т.