Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 2. Mnogomernye, nelinejnye, optimal'nye i adaptivnye sistemy. (Ким - теория автоматического управления), страница 6

аг), с = (с„с„г ... сг) Действительно, подставив этот закон управления в уравнение (1.19), получим 0 1 0 .. 0 0 0 1 ... 0 х = Ах + Ви = 0 0 0 ... 1 — с — с ь с,— г ° сг Искомый закон управления найдем, если подставить выражение х = = Т ьх в формулу (1.24); и = (а — с) х = (а — с) Т х, или и=к х к =(а — с) Т Теорема, аналогичная теореме 1.2, справедлива и в случае вскторного управления (4, 55].

Сформулируем ее без доказательства. Теорема 1.2а. Пусть заданы линейный стационарный, объект х = Ах+ Вп, х й В", и е В"., 1 (1 ( и/2) пар произвольных комплексно сопряженных чисел, Л, = = сн х3Я (1 = 1,2,...,1) и п — 21 произвольных действительных чисел Л„= о, (в = 21+ 1,..., и). Если данный объект вполне управляем, .то существует закон упраоления и = Кх (К (г х п)-матрица), при котором корни характеристического уравнения замкнутой системы ровны заданным числам. дб. Канонические формы уравнения и модельное управление 33 Утверждение 1.3.

Пусть характеристическое уравнение одномерной управляемой системы (1.21) имеет вид Л" +агЛ" +...+ап = О. Юля того чтобы характеристическое уравнение замкнутой системы имело вид Л" + с1Лп ' +... + с„= О, нузкно выбрать закон управления вида и = (а — с)~ х = (а — с) Т ~х, где т а1) , с = (с„ с„ т а=(ап а, 1„т ЪтА 1зтА — 1 а векторная переменная Ьт в последней матриие определяется из уравнений 1тП = 0 1тАП = 0 1тА"-'В = ~ Это утверждение непосредственно вытекает из теорем 1.1 и 1.2. П р и м е р 1.5. Управляемая система описывается уравнением х+ 1 и.

а характеристическое уравнение замкнутой системы —. вид (Л+1 — ЗуИЛ+1+ ЗуИЛ+ 1) = Л'+ЗЛ'+12Л+ РО = О. В принятых выше обозначениях аз = — 3, аз=3, аз — — — 1, сз = 3, се=12, се=10 и соответственно а = 1аз аз аг) = (-1 3 -3) з д.п. к с = 1сз сз сь) = (10 12 3) Определить закон управления, при котором корни характеристического уравнения замкнутой системы равны Л1 з = — 1 х Зф, Лз —— — 1. Решение. Согласно утверждению 1.3, чтобы найти требуемый закон управления, нужно знать коэффициенты характеристических уравнений управляемой и замкнутой систем, а также обратную матрицу преобразования уравнений управляемой системы в управляемую форму Луенбергера.

Характеристическое уравнение управляемой системы имеет вид (см. пример 1.4) Лз — ЗЛз + ЗЛ вЂ” 1 = 0 34 Гв. д Представление в проотраноеовв состояний Чтобы определить матрицу Т г, нужно сначала составить и решить систему уравнений 1,тВ О 1,т 4В О ЬтАгВ 1 Входящие в эти уравнения матрицы имеют вид А= О 1 О, В= 1, АВ= 1 4гВ Поэтому указанные выше уравнения принимают вид йг = О, а, +лг =О, 2лг+лг+йг =1. Отсюда получаем Ьт = (О О 1). Произведения ЬтА и ЬтАг имеют вид Ь'А = (1 О 1) Ь'А' = ~2 1 1). Поэтому для матрицы Т получаем соотношение Т "= ЬтА в в а искомый закон управления принимает вид О 1 хг О и = 1а — с)тТ ~х = ( — 11 — 9 — 6) 1 2 = — 21 тг — 6 яг — 26 тз. 1.6.

Стабилизируемость линейных стационарных систем х = Ах+ Вп, х е В", и е В"., называется сглабилиэируемььи, если существует закон управления и = Кх, при котором замкнутая система х = (А+ Вй)х асимптотически устойчива. Если объект вполне управляем, то он стабилизируем, что следует из теоремы 1.2а. Однако обратное неверно: объект может быть стабилизируем, но не вполне управляем. Поэтому возникает проблема стабилизируемости, т.е. проблема определения критерия стабили- Одним из важных понятий при рассмотрении задач управления является стабилизируемость. Управляемая система (объект) называется ствбилаэнрувжой, если существует закон управления, при котором замкнутая система асимптотически устойчива.

Здесь мы рассмотрим стабилизируемость только линейных стационарных систем. Определение 1.4. Линейный стационарный объект 1.б. Стабилизирусмостаь линейных стационарных систем 35 зируемости. Но прежде чем переходить к этой проблеме, рассмотрим инвариатность корней характеристического уравнения системы к линейным преобразованиям. Инвариатность корней характеристического уравнения систем к линейным преобразованиям. Корни хараитеристическово рравненив линейных стационарных сисгаем не изменвютсв при линейном неособом прсобразовании. Рассмотрим линейную стационарную систему, которая описывается уравнением х = Ах + Ви, х Е Л", и Е В . При неособом преобразовании х = Тк данное уравнение преобразует- ся к виду х = Ах+ Ви. где А=Т 'АТ, В=Т сВ. Характеристическое уравнение исходного уравнения имеет вид с$е1(1Л вЂ” А) = )1Л вЂ” А! = О, а характеристическое уравнение преобразованного уравнения -- вид с$сс (1Л вЂ” А) = )1Л вЂ” А! = О.

Покажем, что эти уравнсния имеют одни и те же корни. Умножив матрицу 1Л вЂ” А слева на Т, а справа на Т ~, получим Т(1Л вЂ” А)Т ' = 1Л вЂ” А. Отсюда, учитывая, что определитель произведения квадратных матриц равен произведению определителей их сомножителей ~2Ц для характеристического уравнения преобразованной системы находим )Т( (1Л вЂ” А! (Т '! = (1Л вЂ” А( = О. Так как матрица Т является неособой, то (Т з! ~ О и )Т( ~ О. Поэтому из последнего соотношения имеем (1Л вЂ” А! = )1Л вЂ” А( = О, что доказывает наше утверждение. Вернемся к проблеме стабилизируемости. Рассмотрим неособое преобразование х = Тх, преобразующее уравнение управляемой системы в каноническую форму управляемости (1.18): кц~ = Аикц~ + Аззх~з~ + Взи., хн~~б = Азах~~~.

Стабилизируемость системы, описываемой этими уравнениями, означает, что существует закон управления и = Кх, при котором векторные переменные х~П и х~~~ замкнутой системы стремятся к нулю при с — ~ со. Так как в первом из приведенных уравнений пара (Аы, Вз) вполне управляема, то существует закон управления и = Кк~ц, при котором замкнутая подсистема, описываемая этим 36 Гл. Ь 11редстовленне в пространстве состояний уравнением, устойчива, и векторная переменная х<1 < будет сходиться к нулю, если векторная переменная я<~1, которая в этом уравнении выступает как внешнее воздействие, будет стремиться к нулю при 2 -1 со. Но, как следует из второго уравнения, последнее будет иметь место в том и только том случае, когда во втором уравнении матрица А22 будет устойчива. Критерий стабилизируемости. Юля того чтобь< линейная стационарная управляемая система, которая не вполне управляема, бь ла стабилизируема, необходимо и достапючно, чтобы матрица А22 в канонической форме управляемое<пи была устойчива.

Пример 1.6. Исследовать стабилизируемость управляемой системы, которая описывается уравнениями Х1 = Х2+Хз+и,. У2 = Х2, ХЗ = Х1, ХВ = -Хз — ХЕ Решение. Эта система была рассмотрена в примере 1.3, и, как там было показано, эти уравнения в канонической форме управляемости принимают вид х<1< = г<1< + г<2<+ и, -~1 1~ Пля того чтобы рассматриваемая система была стабилизируема, согласно критерик1 стабилизируемости матрица в правой части второго уравнения должна быть устойчивой.

Характеристическое уравнение этой матрицы имеет внц Л 1 О Л 1 0 1 Л+1 Корнями этого уравнения являются Л<д = х1, т. е. указанная матрица неустойчива, и, следовательно, система нестабилизируема. 1.7. Равномерная непрерывность н лемма Барбалата При рассмотрении нелинейных и особенно адаптивных систем широко используется лемма Барбалата. Но прежде чем переходить к рассмотрению этой леммы, вспомним, что такое непрерывная и равномерно непрерывная функции. Б7, равномерная непрерывность и лемма Барвалата 37 Функция Я) называется непрерывной на интервале [1в, оо), если при любом положительном в и любом Р й [йв, оо! существует такое положительное число в = в(е, Р), что !1(г) — Д(г')! < в, как только !г — Р! < д. Функция 7(1) называется равномерно непрерывной на интервале [1в, оо), если при любом положительном в и любом Р с [1в, оо! существует такое положительное число б = б(с), что !Д1) — т" (Р)! < < в, как только !1 — Р! < в.

Различие непрерывной функции от равномерно непрерывной функции состоит в том, что положительное число д, котороо можно подобрать для заданного е, в случае непрерывной функции зависит не только от е, но и от Р, Равномерная непрерывность предполагает, что по заданному в можно подобрать такое б = д(в), что неравенство !7(г) — 1(р)! < е будет выполнятся, как только !1 — Р! < д при любом У Е [йв оо!. Лемма Барбалата (ВагЬа1а1; см. [691).

Еслтг дифференцируемая функция 1(г) имеет конечный предел при 1 — г оо и ее произваднав 7"(1) равномерно непрерывна, тпа Я) -+ 0 при 1-э оо. Показательство. Докажем от противного. Попустим, чтопроизводная 1'(г) не стремится к нулю при 1 — г со. Но тогда существует положительное число вв такое, что для любого положительного числа Т, как бы велико оно ни было, существует значение 1, > Т, при котоРом спРаведливо неРавенство [7(г,)! > ев. Следовательно, можно построить последовательность 1г (г = 1, 2,...), стремящуюся к бесконечности при 1 — т оо и такую, что выполняется неравенство (1. 25) [1'(1,)! > ев, г = 1,2,. Так как производная 7(т) равномерно непрерывна, то существует такое положительное число ц, что для любого Р Е [гв, со) выполняется неравенство 2 ' как только !Р— 1! < т1.