И.М. Гельфанд, С.В. Фомин - Вариационное исчисление, страница 8

Потребуем теперь, чтобы провариированная кривая у, [х) = у [к)+3.у+3.,у удовлетворяла условию КЬ1=К Ь[ ЬК можно представить в виде, аналогичном [3). Таким образом, получаем бК=КЬ [ — КЬ[= =~~0,— „— "0,,~ + е', ~ о, + ~ ~0 — — „0,~ + е,'~ о, = О, [4) о -ьО. Выберем теперь точку хз так, что ~0,— „— "0,~, О где е,, е' — ьО при а, *) См. замечание на стр. Зб.

1[оказательство. Пусть кривая у=у[х) дает экстремум функционалу У[у] при условии, что К[у[=1. Возьмем в интервале [а, Ь[ две произвольные точки х, и х, и приладим у[х) приращение гь [х) = Зюу+ й,у, отличное от нуля лишь в окрестностях этих точек. Соответствующее приращение аэ' функционала У можно представить в виде *) 50 оеовщения пвостейшей задачи, тсловный экствемтм (гл, и Такая точка существует, так как по условию у=у(х) не является экстремалью функционала К.

При таком выборе точки ха условию (4) можно придать вид ~О,— „—" О,,~ (5) а где е'-+0 при аа — ь0. Положив и Л— (6) ~О,— „— 'О,,~ и подставив в формулу (3) для Ывместо а выражение (5), получим бу=('(Р— „— Р ~ +Л~΄— „— О„~ ) а,+ва,. (7) что и требовалось доказать. Полученный результат используется при решении той или иной изопериметрической задачи следующим образом. Составив дифференциальное уравнение (7), находим его общее решение, которое будет содержать параметр Л и еще две произвольные постоянные. Эти три величины определяются из граничных условий у(а) = А, у(Ь) = В и условия К (у] = 1. Все сказанное выше непосредственно обобщается на случай функционалов, зависящих от нескольких функций и нескольких связей вида (1).

Именно пусть. ищется экстремум функционала ь Х(ун ..., у„) =У Г(х, у,, у',) 'х (8) а Ю при условиях ус (а) = Аю уг (Ь) = Вг н ь ~ О (х, ун у',.)г(х=1 (1=1, 2, ..., п), (9) Первое слагаемое справа представляет собой глзвную линейную относительно Ь(х) часть оУ, т. е. вариацию функционала 7. Так как равенство вариации нулю есть необходимое условие экстремума и так как а, отлично от нуля, то й 10] нзопеРиметРическАЯ зАдАчА. Условный экстРемУм 51 В этом случае необходимым условием экстремума будет (11) (с=1, 2, ..., п).

2и произвольных постоянных, входясцих в решение этой системы, и значения й параметров Л,, ..., Л„определяются из граничных условий (9) и условий (10). Доказательство для этого общего случая по существу не отличается от изложенного выше, и мы не будем его приводить. 2. В изопериметрической задаче дополнительные условия, которым должны удовлетворять функции ун ..., у„, имеют вид (10), т.

е. задаются с помощью функционалов. Сейчас мы рассмотрим задачу несколько иного типа, а именно: Найти экстремум функционала ь ~ Р(х, ус, у'с)лгх, а причем допустимые функции удовлетворяют граничным условиям у,(а)=Ас, у (Ь)=Вс (1=1 ° 2 ° ") и сс условиям связи вида йС(х, у,, ..., у„)=0 (1=1, 2, ..., Й), (12) Иначе говоря, функционал (8) рассматривается здесь не на всех кривых, удовлетворяющих граничным условиям (9), а только на тех из них, которые лежат на некотором и — й-мерном многообразии. Эта вариационная задача называется задачей Лагранжа, или задачей на условный экстремум. Ограничимся для простоты записи случаем и=2, й=1, т. е.

будем искать экстремум функционала Ь ~ с"'(х, у, г, у', г')с(х я на пространственных кривых у = у (х), г = г (х), принадлежащих фиксированной поверхности й (х, у, г) = О. (14) Решение этой задачи дается следующей теоремой. 52 озовшкния пгостзйшвй задачи. тсловный зкстзвмям (гл. и Теорема 2. Если кривая у=у(х), г=г(х) (15) дает условный экстремум функционалу (13) в классе кривых. лежащих на поверхности я (х, у, г) = О, причем ни в одной ее точке д и о«не обращаются в нуль одновременно, то существует такая функция Л(х), что кривая (15) является экстремалью функционала ь ~ (Р+Л(х) о') йх, а (16) т. е. удовлетворяет дифференциальным уравнениям Е,» Ля,— „— Р,=О, Р«+Лх'« — „— Р« =О.

(17) Доказательство. Пусть у = у (х), г = г (х) — кривая, реализующая экстремум функционала (13) при указанных условиях, а у = у(х), г = г(х) — близкая к ней допустимая кривая*). Пусть, далее, функции Ву(х)=у — у и 3«(х)=г — г в,= ~ Зу йх, от — — ~ 3«йх. Так как у= у(х), г=г(х) — допустимая кривая, то ь Х~ / (й(х, у. г) — а(х. у, г)» йх = )г (д„йу+Ы ) й = а Х 1О оь+д» О аэ+е = О, (18) где е, — величина выше первого порядка малости по сравнению с а, и о . *) Существование таких кривых вытекает из теоремы о неявных функциях.

Действительно, если, например, з данной точке я, ~ О, то е окрестности этой точки « есть функция от х н у, поэтому, задав в втой окрестности у как функцию х, мы можем определить из уравнения е(х, у, «) = О и « как функцию х. отличны от нуля лишь в малой окрестности (х, х,) некоторой точки хО>, лежащей между а и Ь.

Положим й 1О] изопеРиметРическАЯ ЭАЕАчА. Условный экстРемУм 53 Предположим, что из коэффициентов при е, и е хотя бы один, например д„ отличен от нуля. Тогда Ку 'з= — — ' +'а лг Воспользовавшись равенством (18), мы можем представить приращение бу=(Ä— ~ су )~ ~,+(à — ~ )ч )~ а + Х=Х ' г=г01 функционала (13) в виде (~У ~У ( г ~г')) Е1+Е4 к=г (ет, а,, а4 — величины порядка выше первого относительно сг). Для того чтобы имел место экстремум, необходимо, чтобы главная линейная часть этого приращения равнялась нулю.

Таким образом получаем или Р— — Р, г Лх г' (19) А" у А'г Вдоль рассматриваемой кривой у=у(х), г=г(х) общее значение отношений (19) есть некоторая функция от х. Обозначив ее ),(х), мы и приходим к уравнениям (17). Теорема доказана. Замечание 1. Отметим без доказательства, что установленная выше теорема остается в силе и в том случае, когда за допустимые линии принимаются гладкие пространственные кривые, удовлетворяющие дифференциальному уравнению г) д(х, у, у', г, г') = О.

(20) Точнее говоря, если кривая Тз дает экстремум функционалу 7 при условии (20) и если вдоль 7 производные д, и Аг, не обращаются У в нуль одновременно, то существует такая функция ).(х), что тз является интегральной кривой системы Н ф — — ф =0, лх ') В механике условия вида (20), т. е. содержащие производные, называются неголононнымн связями, а условия вида (14) — голономными связямн.

54 овоюцвния пгостзйшай задачи. тсловный зкстгзмтм [гл. и где Замечание 2. Задачу Лагранжа можно рассматривать в некотором смысле как предельный случай изопериметрической задачи. Действительно, если мы предположим, что условие (14) выполняется не всюду, а лишь в некоторой фиксированной точке з (хо у я)=0 то мы получим условие, левую часть которого можно рассматривать как функционал от у, г, т. е. условие того типа, который участвует в изопериметрической задаче. Таким образом, условие (14) можно рассматривать как совокупность бесконечного множества условий типа функционала.

В изопериметрической задаче, как мы видели, число множителей Лагранжа Л,, ..., Л„равно числу условий связи. В задаче Лагранжа, в соответствии с только что сказанным, появляется функция Л(х), т. е. свой множитель Л в каждой точке х. П р и и е р ы 1. Найти кривую в верхней полуплоскости, проходящую через точки,( — а, 0) и (а, 0), имеющую заданную длину 21(1 ) а) и охватывающую вместе с отрезком [ — а, а] максимальную площадь. Р е ш е н и е. Мы ищем функцию у = у(х), для которой а С(у)= / [' 1+у' Нх=21, у( — а)=у(а) =О, о а а интеграл У(у) = ~ у г]х принимает максимальное значение.

Мы имеем, -а таким образом, изопериметрическую задачу. В соответствии с изложенным выше составляем функционал а У(у)+ЛУ,(у) = / (у+Л)' 1+ у')~Ух й и пишем для него уравнение Эйлера Фх [У1+ ж отсюда находим х+Л У =Си У1+у'* $10) изопвгимзтгическля злдлчл. хсловный экстгемям 55 Интегрируя, получаем уравнение (х — С,)в+(у — Са)я = )у семейства окружностей.

Значения С,, С и Л определяются из условий у( — а)= =у(а)=О и условия Е(у) =21. 2. Из всех кривых, лежащих на поверхности хт+уз+ха=аз и проходящих через две заданные точки (х, уз, гв) и (хп уп г,), найти ту, которая имеет наименьшую длину. Р е ш е н и е. Длина кривой записывается интегралом / ~1+у' +г' ах. Ко Составляем вспомогательный функционал к, / (~1+у" +г' +Л(х) (ха+уз+ге)) Их Хо и пишем соответствующие уравнения Эйлера / 2Л(х) ° у — — „У = О, У)+у*+ " 2Л (х) ° г — — „ г' = О. у'1+ у" + "* Решая эти уравнения, мы получим семейство линий, зависящее от четырех постоянных, значения которых определяются из граничных условий у(х ) = у, г(х ) = г и у (х ) = уп г(х ) = гп 3 а м е ч а н и е 3. Задачу на нахожаение условного экстремума функции нескольких переменных можно, как известно, свести к задаче на безусловный экстремум, выразив переменные, на которые наложены связи, через соответствующее число независимых переменных.