Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 2. Mnogomernye, nelinejnye, optimal'nye i adaptivnye sistemy. (Ким - теория автоматического управления), страница 3

Здесь х называют фаэовым вектоРом или вектоРом состолгнийл и вскьпоуо.м Упфлолсн,ав или пРогто Уплввленнсмл а также входя»»й переменной или просто входом, у .— высоднььм вектором или просто выходом. Множество всех векторов состояний (фазовых векторов) называют просьпранством сосгаояний или фаоовым пространством. Уравнение (1.1а) называют уравнением соспьо ения, а уравнение (1.1б) уравнением выхода или уравнением наблюдений.

В этой книге всюду вектор рассматривается как вектор-столбец. Так что имеем т т т Х = (Хь Хг ... Хп), Н = (иь иг ... 'и») У = (уь Уг Уя») 1.г. Прео11рвэоввние уравнении еиепземы в неумильную форму 13 1.2. Преобразование уравнений линейных систем в нормальную форму В общем случае уравнение одномерной управляемой системы (объекта) имеет вид (и( (п — 1( (ы( (т — 11 у+а1 у +...+пну=бои +Ь, и +...+Ьпи, (т<п).

(12) Рассмотрим отдельно три случая: т = О, т = и, А) гп = О. В этом случае, разрешив уравнение (1.2) старшей производной, получим и О<т<п. относительно п (и — Ц У = Оси — а1 У вЂ”... — аиУ. (п — 1( ПОЛОЖИВ У = Х1, У = Хг, .... У = Хи. ПОЛУЧИМ х1 =хг, Хп1 — Хи Хп = Ови — апХ1 — аи гтг —... — а1Хи, У = Х1 В векторной форме эта система принимает вид х= Ах+ Ьи, у=с х, где О 1 0 О О 1 О Хи.

1 ΠΠΠ— аи — аи г ... — а1 О О О О ь 1 О с= О О Если вход и выход системы являются скалярными величинами, то такие системы называк1т ое)номерными. Если хотя бы одна из указанных переменных является векторной, то такие системы называют многомерными. 14 Гл. 1. (1редставление в пространстве состояний Б) пг = п. В этом случае уравнение (1.2) можно преобразовать к виду хг=хг+лги, хг = хз + Иги, (1.3а) Хи — 1 Хп + Нп — 1и~ Хп — а'Хп, а2 Сп — 1 ° ПпХ1 + Йпи, (1.3б) у = Х1 + кои, где Йо = во, (с = Ь, — ~~ а,а, „1'=1,2,...,п. (1.3в) 1=1 В векторной форме эта система принимает вид х = Ах+ Ьи, у=с х+йои, где О 1 О ... О О О 1 ...

О Х2 х= Хи — 1 О О О ап — 1 йп — 2 . 01 1 О й1 пг с= пи вЂ й„ О О (и — 11 (и — Ц 9 " п + йи — 1и' + ~~п — 2и + . + йв (и1 (и1 У = Хи + (Сп — 1и+ (Сп — ай+ ° + 1СОи (п( О1Хп а2Хп — 1 ... аих1 + йпи + йп — 1и+... + Йви . (1.4) Теперь выразим из полученной системы уравнений и уравнения (1.3б) переменные х1, хг,...,хи через переменную у и ее произ- Покажем справедливость приведенных преобразований. Продифференпируем обе части соотношения (1.3б) последовательно п раз, подставляя вместо производной х; ее выражение из (1.3а).

Тогда получим у = х1 + Уои = хг + й1 и + йои, у = хг + йгй + Мой = хз + йг и + И1 и + Вой АЯ. Превврвзвввние уравнений системы в нормальную форму 15 водные. Из (1.3б) получаем т1 — — у — йои. Палее из полученной выше системы уравнений находим тг = у — Йги — Йои, тз = у — Ьги — Ьги — )сои, 1и — Ы 1и — Ц у Ь вЂ” 1и — Ь„-.ги —... — Йо 'и Подставим полученные выражения для а1, иг,..., ти в уравнение (1.4). Тогда получим М 1и — 11 . 1п — 11 у = — а1( у — Ьп-1и — Й вЂ” ги —... — Йо и )— 1п — 21 1п — 21 а2( у )сп — 2и нп — зи ° но и ) —...

1и) .. — аи (у — )СОи) + )С,и+ )Еп ги+... + )СОи . ... + (Ьп+ а1Ь,-1+ агЬи — г +... + апйо) и. Приравнивая коэффициенты при одинаковых производных в правых частях этого уравнения и исходного уравнения (1.2), находим ЬО = Йо, Ь1 = Й1+ а1ЙО, Ь2 = Йг+ а1Й1+ а2ЬО, Ьп — лп + а1Ь~ — 1 + а2йп — 2 + ° ° + а~лО ° Очевидно, эти равенства можно записать в виде йо = Ьо, Ь1 = Ь1 — а1ЬО, йг = Ьг — (аФ1 + агйо) — (а1" -1+агк — 2+ . +а но) или Ц=Ь,— ~а Ь1 1, 1=1,2,...,п.

1=1 1ео — — Ьо, Последнее рекуррентное соотношение совпадает с (1.3в). Способ преобразования, который рассмотрен в этом пункте, можно использовать и тогда, когда т удовлетворяет неравенству 0 < т < п, так как уравнение (1.2) при т < и является частным случаем, когда первые т — и коэффициентов в правой части равны нулю. Перенесем слагаемые, содержащие переменную у и ее производные, в левую часть, и в правой части произведем приведение подобных членов. Тогда получим 1п) Ьл — 11 У +а1 У +...+аиУ= '1и1 1и — 1) 1п -21 = йои + (Ь1+ аАО) и + (Ьг+а1А1 + а210) и + 16 Гт 1.

Представление в пространстве состоянии Пример 1.1. Пусть управляемая система описывается уравнением 0,1р-ь 1 001 зл 01 1 Требуется преобразовать это уравнение в нормальную форму. Решение. Запишеле исходное уравнение в обычной форме: 001 у +01у+у+у =01и+и. Разделим обе части на 0,01.

Тогда получим у + 10 у+ 100 у+ 100 у = 10 и+ 100 и. В данном случае коэффициенты уравнения равны а1 = 10, аг = 100, аз = 100, Ьо = Ь1 = О, Ьг = 10, Ьз = 100. По формуле (1.3в) найдем коэффициенты Ь1 (1 = О, 1, .2, 3): но = Ьо = О, Й1 = Ь1 — а11ео = О, нг = Ьг — (агн1 +а2но) = 10, йз = Ьз (а1ИЗ + а2Ь1 + азйо) = О. В соответствии с формулами (1.3а) и (1.3б) уравнения в нормальной форме имеют вид Х1 — Х2 йг = хз + 10 и, хз = — 10хз — 100 хг — 100 х1, В) 0 < т < и. В этом случае можно предложить еще один способ преобразования, который отличается от способа, рассмотренного в првдь1дущЕм пунктЕ ~16).

Пусть управляемая система описывается уравнением Ь.р™+Ь„в*-'+... + Ь аор' + а1р †' + ... + а„ Запишем это уравнение формально следующим образам: 1 1 у— и — х1. Ьор'в Л- Ь1р"' 1 +... + Ь, аор" + а1р" 1+... + а„ Отсоэда имеем (аор + агро 1+... + а„) х1 — — и, у = (Ьорт+ Ьгрт 1+ .. + Ь„,) х1. Первое уравнение соответствует случаю ш = О, и его можно преобразовать к виду х1 = хг, Х2 — ХЗ 2„1 = Хп., 1 Хп = — (и — аоХ1 — ап — 2Х2 ... а1Хп) ° ао 1.3.

Общая формула решения системы уравнений 17 Второе уравнение принимает вид у — 5оха ', 1 + 51 хм + ° ° ° + 5тх1 ° Последнее уравнение и предыдущая система уравнений представляют собой нормальную форму исходного дифференциального уравнения. 1.3. Обшая формула решения системы линейных дифференциальных уравнений Рассмотрим решение системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными и переменными коэффициентами. При этом будем пользоваться векторной записью. Для того чтобы указать, что, например, х является в-мерным вектором, в дальнейшем часто будем использовать запись х е 11'. Пусть задано дифференциальное уравнение х = Ах+ Вц+ СГ., х е В", и е В, Г е Я~,.

(1.5) где А . (п х п)-матрица, В (п х т)-матрица, С . (и х Ц-матрица. Элементы всех матриц, вообще говоря, являются переменными, т. е. зависящими от времени. Здесь неизвестной переменной является вектор х, а и, à — известные функции времени. Наряду с уравнением (1.5) рассмотрим однородное уравнение (1.6) х = Ах. Пусть х~м = (х~м хп), О1)т х~г~ = (хбп х(2) хбб)т х( ) — е < ) ~ ) (а>)т 1 2 являются и, линейно независимыми решениями однородного уравнения (1.6). Любую такую систему решений называют фундаментальной системой решений. Матрица О) 66 1 . 1 Ф(2) = столбцами которой являются решения фундаментальной системы, называется фундаментальнон матриаей уравнений (1.5) и (1.6). Так как столбцы фундаментальной матрицы Ф(1) являются решениями однородного уравнения (1.6), то она удовлетворяет матричному уравнению Ф(1) = А Ф(1).

Если Ф(1) является фундаментальной матрицей уравнения (1.5) и обращается в единичную матрицу при 1 = 1о (Ф(йо) = 1а, 1„ г л.п. к 18 Гл. д Представленье в просгпрпнстпве состповпьй единичная матрица порядка и), то его реп~ение, удовлетворяющее начальному условию х(1о) = хо, можно записать в виде [50) Матрица (1.7) Х(1,1о) = Ф(1) Ф(1о) составленная из фундаментальной матрицы, является фундаментальной, т.е. ее столбцы образуют фундаментальную систему решений.

Она обращается в единичную матрицу, когда ее аргументы равны между собой; Х (с с) = Х (со, го) = 1. Будем называть эту матрицу нормированной 15унда ентпальной матрицвй. Она обладает следующими очевидными свойствами: Х(1,1')Х(1'.,1о) = Х(1Ао), Х '(1Ло) = Х(1о,г), (1.8а) Х(й 1,) = АХ(1, 1,). (1.8б) С помощью нормированной фундаментальной матрицы (1.7) решение неоднородного уравнения (1.5), удовлетворяющее начальному условию х(1о) = х, можно представить в виде х(1) = Х(1, 1о)х + ~Х(1, т) [В(т) ц(т) + С(т) Г(т)) йт. (1.9) со Эту формулу называют формулой Коши. Если матрица А является постоянной,то фундаментальная матрица Х(с,т) зависит только от разницы 1 — т. Кроме того, если в этом случае воспользоваться матричным экспоненциалом, то решение можно записать, как в скалярном случае.

Мптпричным экспоненциплом или матпрпчной экспонентпой от постоянной квадратной матрицы А называется матрица той же размерности, что и матрица А, которая обозначается через ел и определяется соотношением е =!+А+ — А + — А +... Матричный экспоненциал от А1 определяется аналогично и имеет следующий вид: елс = 1+ А1+ —, (А1) + —, (А1) +... Исходя из этого опредвления не трудно убедится, что справедливы следующие соотношения; дв 1,м до ~г лс А~ г л1 т.е. правило дифференцирования матричного экспоненциала такое же, как и правило дифференцирования обычной экспоненты е '. 14.

Управаявмасть объекта управввниа Лля матричного экспоненциала справедливы следующие операции; А — А ю — А ( А) — З Аю Аю А[[-[-ю[ Если А и В являются матрицами одинаковых размерностей, то в общем случае [9) А В~ В Л А В~ Аюн Только в том случае, когда АВ = ВА, справедливы равенства А В В А Л В А[В Когда в уравнениях (1.5) и (1.6) матрица А является постоянной, их фундаментальной матрицей является матричная экспонента еяю, и ре[пенис неоднородного уравнения (1.5) при начальном условии х(0) = х принимает вид *[В = с"'(*',- /.-"'[В[ [ [ [ЮС[ [[[ [[Ю ).

[ЮАЮ[ ю 1.4. Управляемость объекта управления Одним из фундаментальных понятий в теории автоматического управления является управляемость. Лля определения этого понятия рассмотрим управляемую систему (объект), которая описывается уравнением х = Дх, и, 1), х с Лв, и с Л', (1.11) где х --- вектор состояния, и --- управление (вектор управления). Управление ц = ц(ю) = (и~(1) из(г) ... и,(ю))т называется кусочно непрерывным, если все его компоненты и[(ю) являются кусочно непрерывными. Кусочно непрерывные управления называют [юапу[э тимыми.