И.М. Гельфанд, С.В. Фомин - Вариационное исчисление, страница 4

Пусть гч(х, у, г) — функция, имеющая непрерывные частные производные по всем переменным до второго порядка включительно. Среди всех функций у(х), имеющих непрерывную производную и удовлетворяющих условиям у (а) = А, у (Ь) = В, найти ту функцию, которая доставляет слабый экстремум функционалу ь у[у! = 1 ~(х, у, у') с(х. (2) а Иначе говоря, простейшая задача вариационного исчисления состоит в отыскании слабого экстремума функционала аида (2) на множестве всех гладких кривых, соединяющих дае заданные точки. Упомянутые во введении примеры 1 и 2 вариационных задач (о нахождении кратчайшей линии и о брахистохроне) принадлежат как раз к этому типу. Чтобы применить к решению сформулированной простейшей задачи необходимое условие экстремума, найденное в предыдущем параграфе, нужно уметь вычислять вариацию для функционалов вида (2).

Выведем соответствующую формулу. 21 $41 пвоствйшля алдлчл. увлвнянив эйлввл Дадим функции у(х) некоторое приращение й(х). Для того чтобы функция у(х)+й(х) по-прежнему удовлетворяла граничным условиям, нужно, чтобы й (а) = й (й) = О. Вычислим приращение функционала (2). Оно равно ь ь А/= ~ Р (х, у+И, у'+й') Фх — ~ Р(х, у, у') г1х = а ь ь = ~ [Ру(х, у, у') й+Р„(х, у, у') й'] ь(х+ ..., ь где многоточие обозначает члены порядка выше первого относительно й и И'. Выражение ~ [гР„(х, у, у') й+ Р ° (х, у, у') й'~ Фх ь йг ~ (Руй+Ру И )г(х О а (3) Но в силу леммы 2 й 3 из равенства (3) вытекает, что') Р— — „Р„=О а ах (4) Выражение (4) называется уравнением Эйлера.

Таким-образом, установлена следующая Теорема 1. Для того чтобы Яуннционал г [у[= ~ Р (х, у, у') бх, ь оиределенный на множестве функций у = у(х), имеюгцих а ') Подчеркнем, что существование производной — Р, здесь заранее ах у не предполатается, а вытекает из той же самой леммы 2 $ 3. представляет собой главную линейную часть приращения Ш функционала У, т. е. дифференциал. Согласно теореме й 3 необходимым условием экстремума является равенство еэнкцпонллы, йвоствйшля задача (гл. г непрерывную первую производную и удовлетворяющих условиям у(а) = А, у(Ь)= В, достигал на данной функции у(х) экстремума*), необходимо, чтобы эта функция удоалетэоряла уравнению Эйлера Р— — Р =О.

йх Интегральные кривые уравнения Эйлера называются экстремалями. Уравнение Эйлера представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка. Его решение должно зависеть, вообще говоря, от двух произвольных постоянных, которые определяются нз двух краевых условий у(а) = А и у(Ь) = В. Отметим, что при решении уравнения Эйлера мы, в отличие от обычной для дифференциальных уравнений постановки вопроса, где ищется решение, определенное в окрестности некоторой точки и удовлетворяющее заданным начальным условиям (задачи Каши), ищем решение, определенное во всей фиксированной области и удовлетворяющее ааданным граничным условиям. Поэтому вопрос о разрешимости той или иной вариационной задачи не сводится непосредственно к обычным теоремам существования для дифференциальных уравнений. Приведем следующую теорему С.

Н. Бернштейна»*) о существовании и единственности решения в целом для уравнения вида у" = р (х, у, у'). (*) Если функции Р, Р, Р„, непрерывны в каждой конечной точке (х, у) для любого конецкого у' и если существует такая постоянная Ь > О и такие, ограниченные в каждой конечной -части плоскости функции « = «(х, у) > О, Ь = Ь (х, у):> О, что «"" (х, у, у') > й, ~ р (х, у, у') ~ ( ау' + р, то через любые две точки (а, а,) и (Ь, Ь,) плоскости (х, у), абсциссы кото- рых различны (а чь Ь), проходит одна й только одна интегральная кривая уравнения (*). Мы не будем приводить алесь доказательства втой теоремы.

Уравнение (4) дает необходимое, но, вообще говоря, недостаточное условие экстремума. Вопрос о достаточных условиях экстремума будет рассмотрен в гл: Ч. В ряде случаев, однако, уже одно уравнение ») Это условие необходимо для слабого акстремума. Так как всякий сильный экстремум является в то же время и слабым, то любое условие, необходимое для слабого экстремума, необходимо и для сильного. ") Работа С. Н. Бернштейна относится к.!912 г. Ее русский перевод «Об уравнениях вариациоиного исчисления» напечатан в НЕО выпуске «Успехов математических наук» (1941 г.). 23 Й 4) ПРОСТЕЙШАЯ ЗАДАЧА.

УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА Эйлера дает исчерпывающее решение задачи. Действительно, часто само существование экстремума бывает ясно из физического или геометрического смысла аадачи (например, задачи о брахнстохроне, о кратчайшем .расстоянии между двумя точками и т. и.). Если при этом существует лишь единственная экстремаль, удовлетворяющая граничным условиям задачи, то именно она и будет непременно той кривой, которая реализует искомый экстремум. ь Уравнение Эйлера лля функционала / с'(х, у, у')йх прелставляет Ф собой уравнение второго порядка.

Может оказаться, однако, что та кривая, на которой этот функционал достигает экстремума, не является дважды дифференцируемой. Рассмотрим, например, функционал ! ' г(у]= ) у (1 — у')гах, у( — «=О, у(«=1. -1 Его минимальное значение, равное нулю, достигается на функции ( 0 при х(0, ~ х при х>0 не имеющей второй производной. Хотя функция и(х) и не имеет второй производной, она удовлетворяет соответствующему уравнению Эйлера. Действительно, при Е(х, у, у') =уг(! — у')г и у = и имеем с"' = — 2 из (1 — а') ~ 0 и, следовательно, — 'Р =0; и хотя уравнение Эйлера имеет пойх рядок лва, а иь(х) не существует, подстановка й(х) в уравнение Эйлера обращает его в тождество.

Выясним теперь условия, при которых можно гарантировать существование второй производной у функции у =у(х),'представляющей собой решение уравнения Эйлера. Теорема 2. Пусть у=у(х) — решение уравнения Эйлера ЕУ вЂ” — „ЕУ =О. Если фунниия р(х, у, у') имеет нелрерывные частные производные до второго порядка включительно, то во всех точках (х, у), е которых г"У.У (х, у(х), у'(х)) + О, функния у=у(х) имеет непрерывную вторую производную. Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим разность ас 1 = ру (х+ Ьх, у+ ау, у'+ ау') — ру (х, у, у') = =бхРР +БАУЕР у+Ду'Ру'у" втнкционалы.

пгоствйшая задача (гл.ю где знак указывает, что производные берутся в некоторой промежуточной точке. Разделив эту разность на Ьх, рассмотрим предел полученного ьу ду'- выражения г"г „+ — г + — Рт г при Ьх — ьО (этот предел суЬх Ьх шествует, так как гчт имеет производную по х, в силу уравнения Эйлера она равна гч ). Так как вторые производные функции г"(х, у, з) по условию непрерывны, то гт „ при Ьх — ьО стремится к гч „, т. е. к значению д'г произволной д, в точке х. ду'дх луВторое слагаемое, т.

е. — гтг, при Ьх-ьО также имеет преЬх дел. Это вытекает из существования у' и непрерывности второй производной гч . Но тогда существует предел и третьего слагаемого (так как предел всей суммы существует), т. е. существует ДуФ 1пп — Рг т . в Ьх Если Ьх — ьО,то гч Ок стремится к пределу гтг г чь О, и значит, существует 1нп — У = у" (х). ах+о ~~ Из уравнения — г — г =о вх можно найти выражение для у", из которого видно, что у" непрерывна всюду, где гч Оц + О. Теорема доказана.

Из этой теоремы вытекает, что экстремаль у = у(х) может иметь излом только в тех точках, где г ° = о. 2. Уравнение Эйлера, выведенное нами в этом параграфе, играет фундаментальную роль во всем вариационном исчислении. Оно представляет собой, вообще говоря, дифференциальное уравнение второго порядка. Укажем некоторые частные случаи, в которых это уравнение может быть сведено к уравнению первого порядка или даже полностью проинтегрировано в квадратурах.

1. Подынтегральная функция не аависит от у. .Предположим, что рассматриваемый функционал имеет вид ь 25 пРОстейшАя ЕАдАЯА. уРАВмеиие эйлеРА т, е. г' не содержит у явно. В этом случае уравнение Эйлера принимает вид — Г =О вх и имеет, очевидно, первый интеграл )ь' = С. Это — уравнение первого порядка, не содержащее у. Решив его относительно у', получаем соотношение вида у'=у(х, С), откуда у находится квадратурой. 2. Подынтегр альная функция не зависит от х, т.е.

ь ~Ь? = ~'~(у, у') "х. ь В этом случае Р— — Гу — Ау — Гу у у — )ьу уу Умножив это выражение на у', получим выражение, которое можно ваписать в виде вх ~ откуда получаем, что в рассматриваемом случае уравнение Эйлера имеет первый интеграл Р— ут, =С. 3. Если Р н е з а в и с и т о т у', то уравнение Эйлера принимает вид Ру (х у) 0 т. е. представляет собой не дифференциальное,'а конечное уравнение, определяющее одну или несколько кривых.

4. В различных задачах часто встречаются функционалы вида ь ~ о(х, у)Ф 1+у" а~х, ь представляющие собой интегрзл от некоторой функции о(х, у), взятый по длине дуги. В этом случае уравнение Эйлера может быть 26 еункционллы. птоствйшля злллча !гл. г преобразовано следующим образом: !+ у'* з "У!+уж 'Ф'!+уж !!+Г')ь У у,~ г .с ! ! гж т. е.

о' — о'у — о, =О. Р У" 1+ у' ~ )~!+у' 0х 1 у!1) =О, у!2) = !. Примеры. Подынтегральная функция не содержит у, поэтому уравнение Эйлера имеет вид Р„=С, т. е. —,= С, хУ 1+ уж откула уж(1 — хэСэ) = Сзхт, т. е. у' = 'г' 1 — Сзх' и следовательно, у= ~ . = — )/1 — С'хе+Со т. е. (у — С,)э+.хт= —,. р ! — с' ' Таким тром на С вЂ”вЂ” 75 образом, решение представляет собой окружность с ценоси у.

Из условий у(1)=0, у(2)=1 получаем, что С, = 2. Итак, окончательное решение (у — 2)э+ ха = 5. 2я~ у р 1+у' Их, к, Так как алесь подынтегральная функция не зависит явно от х, то можно сразу написать первый интеграл уравнения Эйлера, это будет: à — ут, =С, 2. Среди линий, соединяющих две данные точки (хп у,) и (хз, уз), найти ту, которая при вращении образует поверхность наименьшей площади'. Как известно,.площадь поверхности вращения равна $4) пгостейшая задача.

твавнвнии эйлявл т. е. у 1+у" — у, ' =С У'1 + у у =С~! +у'~, откуда уз — Са Са Разделяя переменные, получаем т.' е. х+С, =С!п(у+3Гу' — С'), откуда у=Ссй —. х+С, С 'ракии образом, искомой кривой является пенная линия, проходящая через заданные точки. Поверхность, образованная вращением цепной линии, называется катеноидом. Значения произвольных постоянных С и С, определяются из условий у(х,) = у,', у(ла) = уа. Можно показать, что в зависимости от положения точек (хм у,) н (х, уз) здесь возможны следующие случаи: 1) Через точки (хо у,) и (хя, уа) можно провести единственную кривую впда у=Сей + тогда зта кривая и являетоя решением задачи.