Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 2. Mnogomernye, nelinejnye, optimal'nye i adaptivnye sistemy. (Ким - теория автоматического управления), страница 5

Поэтому векторы подпространства управляемости имеют вид х = (хз хз 0)~. 1.4.4. Каноническая форма управляемости. Пусть ранг матрицы управляемости линейной стационарной управляемой системы (1.12) равен 1 (1 ( и). Рассмотрим неособое преобразование х = = Тх., где матрица преобразования имеет вид Т = (Т, Тя) и строится следующим образом; Т, является (и х 1)-матрицей, и ее столбцами являются 1 независимых столбцов матрицы управляемости; Тз является (и х (п, — !))-матрицей, и ее столбцы выбираются так, чтобы матрица Т была неособой. При таком преобразовании уравнение (1.12) принимает вид так называемой канонической формы управляемости или Ярз = Аззхц~ + Аззхбб + Взп, я~ ~ = Аззя~ (1.18) где х~з~ — — 1-вектор, я~з~ — — (п — 1)-вектор, Аы (~ х1)-матрица, Азз --. (1 х (и — 1))-матрица, Аяз -- ((п — 1) х (и — Ц)-матрица, Вз--- (( х г)-матрица.

Если управляемая система вполне управляема, то ее область управляемости совпадает со всем пространством. Если ранг матрицы управляемости управляемой системы не равен максимальному значению (т.е. размерности пространства состояний), но больше нуля,то говорят, что управляемая система не вполне управляема или частично управляема. Если управляемая система частично управляема, то, как следует из доказательства критерия управляемости, область управляемости совпадает с подпространством, порождаемым совокупностью независимых столбцов матрицы управляемости.

Это подпространство называют подпространством управляемости. Пусть, например, управляемая система описывается уравнениями 27 14. Управлнемоепгь ооъеппги рпривлеппн Из структуры уравнений (1.18) видно, что вектор х121 неуправляем, так как на его изменение управление ни непосредственно, ни через другие фазовыс координаты, зависящие от управления, не оказывает никакого влияния. Вектор я1П вполне управляем, т. е. его можно изменять нужным образом путом выбора соответствующего управления. Пример 1.3.

Преобразовать уравнения х1 — е2 + хз + и Х2 = Х2, Х2 = Х1, Х4 = — Х2 — Х4 в каноническую форму управляемости. Решение. Матрицы А, В и их произведения АВ, А2В, АзВ имеют следующий вид: ΠΠΠ— 1 А= АВ = А'В = Составив из этих матриц матрицу управляемости, получим 1 О 1 О О О О О О 1 О 1 О О О О У= ~В АВ А2В АзВ~ = Матрица управляемости имеет два независимых столбца, и ее ранг равен 2.

Матрицы Т1, Тг и Т выберем следующим образом: О О 1 О О О О 1 Т = ~Т1 Тг~ Т,= Тг —— Преобразование г = Тх имеет вид 1 О О О О О 1 О О 1 О О О О О 1 Х1 гг гз 2.1 хз 1 О О О О 1 О О О 1 1 О О 1 О О 1 ΠΠΠΠ— 1 Π— 1 1 О О Х1 хг хз Х4 1 О О О О О 1 О О 1 О О О О О 1 28 Го. д Предсозввление в пространен~во состояний Уравнения в новых переменных принимают вид гз — — йз = из+аз+и = гз+ гз+и, гг = йз = 33 — — гы гз = 32 = и2 = гз, 34 = Х4 = — Т2 — Х4 = — гз — 24, или г! 22 +33 +и1 32 — гы гз = гз, Используя векторные обозначения ио~ = (гг гз) и вбб = (гз г4)г, эти уравнения можно записать в виде впо = зсп+ я12~ + и, ( — 1 — 1~ 1.5. Канонические формы уравнения и модальное управление Ввиду того что существует множество эквивалентных форм представлений уравнений состояний, можно выбрать из них наиболее удобное для использования в данном конкретном случае.

Такие формы уравнений называют каноническими (4). Поскольку возможно много различных приложений, используется несколько канонических форм. Здесь рассмотрим преобразование уравнений состояний в каноническую форму, называемую управляемой формой Луенбергера. Уравнение состояния вида О 1 О О О 1 О О О О О и = Ав -~- В ив и+ О 1 — ав — ао 3 — а„з ... — а3 (1.19) Из канонической формы управляемости следует, что на фазовую координату гг управление воздействует непосредственно (оно входит в уравнение для гз), на фазовую координату гз управление воздействует через гз (гз входит в уравнение для гз), а на фазовые координаты гз и гв управление никак не воздействует, т.

е. эти координаты являются неуправляемыми. 1.5. Канонические формы уравнении и модальное управление 29 называется управляемой формой Луенбергера «4). Характеристическое уравнение матрицы А этого уравнения имеет вид ь«еь(Л1 — А) = Л" + агЛ" ~ +... + а„= О. (1.20) Коэффициентами характеристического уравнения являются элементы последней строки матрицы А уравнения (1.19) с противоположным знаком. Теорема 1.1. Для того чтобы уравнение состояния х = Ах+ Ви, х е тсп, и е Л, (1.21) нгособым преобразованием можно было преобразовать в управляемую форму Луенбергера (1.19), необходимо и достаточно, чтобы пара (А, В) была вполне управляема. Доказательство.

Необходимость следует из того, что управляемая система, описываемая уравнением (1.19), является вполне управляемой (см. доказательство утверждения 1.2) и свойство управляемости не меняется при неособом преобразовании. Докажем достаточность,т.е. покажем, что существует неособое преобразование х = Тг, при котором исходное уравнение преобразуется к виду (1.19), где В=Т 'В. А =Т АТ, Так как пара (А, В) вполне управляема, то матрица управляемости У= (В АВ ... А" 'В) является неособой. Поэтому линейное алгебраическое уравнение «гтУ= (О О ...

0 1), где «з является неизвестным п-вектором, имеет решение. Подставив в последнее уравнение выражение для матрицы управляемости,. получим «зт(В АВ ... А" 'В) =(О 0 ... 0 1), или «гтВ 0 «зтАВ О «зтАп — сВ Рассмотрим матрицу «,т «тА Т «стАп — 1 Эта матрица является неособой в силу того, что матрица зо Гл. д Предсп»воление в просгпрансп»ве состояний «т Ьт 1 Л=т-1 у= «В АВ ... Ап 'В~= ЬТАп — 1 Ьтд ЬтАВ ЬТАп — 1д ЬТАВ ЬтА2В ЬтАпд 'ЬТАп — 1В ЬТАпд ЬТА2п — 2В является неособой.

Последнее слецует из того, что, так как в силу равенств (1.22) все элементы на неглавной диагонали последней матрицы равны единице, а над ней равны нулю, »«е« В = 1 или»«еФ В = — 1. Искомым преобразованием является преобразование Ьт «тА (1.23а) я=7 х= ЬтАп 1 или 21=Ь х, ез=Ь Ах, ..., еп=Ь А" »х. »1.23б) Действительно, дифференцируя последние равенства по времени и подставляя выражение для производной х из (1.21), получим 11 = Ьтх = ЬтАх+ Ьз Ви = ЬтАх = 22, «,тАх Ьт 12х+ ЬтАди «,тАзх яз ЬтАп — 2 «т «п — 1 ««тАп — 2Ди ЬтАп — 1, ЬтАп — »х ЬтАпх + ЬТАп — 1ди ЬТАпх + и Подставляя в последнее равенство выражение для А" из соотношения А" = — а»Ап ' —...

— ап »А — ап1, которое получается из теоремь» Кэпи — Гамильтона, находим еп = — а»ЬТАп 1Х вЂ” азЬТАп 2Х вЂ”... — апЬТХ+ и, или, учитывая (1.23б), Ип = — а»Е, — азяп 1 —... — апя»+ и. Таким образом, исходное уравнение преобразуется в управляемую форму Луенбергера при помощи преобразования (1.23). При неособом преобразовании характеристические уравнения исходной системы (1.21) и преобразованной системы (1.19)»«е«(Л1 — А) = = О и»«е»(Л1 — А) = О совпадают (см. далее » 1.6).

1.б. Канонические формы уравнения и модальное 1управление 31 П р и м е р 1 А. Преобразовать уравнение состояния х=Ах+Ви= О 1 О х+ 1 и в управляемую форму Луенбергера. Решение. Произведения АВ, А2В и матрица управляемости имеют вид :] ь 1 1~ А'В = У= (В АВ А'В) = АВ = Л вЂ” 1 — 1 О 11е1(Л1 — А) = О Л вЂ” 1 О = (Л вЂ” Ц' = — 1 О Л вЂ” 1 = Лз — ЗЛ2 + ЗЛ вЂ” 1 = О. Поэтому элементами последней строки матрицы А будут — аг — — 3, — аз=1, и преобразованное уравнение имеет вид х= О О 1 Модальное управление.

Теперь покажем, что если линейный стационарный объект вполне управляем, то существует такой линейный закон управления, при котором корни характеристического уравнения замкнутой системы равны наперед заданным числам. Способ управления, основанный на размещении корней характеристичоского уравнения определенным образом, называют модальным управлением (55). Теорема 1.2.

Пусть заданы линейныа стационарный объект х = Ах+ Ви, х б Во, и б В, ! (! ( и/2) пар произвольных комплексно сопряхсенных чисел Л, = = о, х Щ (1 = 1,2,...,!) и и — 2! произвольных действительных чисел Л, =оь (ь =2!+1,...,п). Если данный объект вполне управляем, то существует закон управления 'и = 1г х = Й1х1 + йзхз +... + Йьхв, Так как с1ес У = 1, то пара (А, В) вполне управляема.

Следовательно, данное уравнение может быть преобразовано в управляемук1 форму Луенбергера. Характеристическое уравнение имеет вид 32 Гл. б Представление в пространстве состояний при котором корни характеристического уравнения замкнутой системы равны заданным телам. Доказательство. 1эассмотрим преобразование х = Тг, которое преобразует уравнение объекта в управляемую форму Луенбергера (1.19). Характеристическое уравнение объекта имеет вид (см. (1.20)) с1с$ (Л1 — А) = Л" + а|Л" +...

+ а„= О. Чтобы корни характеристического уравнения замкнутой системы были равны заданным числам, оно должно иметь вид в П (Л вЂ” оп — гВ;)(Л вЂ” он + уВг) П (Л вЂ” аь) = 1=1 в=гьы =Л" +СЛь +.,.+.в=О. Характеристическое уравнение замкнутой системы будет иметь такой вид, если принять закон управления и = (ав — с„)х1 + (ап г — св г)гг +... + (аг — сг)хв = (а — с) х, (1.24) где т т а = (а„а„г ...