И.М. Гельфанд, С.В. Фомин - Вариационное исчисление, страница 3

Пусть гс' — линейное нормированное пространство и пусть каждому элементу л из Й поставлено в соответствие число ~р(л), т. е. задан функционал. Этот функционал ~р(л) называется линейным, если он 1) непрерывен, 2) для любых Ьп лз, принадлежащих 1с, удовлетворяет условию р(л, +й,) = р(й,)+у(йа).

Укажем некоторые примеры линейных функционалов в про. странстве С. 1. Положим ж ~р(й)= ~ л(х)ггх. к, Это выражение будет, очевидно, линейным функционалом. 2. Более общим примером линейного функционала в С является р (й) = / а (х) й (х) дх, н где а(х) — фиксированная функция. й 31 диееегенциьл. неозходимое головин' экстгемумА 15 3. Поставим в соответствие каждой функции И(х) ее значение в фиксированной точке х, т. е. зададим функционал о(Ь) равенством ~ь(И) = Ь(хь), где хз — фиксированная точка.

Это тоже будет линейный функционал. (Проверьте это!) х, Как уже было сказано выше, выражение ) а(х) И(х) йх есть линейный функционал. Предположим, что этот функпионал равен нулю, т. е. ~ а(х)Ь(х)йх=О для всех функций Ь(х), принадлежащих некоторому классу. Что можно сказать о функции а(х)Р Ответ на этот. важный для дальнейшего вопрос дает, следующая Лемма 1. Если а(х) — непрерывная фунниия .и ь а (х) Ь (х) йх = 0 для любой непрерывной функции и (х), имеющей непрерывную производную и удовлетворяющей условию Ь (а) = И (Ь) = О, то а(х) О. Доказательство.

Пусть в некоторой точке с и(с)+О. на- пример а(с) ~0, тогда найдется интервал 1, ( с ( (з, содержащийся в (хо х), в котором а(х))0. Положим Ь(х)=(1,— х)з(ст — х)' на интервале Ды Ц) и Ь(х)=0 вне этого интервала. И(х), очевидно, удовлетворяет условиям леммы. В то же время к, / а(х)Ь(х)йх= / а(х)(1, — х)з(1,— х)зйх ) О, ь так как под интегралом стоит положительная непрерывная фуикция. Полученное противоречие доказывает лемму. Рассмотрим теперь линейный функционал Ь(х)Ь'(х) йх, определенный в пространстве Он Покажем, что если ь ~ Ь(х)Ь'(х)йх=0 ФУНКЦИОНАЛЫ.

ПРОСТЕЙШАЯ ЗАДАЧА [гл. ! 16 длл каждой функции Ь(х) из Ак, такой, что Ь(а) =Ь(Ь) =О, то Ь(х) = сопз1. Действительно, положим Ь' (х) = и (х), тогда к ь Ь( )= ~Ь(.)й, ~Ь«) =О. Выберем постоянную с так, что Ь ~ (Ь(х) — с)ь(х=О, а и покажем, что ~ (Ь (х) — с) г (х) йх = О а для любой непрерывной г"(х). Всякую непрерывную функцию можно представить в виде У(х)=Л(х)+и, где ь Х Л(х)йх=О. а=соней ь Получаем ь ~ (Ь(х) — с)У(х)Их= ~ (Ь(х) — с)Л(х)ах+а / (Ь(х) — с)ах. Первое слагаемое справа равно нулю, так как Л(х) есть пронек водная от функции ~ л(х)ат, удовлетворяющей всем условиям, наь ложенным на Ь(х), а второе равно нулю в силу выбора с. Таким образом, ь ~' (Ь(х) — с)У(х)йх=О ь для любой непрерывной функции г(х).

Положив У(х) =Ь(х) — с, получаем / (Ь (х) — с)т йх = О, ь откуда.Ь(х) — с= — О. т. е. Ь(х) есть постоянная. ф 3! диееятвнциал. нвовходимов условия экстввмтмь 17 Рассмотрим в 1), линейный функционал более общего вида: [ [а(х)И(х)+Ь(х)И'(х)[йх.

(Читателю предоставляется проверить, что этот функционал линейный.) Такие функционалы нам понадобятся в дальнейшем. Докажем следующую лемму: Л е м м а 2. Если ь / [а(х)И(х)+Ь(х)И'(х)[йх=О а длп каждой функции И(х) из Е), такой, что И(а)=И(Ь)=0, то Ь(х) дифференцируема и а(х) — Ь'(х)=0. Действительно, положив ~ а(т)йт= А(Ь), Ю получаем с помощью интегрирования по частям, что ~ а(х)И(х)ь(х= — ~ А(х)И'(х)ах, т.

е. равенство (1) можно переписать в виде / [ — А(х)+Ь(х)[И'(х)йх=О. х, но отсюда следует (см. выше), что Ь(х) — А(х) =сопя[, откуда в силу (2) Ь'(х) = а(х). Лемма доказана. Подчеркнем, что здесь дифференцируемость функции Ь(х) заранее не предполагалась. 2.

Перейдем теперь к определению понятия дифференциала функционала. Рассмотрим некоторый функционал У[у[ и его приращение 7ау= 7[у+И[ — у[у[, отвечающее приращению И «независимой переменнойъ у. Если у фиксировано, то Иу представляет собой функционал (вообще говоря, нелинейный) от И. ФУНКЦИОНАЛЫ. ПРОСТЕЙШАЯ ЗАДАЧА 18 (гл. и Мы назовем дифференциалом, или вариацией, ЬУ функционала 1 главную линейную часть приращения Ы функционала у, т. е.

линейный функционал е(Ь), отличающийся от Ы на бесконечно малую величину порядка выше первого по отношению к !!Ь!!. Таким образом, Ы(Ь) = <р(Ь)+а!! Ь!!, где а-ьО, когла !|Ь!!-РО. Легко видеть, что дифференциал функционала (если он вообще существует) определяется однозначно. Сделаем предварительно следующее замечание: если е(Ь) — линейный функционал и — — РО т (л) ,~ 11 л 11 при !!Ь!! — ьО, то у(Ь) — О. Действительно, пусть и(ЬЯ)=Л+ О.

Положим Ь„= — '. Имеем !!Ь„!!-+ О, но' Ьа 1пп т( ") = 1пп ~т( ~) =.Л чь О. 11 Ь~ 11 „11 Ь~ 11 Допустим теперь, что дифференциал функционала определяется не единственным образом, т. е. пусть Ы(Ь) =~Р1(Ь)+а !!Ь!! и Ы(Ь)=и,(Ь)+ я'!!Ь!!, где т, (Ь) и эя(Ь) — линейные функционалы, а ап аз-ь О при !!Ь!! -РО. Тогда тг(Ь) — тя(Ь)= г!!Ь!! — «!!Ь!! (3) Слеловательно, е, (Ь) — <( (Ь) есть бесконечно малая порядка выше первого относительно Ь.

Но так как и,(Ь) — ит(Ь) — линейный функционал, то он в силу сделанного выше замечания равен нулю. Воспользуемся понятием дифференциала (вариации) функционала для того, чтобы установить необходимые условия экстремума функциолала. Напомним сначала соответствующие понятия из анализа. Пусть г'(хо ..., хь) — дифференцируемая функция и переменных. Говорят, что г"(хп ..., х„) имеет в точке хз, ..., х„ экстремум, если о Ьу =у (хп .... х„) — Р(хь ..., х„) имеет один и тот же знак для всех точек (х,, ..., х„), принадлежащих некотоРой окРестности точки (Хь ..., Х,Ь именно г- имеет в данной точке минимум, если ЬР)~О в данной окрестности, н максимум в случае Ьг' (О.

5 3[ дивэвгвнцихл. нвовходимыв головня экстгвмямл 19 Аналогично мы скажем, что функционал у(у) достигает экстремума при у = уы если У[у[ — У[уз[ сохраняет знак в некоторой окрестности кривой уз(х). Мы будем рассматривать функционалы, определенные на некотором множестве дифференцируемых функций.

Сами эти функции мы . можем считать элементами пространства С или пространства Вн В соответствии с этими двумя возможностями мы будем говорить, что функционал 1[у[ достигает при у=уз слабого экстремума, если существует такое г ) О, что у[у[ — у[уз[ сохраняет постоянный знак для всех тех у из ['.)н для которых функционал Д[у[ определен и [[у — уз[[, < е (здесь [[ )[, означает норму в пространстве 1:),), и будем называть значение У[уз[ сильным экстремумом, если оно является экстремальным по отношению ко всем тем у(х), которые принадлежат области определения функционала г'[у[ и удовлетворяют условию )[у — уз[[ < е(т. е.

близки к уз в смысле нормы пространства С). Ясно, что всякий сильный экстремум будет в то же время и слабым экстремумом. Лействительно, если [[у — уД, < е, то подавно ~~у — уД < е, поэтому если у[уз[ есть экстремум по отношению ко всем у таким, что [[у — уз[[<в, то У[у[ тем более будет экстремумом по отношению к тем у, для которых [[у — уз[[, < е.

Обратное, вообще говоря, неверно, т. е. слабый экстремум может сильным экстремумом и не быть. Нахождение слабого экстремума является, как правило, задачей более простой, чем'нахождение сильного экстремума. Причина этого состоит в том. что, как было отмечено в конце предыдущего параграфа, функционалы, рассматривармые обычно в вариационном исчислении, непрерывны в пространстве Он Поэтому в теорйи слабого экстремума можно пользоваться непрерывностью функционалов. В то же время эти функционалы, вообще говоря,. не непрерывны по отношению к норме пространства С. Теорема. Для того чтобы функционал У[у[ ири у = уз достигал экстремума, необходимо. чтобы его дифференциал (еелй он существует) обращался е нуль нри у=у, т.

е. ЗУ вЂ” О "ра у=уз. Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим для определенности случай минимума. Если У[у[ при у = уз достигает минимума, то это значит, что У[Уз+А[ — У[Уз[> О для всех й, для которых [[Ь[[, достаточно мала. Но, по определе. нию вариации, ~[у,+ И[ — З[уе[ = и[А[+и[[А[[ эгнкционллы. пгоствйшля злдлчл [гл. [ и а †Πпри [[й)[-э О.

Если й/[л[ чь О, то при достаточно малых л внак выражения йу[й[+а[[а[[ (4) определяется знаком первого (главного) члена. Но йу — линейный функционал, поэтому йу[ — л[ = — йу[Ь[, и, следовательно, при йу+ О выражение 14) может быть как положительным, так и отрицательным при сколь угодно малых л, т.

е. экстремум в этом случае невозможен. Замечание. В анализе, помимо условия с11=0, рассматривается и другое необходимое условие экстремума, состоящее в том, что второй дифференциал функции должен быть неотрицателен. Рассмотрение аналогичного вопроса для функционалов мы отложим до гл. У. 9 4. Простейшая задача вариационного исчисления. Уравнение Эйлера 1. Изучение конкретных аадач вариационного исчисления мы начнем с так называемой простейшей задачи, которая формулируется следующим образом.