И.М. Гельфанд, С.В. Фомин - Вариационное исчисление

Изроплб Моисеевна Гель74анд н Серзей Воснльгвкч фомки Вврнапнонное нсчксленне Редактор С. М. Половинкин Текн. Редактор Н. А. Уумаркнло Бвррсатср Н. В. Цестлозо Савко в набор 25ЛЧ 1001 г. Подписано к пвчатн 5/Ч7П 19гт г. Бумага бохн7710, Фнз. печ. л, 14,25. Условн. печ, л. 14,75. Уч.- ввк л. 12,44. Тарам 25000 ьаз, Т.05725, Заказ Тй 2400. Цена кынгн 47 коп. Государственное нзлательстао физико-матеметкческйй лнтературм.

москва, В-71, ленмнекнй проспект, 10. Типографий Уй 2 нм. Евг. Соколовой УПП Ленсовнарказа, Ленинград, Измайловский пр,, ВЬ. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Глава 1. Функцноиалы. Простейшая задача вариационного на. числения б 1. Введение . 8 2. Функциональные пространства 6 3. Дифференциал функционала.

Необходимое условие экстремума . 6 4. Простейшая задача вариационного исчисления. Уравнение Эилера . 6 5. Случай нескольких переменных. Задача со свободными концами . 6 6. Вариационная производная. Инвариантиость уравнения Эйлера Глава П. Некоторые обобщения простейшей задачи. Условный экстремум . 6 7. Задача с закрепленными концами в случае и неизвестных функций 8. Вариационные задачи в параметрической форме . 9.

Функционалы, зависящие от производных высших порядков 6 10. Изопериметрическая задача. Условный экстремум . Глава Ш. Основная формула для вариации функционала. Задачи с подвижными концами 6 11. Основная формула для вариации функционала 6 12. Задача с подвижнымн концами.

6 13. Случай не гладких экстремалей. Условия Вейерштрасса— Эрдмана Глава 1т7. Каноннческнй внд уравнений Эйлера. Вариационные принципы. Законы сохранения. Уравнение Гамильтона †Яко 9 14. Канонический вид уравнений Эйлера. Первые интегралы . 6 15. Преобразование Лежандра. Канонические преобразовании . з ь 6 16. Связь между инвариантностью интеграла ~ Рлх и первыми а интегралами уравнений Эйлера (теорема Нетер) . 6 17. Принцип наиненьшего действия 6 18. Законы сохранения . й 19.

Уравнение Гамильтона — Якоби. Теорема Якоби Стр. 5 7 7 10 14 20 28 33 56 56 61 63 66 66 71 79 84 85 89 огллвлвнив Г лава У. Вторая вариация. Достаточные условия слабого экстремума 6 20. Квадратичные функционалы. Вторая вариация функционала 8 21. Формула для второй вариации. Условие Лежандра 8 22. Исследование квадратичного функционала й 23. Сопряженные точки.

Необходимое условие Якоби . 8 24. Достаточные условия слабого экстремума . 8 25. Условия Якоби для функционалов, зависящих от нескольких функций 8 26. Связь условий Якоби с теорией квадратичных форм в конечномерном пространстве . Г л а в а т7!. Теория поля. Достаточные условия сильного экстремума й 27. Согласованные граничные условия: Общее определение поля 4 28. Поле' функционала 6 29. Инвариантный интеграл Гильберта 6 30. Функция Вейерштрасса.

Достаточные условия сильного экстремума . Г л а з а 7!!. Вариационные задачи с частными производными . 6 3!. Основная формула для вариации функционала в случае фиксированной области . й 32. Вариационный вывод уравнений колебаний струны, мембраны и пластинки . 6 33. Основная формула для вариации в случае переменной области. Теорема Нетер 4 34. Принцип стационарного действия для полей.

Законы сохранения 8 35. Примеры: уравнение Клейна †Гордо и уравнениеМаксвелла Г л а в а У!!1. Прямые методы вариациоиного исчисления. Вариационные методы в задаче Штурма — Лиувилля 4 36. Понятие о прямых методах вариационного исчисления . й 37. Метод Ритца и метод ломаных 8 38. Собственные функции и собственные значения краевой задачи Штурма — Лиувилля Дополнение !. Распространение возбужденна и канонические уравнения . Доно,пиен не П.

Вариационные методы в задачах об оптимальном регулировании 95 95 98 103 110 115 117 124 129 129 135 144 146 151 151 154 167 182 188 193 193 196 199 210 220 ПРЕДИСЛОВИЕ В основу данного курса положены лекции, читавшиеся И. М. Гельфандом на механико-математическом факультете МГУ. Однако содержание книги значительно выходит за рамки материала, фактически излагавшегося на лекциях.

Авторы ставили своей целью изложить основы вариационного исчисления в доступной и в то же время достаточно современной форме. Значительное внимание в книге уделено физическим применениям вариапионных методов — каноническим уравнениям, вариационным принципам механики, законам сохранения и т. д.

Читатель, желающий ознакомиться лишь с самыми основными понятиями и методами вариационного исчисления, может ограничиться изучением одной первой главы. Совокупность первых трех глав образует несколько более обширный, но все еще достаточно элементарный курс основ вариационного исчисления (в рамках одних лишь необходимых условий экстремума).

Наконец, гл. 1 — У1 составляют более или менее обычный по объему университетский курс варианионного исчисления (с некоторыми применениями к механике систем с конечным числом степеней свободы),. включающий теорию поля (в несколько отличном от обычного изложении) и достаточные условия слабого и сильного экстремумов. Седьмая глава книги посвящена применению вариационных методов к изучению систем с бесконечным числом степеней свободы. В восьмой главе кратко изложены прямые методы вариационного исчисления.

Авторы благодарны М. А. Евграфову и А. Г. Костюченко, которые прочли книгу в рукописи и сделали ряд полезных замечаний. И. М. Гельфанд С. В. Фомин. Октябрь, 1960 ГЛАВА 1 ФУНКЦИОНАЛЫ. ПРОСТЕЙШАЯ ЗАДАЧА ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ В 1. Введение Во многих задачах, возникающих в анализе, механике, геометрии и т. д., важную роль играют переменные величины, называемые функционалами.

Мы говорим, что нам задан функционал, если каждой функции (или кривой) из некоторого класса поставлено в соответствие' определенное число. Таким образом, можно' сказать, что функ'ционалы — это функции, в которых роль независимого переменного играют кривые или функции. Приведем примеры функционалов. 1.

Рассмотрим на плоскости всевозможные спрямляемые *)' кривые. Каждой такой кривой соответствует определенное число — ее длина. Таким образом, длина кривой представляет собой функционал, определенный на множестве спрямляемых кривых. 2.

Поставив в соответствие каждой плоской спрямляемой кривой (которую мы будем рассматривать как однородную материальную линию) ординату ее центра тяжести, мы опять-таки получим некоторый функционал. 3. Рассмотрим на плоскости всевозможные пути, соединяющие две данные точки А и В. Пусть некоторое тело может двигаться по любому из этих путей, имея в каждой точке (х, у) определенную скорость о(х, у). Мы получим функционал, поставив в соответствие каждому пути то время, за которое рассматриваемое тело проходит этот путь.

4. Пусть у(х) — произвольная, непрерывно дифференцируемая функция. определенная на отрезке [а, б). Определим иа множестве а) Ллина кривой определяется в анализе как предел длин ломаных, вершины которых лежат на втой кривой, при стремлении к нулю длин звеньев этих ломаных. Если этот предел существует и конечен, то даннаа кривая называется спрямлаемой. етнкционллы, пгостзйшая злдлчл [гл. г всех таких функций функционал у[у] равенством ь з'[у]= ] у' (х)дх. а 5. Рассмотрим более общий пример.

Пусть г'(х, у, з) — некоторая непрерывная функция трех переменных. Выражение .7]у]=] Р(х, у(х), у'(х))г[х, а где у(х) пробегает совокупность всевозможных непрерывно дифференцируемых функций, определенных на отрезке [а, Ь], представляет собой функционал. Выбирая ту или иную функцию г"., мы будем получать различные функционалы, например если ,г'(х, у, г) = Р 1 -]- аз, то а[у] †дли кривой у = у (х) (пример 1), а при Р (х, у, л) = гз получаем предыдущий пример.

Функционалы вида (1) мы и будем в основном рассматривать ниже. Отдельные задачи, связанные с понятием функционала, рассматривались более трехсот лет назад. Первые важные результаты здесь были получены еше Л. Эйлером. Тем не менее до сих пор еще не существует достаточно общих методов «исчисления функционалов», аналогичных классическому анализу («исчислению функций»). Наиболее разработанными являются методы нахождения наибольших и наименьших значений функционалов. Этот наиболее разработанный раздел «исчисления функционалов» называется вариационным исчислением.

Правильнее, однако, было бы назвать его «вариационным исчислением в узком смысле», поскольку значение понятия вариации функционала, играющего основную роль в вариационном исчислении, далеко не исчерпывается применениями к задачам на нахождение экстремумов функционалов. Укажем некоторые типичные примеры зариационных задач, т, е. аадач на нахождение наибольших и наименьших значений функционалов. 1. Среди всех плоских кривых, соединяющих две заданные точки А и В, найти ту, которая имеет наименьшую длину; иначе говоря, найти кривую у=у(х), для которой функционал ['У 1+у' г[х достигает минимума. Искомой линией будет отрезок прямой, соеди- няющий точки А и В. введение 2. Пусть А и  — две фиксированные точки.

Время, в течение которого материальная точка скатывается под действием силы тяжести вдоль некоторого пути, соединяющего точки А и В, зависит от выбора этого пути, т. е. представляет собой функционал. Кривая, вдоль которой точка скатывается быстрее всего, носит название брахислгохромы. Задача о брахистохроне была поставлена И. Бернулли в 1696 г. и сыграла важную роль в развитии вариационного исчисления, Ее решение было дано И.