И.М. Гельфанд, С.В. Фомин - Вариационное исчисление, страница 10

Так как Вх> и Вхо — независимые приращения, то отсюда получаем Р, ф +Р— у'Р,.1„„=О, сУ''т +Р— У РУ' 1к-к = О 62 основная еогмтлв для вавакин. подвижныв конць1 (гл. ш т. е. р+р,.(Ф вЂ” у)~,, =о, р+р, (т' — у')1„, =О.

Эти граничные условия называются услоеиялви трансаереальности. Про кривую у = у(х), удовле- У фют творяющую этим условиям, гововч ар рят, что она трансвереалвна ~ Л)) кривым е(х) и ф(х). Итак, для решения вариацион! ! 1 ! ной задачи с подвижными кон- 1 1 $ 1 1 ! цами нужно сперва написать и ре- 3 шить соответствующее уравнение х«хе+и ' х храв; х Эйлера, а затем найти значения входящих в его общее решение двух произвольных постоянных из условий трансверсальности.

В вариационных задачах часто встречаются функционалы вида Рнс. 5 «, ~ ~(х, у) 1' 1+у' г(х. «о Для них условия трансверсальности выглядят особенно просто. Действительно, в этом случае ~у' — «(х у),2 ' у У'1+ у' '+ У' (4) и следовательно, условие трансверсальности принимает вид р+ р,. (ф — у ) = ""+ У т ' = О, 1+у откуда 1 у = — — ' ф 7 аналогично на втором конце 1 У = т. е. для функционалов вида (4) трансверсальность сводится к ортогональности.

Можно рассматривать задачу с подвижными концами и для функционалов, зависящих от нескольких функций, например, в случае двух функций эту задачу можно сформулировать так: Среди всевозможных кривых, концы которых лежат на двух фиксированных поверхностях х = у(у, г) и х = ф(у, г), найти ту, й 13] не ГлАдкие экстРемАли. УслОВБЯ ВейеРштРАссА — эРдмАнА бЗ которая дает экстремум функционалу ~ Р(х, у. г. у', г')ь(х. х, Воспользовавшись обшей формулой для вариации (8) (при и = 2) и проводя те же самые рассуждения, что и в случае одной неизвестной функции, получаем, что функции у (х) и г(х), определяющие искомую кривую, опять-таки должны удовлетворять уравнениям Эйлера д РУ РУ вЂ” О лх л ххРЬ'=О, дх а в концевых точках должны выполняться условия Ру + — т(Р— у'Ру ду Р,.+ —,(Р— у Р, дт — Р,)! — г'Р, )! х=х, — Р.)( х=х, — Р,)~ =О, дй Р, + — (Р— у'Р, ду Р,+ д (Р— у'Р дф =О, =О, которые также называются условиями трансверсальности.

й 13. Случай не гладких экстремалей. Условия Вейерштрасса — Эрдмана является дважды непрерывно дифференцируемой функцией, если производная Р (х, у(х),у'(х)) не обращается в нуль. Существуют, однако, вариационные задачи, в которых экстремум достигается на кривой, являющейся лишь кусочно-гладкой. Примером таких задач может служить рассмотренная нами в й 4 задача о нахождении кривой, проходящей через две заданные точки (х, уе), (х,, у,) и образующей при своем вращении вокруг оси х поверхность возможно меньшей площади. В $ 4 мы показали (теорема 2), что экстремаль у = у(х) функ.

ционала Ь ~ Р(х, у, у') Г(х Ь 64 основная еоумулл для влуилции. подвижные концы [гл. ш Действительно, как уже указывалось в й 4, если две заданные точки (хз, уе) и (х,, у,) расположены так, что уе и у, достаточно малы по сравнению с х,— хе, то кривая, представляющая собой решение этой задачи, состоит из отрезка (х, х,) на оси х и двух вертикальных отрезков. Итак, рассмотрим задачу о нахождении экстремума функционала (1), считая, что допустимые кривые удовлетворяют граничным условиям у(а)=А, у(Ь)=В и могут иметь излом в некоторой точке с(а ( с (Ь). (В силу упоминавшейся выше теоремы 2 э 4 излом возможен лишь там, где В =О) На каждом из отрезков [а, с[ и [с, Ь[ та кривая, на которой функционал [ Г(х, у, у') Их а достигает экстремума, удовлетворяет уравнению Эйлера Представим рассматриваемый функционал в виде суммы двух функционалов У[у[= ~ Г(х, у, у)г(х= а а О = / Р(х, у, у) г(х+ / Г(х, у, у) Нх=.l, [у[+у [у[ и вычислим вариацию для каждого из этих двух функционалов в отдельности.

На каждом из отрезков [а, с[ и [с, Ь[ граничные условия состоят в том, что один конец допустимой кривой закреплен, а другой свободен. Поэтому, принимая во внимание уравнение Эйлера, получаем с помощью формулы (3) $ 12, что ЬУ =Ру'! ЬУ +(Р— У Гу')! ОЬхы 2 У [к-а+О У1 ( У У )[к-а+О хн Если имеет место экстремум, то Ьу=6У,+34=0, т.

е. ( У'[к-а-Π— "У [к=кто) У,+ + [(Р— У'Р.,)! „,, — (Р— У'РУ ) !...1 Ох, = О, $13] нв ГлАдкив экстРВМАли. услоВНН ВвйвРштРАссА — эРдмАнА 65 откуда в силу произвольности оу! и Ох! получаем Р] — Р! =О, У' У=с вЂ У у=с+О (") (р — у р,) ~„,,— (р — у р,)]„„,=о. На каждом из двух отрезков ]а, с] и ]с, Ь] экстремаль у(х) должна удовлетворять уравнению Эйлера, т. е.

дифференциальному уравнению второго порядка. При решении этих двух уравнений получаются четыре произвольные постоянные, которые находятся из граничных условий у (а) = А; у (д) = В и условий (ь) в точке излома, называемых условиями Веберштрасса— Эрдмана. Эти условия выглядят особенно просто, если воспользоваться введенными в й 1! каноническими переменными р = Гу и гт'= — Г +-у'Р . Действительно, условия Вейерштрасса — Эрдмана просто означают, что канонические переменные должны быть а точке излома непрерыены. Условия Вейерштрасса — Эрдмана (*), которым должна удовлетворять экстремаль в точке излома, допускает следующую геометричеу скую интерпретацию.

Фиксируем х и у и будем на одной из координатных осей откладывать значения у', а на другой — значения р(х, у, у'). Мы получим некоторую кривую, изображающую Р(х, у, у') как функцию от у'. Тогда первое из условий (*) означает, что касательные к этой кривой в точках у'(с — 0) и у'(с +0) параллельны между собой, а второе из этих условий, которое можно переписать в виде "]с-Π— "]с,.О='"У У'~с+а означает, что этн две касательные не только параллельны, но даже совпадают.

Одновременно здесь получается и наглядная интерпретация условия Гу „ чь О, исключающего возможность излома экстремали. Действительно, если, например, функция Р такова, что Ру у .ь О, то экстремаль не может иметь излома, так как при этом условии кривая, изображающая зависимость Р от у', выпукла н касательные к ней, проведенные в двух разных точках, не могут совпадать (ср. с теоремой 2 й 4). 3 а д а ч а. Найти кривую, проходя!цую через точки ( — 1, 0) и (1, 1) и дающую минимум функционалу ! у2(1 ус ]с(, ° — 1 ГЛАВА 1У КАНОНИЧЕСКИЙ ВИД УРАВНЕНИЙ ЭЙЛЕРА. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ. УРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА в ЯКОБИ Как было отмечено еще во введении, многие физические закономерности выражаются в экстремальных свойствах некоторых функционалов. В этой главе мы рассмотрим применение методов вариационного исчисления к вопросам классической механики системы конечного числа материальных точек.

Мы увидим, например, что траектории некоторой механической системы в фазовом пространстве, описывающие эволюцию этой системы с течением времени, можно находить как экстремали некоторого функционала. С помощью вариацнонного исчисления можно также указывать те величины, связанные с данной физической системой, которые при эволюции рассматриваемой системы не меняются с течением времени.

Этот круг вопросов и составляет основное содержание настоящей главы. В первых параграфах этой главы вводится важное для дальнейшего понятие канонических переменных и излагается приведение уравнений Эйлера к каноническому виду. С содержанием этой главы тесно связано Дополнение 1, в котором содержится другой независимый вывод канонических уравнений и уравнения Гамильтона — Якоби, а также их геометрическая интерпретзция.

й 14. Канонический вид уравнений Эйлера. Первые интегралы 1. Уравнения Эйлера отвечающие функционалу ~ Р(х, ун у,')с1х, зависящему от и функ- я Э 14) канонический вид кглвнвний эйлвгл, пагвыв интвггллы 67 ций, образуют систему и уравнений второ~о порядка. Такую систему можно, и притом различными способами, свести к системе 2п уравнений первого порядка; например, можно принять ун ..., у„ за и новых неизвестных функций и рассматривать системуэ) г Аг„,— «' йу« и'х (2) С их помощью мы получили компактное выражение для вариации функционала, а также (й 13) наглядную интерпретацию условий Вейерштрасса — Эрдмана.

Однако особенно ясной становится их роль именно в связи с канонической формой уравнений Эйлера. Выразив из равенств =«« (4) « « величины уо ..., У„через х, у,, ..., У„и ры ..., р„, мы можем величины Х у! ° ул Р! ° ° Ря принять за новые переменные вместо прежних переменных « « х, уп ..., у„, у«, ..., у„. Именно эту замену переменных мы и сделаем в уравнениях Эйлера (2).

Одновременно функцию Г(х, у,, у'.), входящую в уравнения Эйлера, « ь) Таким образом, здесь (и далее в этой главе) под у; будут пониматься новые переменные. Было бы правильнее, чтобы не смущап, читателя, вместо у«писать яг Мы будем, однако, пользоваться общепринятыми обозначениями, а в тех случаях, когда речь будет идти именно о производной некоторой функции уь мы будем подчеркивать это, пользуясь обозначе«гу! ннем —, а не у. ««х ' где у„..., у„, у,', ..., у' — неизвестные функции, а х — независимое переменное. Мы получим, однако, для уравнений Эйлера гораздо более удобную и симметричную форму, введи вместо х, у,, ..., у„ другую систему переменных — так называемые канонические переменные. В й 11 при выноде основной формулы вариации функционала мы ввели следующие величины: КАНОНИЧЕСКИЙ ВИД УРАВНЕНИЙ ЭЙЛЕРА [гл.