И.М. Гельфанд, С.В. Фомин - Вариационное исчисление, страница 12

Для этого заметим прежде всего, что определяемый формулами (11) и (11') переход от функции Р' переменных х, у, у' к функции Н переменных х, у, р инволютивен, т. е., проделав преобра зование Лежандра для Н, мы .снова вернемся к функции Р(х, у, у') Действительно, так как д) дН = — — дх — — г[у + у' др, др др дх ду то дН =У ° др поэтому — Н+Р др =Р— Ру'+ру'=Р дН (15) Докажем теперь эквивалентность вариационных залач (10) и (12). Это будет доказано, если мы покажем, что минимум /[у, р[ по р при фиксированном у есть у [у]. действительно, тогда минимум у[у, р] при изменении как р, так и у будет совпалать с минимумом /[у], Докажем, что ш!п 7[у, р]=У[р]. Так как У[у, р] не содержит р', Р то для нахождения минимума 7[у, р] лостаточно найти минимум подынтегрального выражения в кажлои точке, т.

е. положить [ — Н+ ру']=О. д др Отсюда дН др *) См, формулэ (7) предыдупгего параграфа, в котором у и р рассматриваются как две независимые функции, а у' есть производная от у. Этот функционал совпадает, очевидно, с исходным функционалом (10), если за р взять выражение (11). Напишем для функционала (12) уравнения Эйлера. Получим — — — — =О, — + — =О.

(13) дН др дН ду ду Их ' др ~их 76 канонический вид твавнвний эйлата [гл. ш Ио тогда, согласно (16), дН вЂ” И+р — =Р, др и значит гп!ну[у, р[=.![у[. Итак, эквивалентность вариационных задач (10) и(12), а следовательно, н отвечающих им уравнений Эйлера (14) и (13) доказана. Мы рассмотрели функционалы, зависящие от одной функции.

Те же рассуждения остаются в силе и в случае и функций. П р и и е р.' Рассмотрим функционал ь [' (Ру' +!',!уа)п'х, ь (16) и= Ру * — д)Р, где Р н Я вЂ” функции от х. Йля него р= 2Ру', откуда и аут р' 4Р Соответствующие канонические уравнения имеют вид лР 2() ~~У Р Лх ' Лх 2Р ' Уравнение Эйлера в обычной форме для функционала (16) имеет вид 2у() — — „, (2Ру ) = О. ч 3.

Рассмотрим теперь следующий вопрос: при каких преобразованиях переменных канонические уравнения Эйлера сохраняют свою каноническую форму? В конце первой главы мы показали, что уравнение Эйлера Р— — Р =0 и' т лх Г,= 1',(у!, р, х), Р =Р;(ун рп х), (17) инвариантно по отношению к преобразованию координат, т. е, переходу от переменных х, у к любым другим переменным [=[(х), 'Ч = '4(у). При этом у' в функционале заменяется на — „.

Этим свойством инвариантности обладают и канонические уравнения Эйлера. Однако в силу той симметрии, которая имеется в канонических уравнениях между переменными р, и ун здесь замену переменных можно понимать в более широком смысле, а именно как переход от переменных у,, р! к новым переменным $.15) пгеоввлзование лежандга, канонические пвеоввлзования 77 (т. е. Р,. преобразуются по собственным формулам, не зависящим от того, как преобразуются переменные у~).

Однако не при любой замене (17) канонические уравнения сохранят свой вид. Посмотрим, какие условия нужно наложить на функции (17) для того, чтобы в новых переменных уравнения Эйлера снова имели канонический вид, т. е. чтобы эти новые переменные удовлетворяли уравнениям Н'~ дй дх дР~ ' дР; дй их сИ'~ ' (18) где Й=Й(х, Ун Р) — некоторая новая функция. Те преобразования вида (17), которые сохраняют канонический вид уравнений Эйлера, называются каноническими преобразованиями. Лля нахождения канонических преобразований воспользуемся тем, что канонические уравнения ду~ дН Нр~ дН их д1Ч ' дх ду~ (19) представляют собой уравнения Эйлера для функционала ь У(уп Р;1= пар,у,'— О)б . ч (20) в котором Р, и у,.

рассматриваются как 2п независимых функций. Мы хотим, чтобы новые переменные г'1 и Р, удовлетворяли уравнениям (18) с некоторой функцией Н. Напишем тот функционал, для которого уравнения (18) служат уравнениями Эйлера. Это будет У(Уо Р,) = ~ Д Р~У~ — Й)йх. (21) Здесь У, и Р,— функции от х, Р, и уо определяемые равенствами (17), а у~ — производная от Уб таким образом, функционалы (20) и (21) представляют собой две различные вариационные задачи для одних и тех же переменных уо ро Мы требуем, чтобы новая система (18) получалась бы из старой системы (19) некоторой заменой переменных, т. е. была бы ей эквивалентна.

Это равносильно требованию эквивалентности между ва. риационными задачами (21) и (20). В гл. 1! (см. замечание в конце 9 7) было показано, что две вариационные задачи эквивалентны (т. е. имеют одни и те же экстремали), если подынтегральные выражения в соответствующих функционалах отличаются друг от друга на некотЬрый кАноннческнй Внд уРАВнений эйлеРА 78 [ГЛ. 1Ч полный дифференциал, т.

е. если и и ~~'., р!йу,— Нйх= ~~~ РР;йУ! — Ййх+йФ(х, ун р), (22) 1=1 1=1 где Ф вЂ” некоторая функция. Таким образом, если преобразование (!7) переменных х, ун Р, в переменные х, Ун Р; таково, что существует функция Ф, удовлетворяющая условию (22), то преобразование (17) каноническое. Определяемая *) условием (22) функция Ф называется производящей функцией данного канонического преобразования.

Покажем, что название «производящая функция» здесь действительно оправдано, а именно покажем, что по заданной производящей функции Ф можно найти соответствующее каноническое преобразование. Для этого перепишем равенство (22) в виде йФ:=,~'„', рг йуг — лчи Р! йУ!+(Й вЂ” Н) йх, откуда получаем *и) дФ Р,=— ду! ' Но это и есть соответствующее каноническое преобразование. Действительно, 2л+1 равенств (23) устанавливают связь между переменными (ун р;) и (У1, Рг), а также дают выражение для новой функции Гамильтона Й. Очевидно, что условие (22) при этом выполнено, т. е. преобразование (23) действительно каноническое.

Мы считали, что производящая функция задана как функция старых координат ун новых координат Уг и переменной х, т. е. Ф = Ф(у! У! х). Может оказаться удобным выразить производящую функцию не через у; и Ун а, например, через у, и Рн Для этого перепишем соотношение (22) в виде й (Ф+ ~ Р!У ) = — ~, р, йу!+~ч~ УгйР!+(Н вЂ” Н) йх.

дР.' Н= Н+ дг дат - дцг (24) д!й" Р ду! ' ') Как известно, функция определяется по ее полному дифференциалу однозначно с точностью до постоянного слагаемого; следовательно, если прн заданном преобразовании (17) функция Ф, удовлетворяющая условию (22), существует, то она единственна с точностью до постоянного слагаемого. 'и) Ф есть функция от хь у1, рь Мы можем, однако, пользуясь равенствами (17), преобразоват ее к переменным х, у1, 1'!.

Выражение Ф+~~Р~Р1У, (представленное как функция переменных х, у, и Р!) и будет новой производящей функцией. Обозначив ее %'(х, уо Рг), мы можем записать соответствующее ей каноническое преобразование в виде $ !6) 79 ТЕОРЕМА НЕТЕР Если производящая функция канонического преобразования не зависит от времени, то Й= Н, т. е.

в этом случае лля получения новой функции Гамильтона достаточно в Н подставить вместо у! и р; их выражения через У,. и Рп 3 а д а ч а. Проверить, что замена У~ = рь Р!= у; является каноническим преобразованием. Написать соответствующую пройзеодящую функцию. ь ф 16. Связь между инвариантностью интеграла ~ РЫх а и первыми интегралами уравнений Эйлера (теорема Нетер) В 6 14 мы установили, что система уравнений Эйлера, отвечающая функционалу ь 1 Р(У~ У!) ь!х ь (Р не зависит от х явно), имеет первый интеграл Н=Х у7 — Р Тот факт, что Р не зависит от х явно, равносилен, очевидно, следующему: если ввести новое переменное х', положив х*=х+а, (2) то функция Р, а следовательно, и интеграл (1) при этом не иаменятся.

Таким образом, Н является первым интегралом системы урана пений Эйлера в том и только том случае *), если функционал ~ Рг1х Я не меняется при преобразовании (2). л4ы покажем сейчас, что связь между первыми интегралами системы уравнений Эйлера и инвариантностью соответствующего функционала относительно некоторых определенных преобразований переменных х и у,, ..., У„существует и в общем случае. Уточним прежде всего само понятие инварнантности функционала относительно той или иной совокупности преобразований. ') Что Н будет первым интегралом только в том случае, видно из дН дН дН формулы — = —, полученной в $ !4, так как =О, лишь если дх дх ' дх — =О, др дх канонический вид тглвнкннй эйлвгл [гл, ш Пусть дан функционал Ь У Г(х. у,, у,') (х.

а Рассмотрим некоторое преобразование х'=~р (х, ун ..., у„), уг ='Рг(х уп ' у„) (3) в другую кривую Т*, уравнения которой можно получить, подставив в равенства (3), связывающие х, у, с х*, у,. вместо у,, ... у„ фУнкции тн(х), ..., л„(х), задающие УРавнениЯ кРивой Т, и исключив х из полученных таким образом и+1 равенств.

В результате этой операции мы получим п уравнений вида У*, = »1", (х*). которые и будут уравнениями кривой Т'. Функционал /!у! мы назо- вем инвариантным относительно данного преобразования, если У!Т)=У!Т ! т. е. Приведем простейшие примеры. 1. Функционал ь инвариантен относительно преобразования х' = х + с, у* = у. (4) Действительно, если кривая Т задана уравнением у= з)(х) (а (х.4д), точек п + 1-мерного пространства.