И.М. Гельфанд, С.В. Фомин - Вариационное исчисление, страница 7

Сам функционал (1) от добавления к нему какого-либо полного дифференциала изменится, очевидно, на некоторую постоянную величину*), В 8. Вариациоииые задачи в параметрической форме До сих пор мы считали, что кривые, на которых определен тот или иной функционал, заданы своими явными уравнениями, например, в плоском случае уравнениями вида у = у (х). (1) Часто, однако, удобнее считать, что эти кривые заданы в параметрической форме.

Фактически мы уже встречались с этим положением в последнем примере предыдущего параграфа, рассматривая *) Из сказанного выше видно, что две различные функции Р, н Ра могут определять один и той же функционал, т. е. может оказаться, что ь ~ Р,(х, у„у';) дх= ~ Рт(х, ун у,) дх а для всех допустимых кривых, хотя Р, (х, уь лг) ф Ра(х, уь л;). Если говорить о восстановлении функционала (а не фуйкции Р) по левым частям уравнений Эйлера, то этот функционал находится однозначно с точностью до произвольного постоянного слагаемого (аналогично тому, как функция л переменных восстанавливается по ее полному дифференциалу с точностью до произвольного постоянного слагаемого).

44 ововщвния пгоствйшяй задачи. гсловный экстгвмям [гл. и геодезические линии на поверхности. В этом параграфе мы, ограничиваясь простейшей задачей вариационного исчисления, перенесем полученные ранее результаты на случай параметрического задания кривых. Предположим, что в функционале у [у] = ~ Р(х, у, у')ггх а (2) / Ф (х, у, —, — ) ~И = / Ф(х, у, х, у) И.

а *) То есть оиа удовлетворяет условию Ф (х, у, Ах, лу) = аФ (х, у, х, у) при всяком я > О. мы хотим аргументом считать кривую, заданную не в виде у=у(х), а в параметрической форме х = х (1). у = у (~). (3) Тогда функционал (2) запишется в виде У= / Г(х(~), у(~), У )х(~)Н= / Ф(х, у, х, у) Л (4) х (г) (точка означает дифференцирование по ~), т. е. в виде функционала, зависящего от двух неизвестных функций х(Г) и у(~). Функция Ф, стоящая здесь под знаком интеграла, положительно однородна первой степени относительно х(1) и у(~) ") и не содер- жит Е явно.

Обратно, пусть дан функционал [ Ф(х, у, х, у)Ж, где подынтегральная функция Ф не зависит от 1 явно и является положительно однородной первой степени относительно х и у, Пока- жем, что значение такого функционала зависит лишь от кривой (в ппос- кости (х, у)), определяемой параметрическими уравнениями х = х(1), у = у(1), а не от самих функций х (1) и у((), т. е. если перейти от ~ к какому-либо новому параметру т, положив г=Х(т) то будет иметь место равенство $81 ВАРнхционныв 3АдАчи в плвдмвтгичвской ФОРме 45 Действительно, воспользовавшись однородностью функции Ф по х и у, получаем / Ф (х, у, — „-, — '„) йт = / Ф (х, у, х —, у — ) ат = = / Ф (х, у, х.

у) — „йт = / Ф(х, у, х, у) йс, йс что и требовалось. Итак, мы получили следующий результат. Для того чтобы значения функционала / Ф (г, х, у, х, у) И зависели только от кривой, определяемой в плоскости (х, у) параметрическими уравнениями х = х (г), у = у (г), но не от выбора ее параметрического представления, необходимо и доста- точно, чтобы подынтегральная функция Ф не зависела от ь' явно, а по отношению к х и у была бы положительно однородной функцией первой степени однородности.

Если мы функционал (2) приведем с помощью того или иного параметрического представления кривой у=у(х) к виду ц / Р(х, у, У ) хйг = / Ф (х, у, х, у) йс, б х то лля функционала (2) мы можем написать два уравнения ььл ра: Ф вЂ” — Ф ° =О, Ф вЂ” — Ф =О. х,ц х ' у ат у Эти два уравнения должны быть эквивалентны одному уравнению отвечающему функционалу (2), и следовательно, не могут быть независимы.

Действительно, легко проверить, что они связаны тождественным соотношением х(Ф вЂ” — Ф )+у(Ф вЂ” Ф ° )=О, К этому вопросу мы еще вернемся в гл. ЧП. Задача. Написать условия независимости от выбора пзрдиегра дая функционала / Р(г, ус(С), у, (С)) йй т. е. для функционала, заданного на кривых п-мерного пространства. 46 оговщения пгостайшвй задачи. гсловный экстгвмгм (гл.

и 9 9. Функционалы, зависящие от производных высших порядков До сих пор мы рассматривали функционалы вида ь ~ Р(х, уо у',.) с(х, е зависящие от у, и их первых производных. В ряде задач, например в теории упругости, встречаются функционалы, для которых подынтегральное выражение содержит производные от искомой функции не только первого, но и более высоких порядков. Изложенные выше методы нахождения экстремумов функционалов (в рамках необходимых условий) могут быть перенесены без существенных изменений на этот более общий случай. Для простоты записи мы ограничимся случаем одной неизвестной функции.

Итак, рассмотрим функционал вида г'(у) = ) гч(х, у, у', ..., у<">)с1х а и поставим для него следую>цую задачу. Среди всех кривых у=у(х), принадлежащих пространству Р„ на отрезке [а, Ь) (см. Э 2) и удовлетворяющих условиям у (а) = Аэ, у' (а) = А,, ..., уы-'> (а) = А„,, у (Ь) = В, у'(Ь) = В,, ..., у'"-'> (Ь) = В„,, (2) й (а) = й' (а) = ... = йш (а) = О. 1 й(Ь)=й'(Ь)= ... =й'" н(Ь)=О. 1 (3) найти ту, вдоль которой интеграл (1) принимает экстремальное значение.

При решении этой задачи будем исходить из общей теоремы, установленной в э 3 гл. 1: для того чтобы функционал У(у) достигал экстремума, необходил>о, чтобы его вариации обращалась в нуль. Вычислим вариацию функционала (1), понимая под вариацией функционала (1) главную часть его приращения, линейную относительно й(х)(т. е. вариации у(х)) н ее производных й'(х),..., йы '> (х), Для того чтобы провариированная функция у(х)+й(х) тоже удовлетворяла граничным условиям (2), нужно, очевидно, предположить, что ф 9) еункционллы, зависящие от пгоизводных высших поуядков 47 Имеем (у+ ) — (у)=Г~ (' + '+'."' 'ю+ 'ю)— ь — <е(х, у, у, ..., у<Ю)] «х— ь — ~ (У' И+Р,й~+ +Р И<ю)«х+ ..., а где многоточие означает совокупность членов, имеющих порядок выше первого относительно И, й', ..., й< ~.

Следовательно, выражение 1ЯИ+Г„,й + ... +Г,оой<ю) <7х и есть вариация функционала (1). Таким образом, для экстремума необходимо ь 37= ] (Р й+Гу И'+ ... +<е <Юй<Ю)«х=О. (4) а Отсюда с помощью интегрирования по частям, используя граничные условия (3) для И(х), получаем ь <<ь Ль Ы ~ (Ру Ру + ь < у~ +( 1) ь < ' <ь))й (х)<(х — О а Л еу Ль ~у —,—, ~у'+ — ь Ру. — ...

+( — 1)" ~ „Ру<ю — О. (6) Уравнение (6) называется уравнением Эйлера — Пуассона. Оно представляет собой дифференциальное уравнение порядка 2п и, следовательно, его общее решение содержит 2п произвольных постоянных. Значения этих постоянных могут быть определены из краевых условий (2). 3 а м е ч а н и е. Приведенный выше вывод уравнения Эйлера— Пуассона не вполне строг, так как переход от (4) к (5) с помощью интегрирования по частям предполагает существование производных г ил д— „~'у" " — „° й',<ю. (7) (5) для любой функции й(х), имеющей и непрерывных производных и удовлетворяющей условиям (3). В силу леммы 1 9 3 отсюда следует, что 48 ововщвния пгостзйшвй задачи. тсловный экстгвмтм [гл, и Можно, однако, несколько усложнив рассуждения, доказать, что из (4) вытекает уравнение (6) и без этих дополнительных предположений (при этом само существование производных (7) также доказывается, ср.

с леммой 2 й 3). ф 10. Изопериметрическая задача. Условный экстремум 1. В простейшей задаче вариационного исчисления, которую мы рассматривали в гл. 1, класс допустимых линий, помимо тех или иных требований гладкости, определялся условиями, задаваемыми на концах этих линий. Однако ряд приложений вариационного исчисления приводит к задачам, в которых на допустимые кривые, кроме граничных условий, накладываются условия совсем иного типа. Рассмотрим в качестве примера так называемую изопериметрическую задачу.

Эта задача формулируется следующим образом. Среди всех кривых, удовлетворяющих условиям у (а) = А, у (Ь) = В, на которых функционал К(у)= ~ 0(х, у, у') с1х е принимает заданное значение 1, найти ту, для которой другой функционал (у)=Х ( ') ° (2) достигает экстремума в). При решении этой задачи мы предположим, что функции О и Г, определяющие функционалы (1) и (2), имеют непрерывные производные первого и второго порядков при а (х.(Ь и при произвольных значениях у и у'. Кроме того, мы предположим, что искомая кривая не является экстремалью функционала (1). Решение поставленной задачи дает следующая Т е о р е м а *е) 1, Если кривая у = у (х) дает экстремум интегралу г'(у],= ~ Е(х, у, у') дх, а *) Первоначально под нзопериметрнческой задачей понималась следующая частная задача: среди всех замкнутых кривых, имеющих заданную длину, найти ту, которая охватывает наибольшую площадь. Отсюда и само название «изопериметрическая задача» (т.

е. задача с фиксированным периметром). *") Читатель легко обнаружит аналогию между формулируемой ниже теоремой и известным нз анализа методом множителей Лагранжа для условных экстремумов функций нескольких переменных. 9 1О[ изопвгимвтгичвскья задача. Условный зкстгвмтм 49 удовлетворяет условиям ь К[у[= [ 0[х, у, у')ах=-1, а у[а)=А, у(Ь)=В и не является экстремалью функционала (1), то существует такая постоянная )., что эта кривая у[х) является эктремалью функционала ь ~ [Р+),0)с[х. а аУ= ~[Гт — — Гэ~ +е, ~ а, +~[Р— — Рэ ] +ее~ вы [3) где ь ь о, = ~ З„,у с[х, вз = ~ З„,у с[х ив,, ее — ьб при о,, о — ьО.