И.М. Гельфанд, С.В. Фомин - Вариационное исчисление, страница 9

Аналогичным образом обстоит дело и в вариацнонных задачах. Например, задачу о нахождении геодезических на некоторой поверхности можно рассматривать как задачу на условный экстремум (пример 2), но можно, представив координаты х, у, г как функции двух параметров, свести эту задачу к отысканию безусловного экстремума (см. конец $7). ГЛАВА 111 ОСНОВНАЯ ФОРМУЛА ДЛЯ ВАРИАЦИИ ФУНКЦИОНАЛА. ЗАДАЧИ С ПОДВИЖНЫМИ КОНЦАМИ ф 11. Основная формула для вариации функционала Выведем прежде всего общую формулу для вариации функционала к, ~ Р(х, ум «,') 1х. л, Начнем с того случая, когда рассматриваемый функционал зависит лишь от одной функции, т.

е. имеет вид ~ Р(х, у, у')ох; к, при этом, однако, в отличие от простейшей задачи, мы будем считать, что концы тех кривых, на которых определен этот функционал, могут сдвигаться произвольным образом. Все рассматриваемые кривые мы будем прелполагать гладкими, а расстоянием между двумя кривыми у(х) и у(х) мы назовем величину р (у, у) = шах / у — у (+ шах ( у' — у' )+р1пз, ра)+ р1пп р ), (2) где рз, рз и рп р, — левые, соответственно правые концы кривых у и у. Так как функции у и у определены, вообще говоря, на разных интервалах, то для того чтобы формула (2) всегда имела смысл, эти кривые нужно продолжить на интервал, содержащий те интервалы, на которых определены у и у, проведя, например, для этого касательные в конечных точках кривых (рис.

4). Определим вариацию функционала (1) как выражение, линейное относительно приращения л функции у и относительно приращений координат концов и отличающееся от полного приращения функционала У1у) на величину выше первого порядка малости по сравнению с расстоянием между функциями у и у+А. й 11[ ОснОВнАЯ ФОРмУлА длЯ ВАРиАции ФУнкционАлА о7 Обозначим координаты концов кривой у(х) через (хз, уз) и (х,, у,), а координаты концов провариированной кривой у + Ь через (хз+йхз, уз+Зуе) и (х,+йхн у,+йу,) соответственно. Рис.

4. Найдем явное выражение для вариации. Для этого сперва найдем приращение функционала 1[у[. Имеем е) ~ [У+ Ь[ — 7 [у[ = «,+ ьч х, / Р(х, у+Ь, у'+Ь')с(х — ~ Р(х, у, у')ггх = к, ~ [Р(х, у+Ь, у'+Ь') — Р(х, у, у')[сгх+ А «,+ах, х,+ах, + ~ Р(х, у+Ь, у'+Ь')с(х — ~ Р(х, у+Ь, у'+Ь')г[х.

Воспользовавшись формулой Тейлора и отбрасывая члены выше первого порядка малости, получим отсюда, что .7[у+Ь[ — х'[у[ / [Р„(х, у, у')Ь+РУ (х, у, у')Ь'[ ггх+ +Р(х у у)[г=к йхг Р(у у у)(г.» йхе= = / ~РР» Ру'~Ь (Х)Г(Х+РРЬ ~~~'+Р 1»-х йХ1 Р !»- ЬХЗ «ю *) Нас не должно смущать, что в подынтегральные выражения здесь входят функции, определенные на разных интервалах. Мы ведь условились продолжать ил, например, с помощью линейной экстраполяции! 58, основная оогмглл для вавилции, подвижныв концы (гл. ш где означает равенство с точностью до величин порядка выше первого относительно р(у, у+й).

Но, как это ясно из рисунка 4, й (хо) оуо — у' йхо, й (х,) Зу, — у' йх, (3) (где опять-таки означает равенство с точностью до бесконечно малых порядка выше первого). Поэтому окончательно ок'= / |Рг — — „Р 1Ь(х)ог.х+Р )„~ Зу + + (Р Руу )!к=х, йхг Ру' 1х=х,йуо (Р Ру у) ) х,йхо (4) Мы получили общую формулу вариации для функционала, зависящего от одной функции.

Она содержит в качестве частных случаев фор- мулу вариации для аадачи со свободными концами (в этом случае йхо=йх,=О) и формулу вариации для простейшей задачи (в этом слУчае охо = йх, = 0 и ЬУо = 5У, = О). Найдем тепеРь ваРиацию функционала х, /(у) =~Р(х, у„у',) (х, (5) х, зависящего от и функций у,, ..., у„, причем опять-таки для этих функций никаких условий на концах ставить не будем. Поскольку всякую систему п функций можно интерпретировать как кривую в и+ 1-мерном пространстве, функционал (5) можно рассматривать как определенный на некотором множестве кривых в пространстве размерности п + 1. Вариацию функционала (5) мы определим как главную линейную (относительно всех приращений йг(х) функций у,(х)) часть прираще- ния функционала. Найдем сперва это приращение: к,ток, к, йз = ~ Р(х, у,.+й,, у,'.+й,') о(х — ~ Р(х, у,, у',.) ~1х= «,кок, к, [Р (х, у,.

+ й,, у',. + й',.) — Р (х, у, у',.)1 о(х+ х, х чок, хр ч-охо + ~ Р(х, у,+й,, у,'.+й,'.)огх — ~ Р(х, у,+йм у',+й,')о(х. (6) к, Главную линейную (относительно й~) часть этого приращения можно, воспользовавшись формулой Тейлора, представить в виде к~г л И Г(ак„ж,-~-дк,к1~ ок~„„ь,— к~,,~м,. <о к, ! г 5 111 основная еогмтлл для злвиации етнкционалл Интегрируя здесь слзгаемые, содержащие лн по частям, получим, что приращение функционала (5) с точностью до бесконечно малых порядка выше первого равно к л л ~ ~ (г — — „" г !)А,(~) а~+ г ~ ь, +'~', г,й, ~ к, к=к,; ! ' к=к, л Р ~ 8 х к ~~ Р 6 к=к, ! ! ' к=к, Обозначим йую приращение координаты у! на одном из концов кривой, а йуп — приращение координаты у, на другом конце.

Аналогично случаю функционала, зависящего от одной функции, получаем Ьую л!(хз)+ у',(х ) йх, Ьу!! л!(х,)+у',(х,) Ьхг Поэтому мы можем окончательно написать к л =ГХ("„— А",;) (.) "+ л / л +~~)!~ь., йу + ~Р— ~ у,'Г ~ ~ 3х!— Му уы ! ! !=! ! ~к=к, к=к, л / л — тк чц — (л — т,ял ) к к, с=! или, короче, к, л 8У= / ~~~~ (à — =кГ )д!(~)г1 + к; !=1 л к, л к, +~~) !ч лйу, + Р— ~у'Р ~) йх, (8) ! ! ! л — к, где символ ~ ' показывает, что нужно взять разность между значениями соответствующей величины в конечной точке дуги и в начальной.

Это выражение линейно относительно величин л!, 8у!, 3х и отличается на бесконечно малую порядка выше первого от приращения функционала, т. е. представляет собой его вариацию. Выражение (8) и представляет собой ту основную формулу вариации функционала (5), которую мы хотели 'получить. 60 основная эогмэла для завилции. подвижныв концы [гл. гы Введем следующие обозначения: Р ~ = р,.; — Р+ ~'., у,'.Р ~ = — Р + ~'., у,'.

р,. = Н. (9) В этих новых обозначениях основная формула (8) для вариации функционала запишется следующим образом: к, йз= / (Р— ~~~)» (~)а +~Яр йу — Нй )) . (1О) Заметим, что если детерминант, составленный из производных Р,, тра отличен от нуля, то величины у, можно выразить из равенств Р,=р, "с через р; и уи и мы можем в рассматриваемом функционале перейти (локально) от переменных х, уп ..,, у„, уп ..., у'„и функции Р к переменным х, у,, ..., у„, рп ..., р„и функции Н. Переменные х, Уп ° .. у„, р„....

р„и Н называются каноническими переменными. Они играют важную роль в самых разных вопросах вариационного исчисления, и мы будем еще неоднократно с ними встречаться. ПУсть кРиваЯ, соединающаа точки (хз, Уз, ..., Уэ) и [к, У,,..., У„), является экстремалью. Тогда в выражении для вариации интегральный член обращается в нуль, и мы получаем (11) илн, в других обозначениях, оз' = (~ р~йу~ — Нйх) [ '.

(12) Равенство йз=О является необходимым условием экстремума для функционала (5) при любых граничных условиях. В следующих двух параграфах мы применим полученну8 выше общую формулу вариации к исследованию некоторых типов варна. ционных задач. 61 з 121 злдлчл с поддужными концлми ф 12.

Задача с подвижными концами В простейшей задаче, которой мы в основном до сих пор занимались в качестве граничных условий, определяющих класс допустимых кривых, берутся условия закрепления концов. Сейчас мы рассмотрим задачу иного типа. Чтобы не усложнять дело, ограничимся случаем одной неизвестной функции. Пусть дан функционал х, у'1У1= ~ Р'(х, у, у')п>х, к, определенный на гладких кривых, концы которых ро и р, лежат на двух фиксированных линиах у = у(х) и у = ф(х). Требуется найти экстремум такого функционала. Примером подобной задачи может служить нахождение расстояния между двумя линиями. Воспользуемся тем выражением вариации, которое было получено нами в предыдущем параграфе.

При и = 1 оно имеет вид к, Вк'= ~ ~ру — — Ру ~ И(х)с(х+Ру )„~ВУ>+(Р— Ру у) ~ „Вх,— Ле — Ру ! Вуо — à — Ру у') 1„Вхо (2) Если некоторая кривая дает экстремум рассматриваемому функционалу среди всех допустимых кривых, то она тем более будет давать экстремум и по отношению ко всем кривым, имеющим те же концевые точки. Следовательно, эта кривая должна быть экстремалью, т. е. удовлетворять уравнению Эйлера. Поэтому в выражении (2) первый член обращается в нуль, и мы получаем Ву = Ру 1„„ВУ, + (Р— Ру у') 1„„' Вх>— Р> )к Вуо (Р Ру'у ) 1 Вхо. (3) Так как (рнс. 5) Ву> —— Ф'Вх>+ и>, Вуо — у'Вха+ зо, где я> и ао — бесконечно малые величины порядка выше первого, то окончательно условие экстремума В.>=0 можно переписать так: ВУ=(~ у'Ф +Р У г'у')! -кВх> (г'у"Р +г' У Ру')1к- Вхо=б.