И.М. Гельфанд, С.В. Фомин - Вариационное исчисление, страница 2

Бернулли, Я. Бернулли, Ньютоном и Лопиталем. Брахистохрона представляет собой циклоиду, лежащую в вертикальной плоскости, проходящей через А и В. 3. Л. Эйлером было дано решение следующей вариационной задачи (изопериметрическая задача): - среди всех замкнутых кривых, имеющих данную длину 5, найти ту, которая ограничивает наибольшую плошадь.

Такой кривой является окружность. Во всех указанных выше задачах речь шла о функционалах, представимых в виде ь ) 'Р(х, у, у')г(х. О Такие функционалы обладают так называемым свойством «локальности», которое состоит в следующем. Если мы разобьем кривую у=у(х) на части и вычислим значение функционала для каждой из этих . частей, то сумма этих значений будет равна значению функционала для всей кривой у=у(х). Именно такие функционалы обычно рассматриваются з вариационном исчислении.

Примером нелокального функционала может .служить выражение УМ1+ у'зах и представляющее собой абсциссу центра тяжести материальной кривой у = у (х) (а ( х ( Ь). В развитии вариационного исчисления важную роль сыграли многие механические и физические задачи, например упомянутая выше задача о брахистохроне. В свою очередь методы вариационного исчисления широко используются в различных вопросах физики. Следует подчеркнуть, что применения вариационногО исчисления в физике не исчерпываются решением отдельных, хотя бы и весьма важных задач.

Так называемые «вариационные принципы», о которых речь будет идти в гл. П и ЧП, представляют собой, по существу, выражения весьма общих физических закономерностей, имеющих [гл. г етнкционллы, птоствйшля злдлчл место в самых различных областях физики, начиная от классической Механики и кончая теарией элементарных частиц. Для понимания существа задач и методов вариационного исчисления очень важно уяснить их связь с задачами классического анализа, т.

е. с исследованием функций и переменных. Рассмотрим функционал вида ./[у[= ~ Г(х, у, у')Их, у(а)=А, у(Ь)=В. « Здесь каждой кривой у=у(х) ставится в соответствие некоторое число. Разобьем отрезок [а, Ь[ точками а=хо, х,, хг, ..., х„+, —— Ь на и+ 1 равных частей и рассмотрим вместо кривой у = у(х) ломаную с вершинами (хэ, А), (хн у(х,)), ..., (х„+,, В), а сам функционал 1[у[ приближенно заменим суммой У(уо . ° °, у»)= ) Р~хн ун ' „' ')и, Ь=хг — хг и '(2) Каждая ломаная однозначно определяется ординатами у,, уг, ..., у„ своих вершин, а сумма (2) представляет собой функцию переменных ун у,, ..., у„. Таким образом, вариационную задачу можно приближенно рассматривать как задачу о нахождении экстремума функции ,/(ун ..., у,) от и переменных.

Этот прием в вариационном исчислении был широко использован Эйлером. Заменяя гладкие кривые ломаными, он сводил задачу о нахождении экстремума функционала к нахождению экстремума функции и переменных, а затем с помощью предельного перехода при и -» со получал точные решения. Таким образом, функционалы можно рассматривать как «функции от бесконечйого числа независимых переменных», а именно значений функции у(х) в отдельных точках, а зариационное исчисление — как Соответствующий аналог дифференциального- исчисления. 9 2. Функциональные пространства При изучении функций и переменных удобно пользоваться геометрическим языком, рассматривая набор и чисел (у,, ..., у„) как точку и-мерного пространства. Точно так же геометрический язык полезен и при изучении функционалов. Каждую функцию у(х), принадлежащую какому-либо классу, мы будем рассматривать как точку $2] ФункциОВАльные НРостРАнства некоторого пространства.

Пространства, элементами которых являются функции, мы будем называть функцибнальными пространствами. В 'тп время как для изучения функций от данного числа и независимых переменнык достаточно рассматривать одно пространство, а именно и-мерное евклидово пространство, не существует какого- либо «универсального» функционального пространства; сами эти пространства приходится выбирать в зависимости от характера рассматриваемой вариационной задачи, Например, если речь идет о функционале ь вида ] г. (х, )~, у')г(х, то естественно рассматривать его на совоа купности всех функций, имеющих непрерывную первую производную, а в случае функционала вида ~ г'(х, у, у', уа)г(х следует за соота ветствующее функциональное пространство взять класс дважды непрерывно дифференцируемых функций. Поэтому для того чтобы эадзть функциональное пространство, надо прежде всего задать класс рассматриваемых функций.

Для функционалов, так же как и для обычных функций, рассматриваемых в классическом анаЛизе, важную роль играет понятие непрерывности. Для того чтобы сформулировать это понятие для функционалов, необходимо ввести в функциональном пространстве, тем или иным путем, понятие близости элементов. Это удобнее всего сделать, введя для функций понятие нормы — аналог расстояния .между точками в евклидовом пространстве. Хотя в дальнейшем мы будем всегда рассматривать именно функциональные пространства, нам удобнее будет сейчас ввести понятие нормы несколько более общим и абстрактным образом, а именно сформулировав определение линейного нормированного пространства.

Линейным прослгранслгаом называется совокупность )с элементов х, у, г, ... произвольной природы, для которых определены операции сложения и умножения их на числа, причем выполнены следующие аксиомы: 1. х+-у=у+х. 2. (х+у)+г=х+(у+я). 3. Существует такой элемент О (нулевой элемент), что х+О=х для любого х из гс. 4. Для каждого х~й существует такой элемент — х, что х+( — х) = О. 5.

1 ° х= х. 6. а(рх)=(вр)х. Ч. (а+р) х =ах+рх. 8. а(х+ у) =ах+ау. 12 [гл. ! ФункциОБАлы. пгоствйшАя зАЛАИА Линейное пространство гс называется нормированным, если каждому элементу х~ А[ поставлено в соответствие неотрицательное число [[х[~ — норма этого элемента так, что 1. [)х[[=0 только при х=0. 2.

[[ах[[=[а[ ° [)х)[. 3. [[х+у[[ < )[х[[+ [[у[[. В линейном нормированном пространстве можно говорить о расстоянии между элементами, понимая под расстоянием между х и у величину [[х — у[[. Элементами линейного нормированного пространства могут быть объекты произвольной природы: системы чисел, векторы (т. е. направленные отрезки), матрицм, функции и т. д. Для нас важны следующие пространства. 1. П р о с т, р а н с т в о С, состоящее из всех непрерывных функций, определенных на некотором отрезке [а, Ь[.

Сложение элементов и умножение их на числа вводятся „гх, как обычные сложение функциЯ А и умножение их на числа, а норма определяется как максимум модуля, т. е. [[у[[= шах [у(х)[. а<А<А Х 4' х-д х Таким образом, в пространстве С Рнс. 1. мы считаем функцию у(х) отстоя- щей от функции уз(х) не больше чем на е, если ее график целиком лежит внутри полосы, шириной 2е (по вертикали), окружающей график функции уз(х) (рис.

1). 2. ПРостР ан ство А)н состоЯщее из всех фУнкций, опРеделеннык на некотором отрезке [а, Ь[ и непрерывных на этом отрезке вместе со своей первой производной. Операции сложения и умножения на числа вводятся так же, как и в С, а норма определяется формулой [[у[[, = гпах[у(х)[+ шах[у'(х)[. Таким образом, близость функций в пространстве А), означает, что близки как сама функции, так и их первые производные. Действительно, если [[у †[[' то при а <х <Ь [у(х) — г(х)[< е и [у'(х) — г'(х)[< е. 3. Пространство )'.)„состоящее из всех функций на отрезке [а, Ь[, имеющих непрерывные производные до л-го порядка включительно, где и — некоторое целое фиксированное число.

Сумма элементов и произведение элемента на число определяются так же, э 2) эгнкционлльпыз пгостглнствл как и з предыдуших случаях, а норма определяется формулой ()уй„= „)~~ шах (у1л1(х)(, а=о где под производной нулевого порядка понимается сама функция. Близость функций в этом пространстве означает, следовательно, близость значений как самих функций, так и их производных до л-го порядка включительно. Легко проверить, что в каждом из указанных выше трех пространств все аксиомы линейного нормированного пространства действительно выполнены. Аналогично можно ввести пространства функций нескольких переменных, например пространства непрерывных функций п переменных, пространство непрерывных функций и переменных, имеющих непрерывные первые производные, и т. д.

После того как в линейном (в частности, функциональном) пространстве Я введена норма, для функционалов естественно вводится понятие непрерывности, а именно: О п р е д е л е н и е: Функционал э (у) называется непрерывным в точке уз~Я, если для любого е ) О существует такое 3) О, что ~Т(у) — э(уз)( ( е как только йу — узз ( й. На первый взгляд может показаться, что при изучении функционалов и, в частности, при решении вариационных задач можно обойтись пространством С вЂ” самым обширным из всех перечисленных. На самом деле это не так. Действительно, как уже указывзлось выше, один из основных типов функционалов, рассматриваемых в вариационном исчислении, — это функционалы вида ~ гч(х, у, у')с(х. а Легко видеть, что такой функционал будет непрерывен, если близость функций понимать как близость в пространстве Ц, но он не будет, вообще говоря, непрерывен, если пользоваться нормой, введенной в пространстве С ь).

В то же время на пространстве О, этот функционал (в частности, длина кривой) непрерывен. Для того чтобы иметь возможность пользоваться обычными аналитическими методами, например предельным переходом, разумно выбирать каждый раз функциональное пространство так, чтобы интересующий нас функционал был непрерывен. *) Типичным примером является длина кривой. Для каждой кривой можно указать другую, сколь угодно близкую к ней (в смысле нормы пространства С) кривую, длина которой отличается от длины первой кривой, скажем, в 10 раз.

свнкционллы. пйоствйшля задача (гл. г В заключение этого параграфа сделаем следующее замечание. Выше речь шла о линейных пространствах и функционалах на них. Однако во многих вариационных задачах приходится рассматривать функционалы на совокупности функций, не образующих линейного , пространства, например на совокупности плоских кривых, проходящих через две фиксированные точки (см. й 4). Несмотря на это,' понятие линейного нормированного пространства и связанные с ним понятия расстояния между функциями, непрерывности функционала и т. д. играют важную роль в вариационном исчислении. С аналогичным положением приходится встречаться и в анализе: рассматривая функции а переменных, удобно пользоваться понятием а-мерного евклидова пространства, однако- область определения той или,иной функции может и не быть линейным многообразием.

ф 3. Дифференциал функционала. Необходимое условие экстремума 1. В этом параграфе мы введем понятие дифференциала функционала, аналогичное понятию дифференциаза функции и переменных и прицепим его к отысканию экстремумов функционалов. Мы начнем с некоторых вспомогательных фактов и определений. О п р е д е л е н и е.