И.М. Гельфанд, С.В. Фомин - Вариационное исчисление, страница 5

2) Через точки (ло у,) и (ха, уз) проходят две экстремали. В этом случае одна из ннх .действительно реализует минимум поверхности вращения, а другая нет. 3) Не существует ни одной кривой вида у=Сея + х+С, С проходящей через задвиньте точки (лп у,) и (хм уз). Это означает, что в классе гладких поверхностей вращения, проходящих через данные точки, нет поверхности, реализующей минимум площади. Этот случай можно представить себе следующим образом. Если две заданные точки расположены так, что расстояние между ними доста- ФУНКЦИОНАЛЫ. 'ПРОСТЕЙШАЯ ЗАДАЧА [ГЛ.

| точно велико по сравнению с расстояниями их от оси х, то плошадь поверхности, состоящей из двух кругов радиусов у, н ут и соединяющего их центры отрезка оси х (рис. 2), будет меньше, чем площадь любой гладкой поверхности вращения, проходящей через заданные точки. Таким образом, в этом случае решением задачи о минимуме площади является ломаная Ах,х|В, а в классе поверхностей, образованных враУ шепнем гладких кривых, проходящих через заданные точки поверхности, имеющей наименьшую площадь. не существует.

3. Рассмотрим функциох нал ау з'[у[= / (х — у)тс|х. (5) а Рнс. 2. Здесь уравнение Эйлера сводится к конечному уравнению; его реше- ние — прямая у= х (вдоль нее интеграл (5) равен нулю). 9 6. Случай нескольких переменных. Задача со свободными концами 1. Выше мы рассматривали функционалы, зависящие от функций одного переменного, т. е. от линий. Во многих вопросах встречаются функционалы, зависящие от функций нескольких независимых переменных, т.

е. от поверхностей. Подробнее такие многомерные вариационные задачи мы рассмотрим в гл. Ч[1, а сейчас покажем лишь, как на случай функционалов, зависящих от поверхностей, переносятся постановка н решение рассмотренной выше простейшей задачи вариационного исчисления. Ограничимся для простоты записи случаем двух независимых переменных. В случае и переменных все рассуждения остаются без изменений. Рассмотрим функционал вида У(г)= [я ~ В(х, у, г, г, г )дхг(у, о где г и г — частные производные от в=г(х, у), и предположим, что ищется функция г(хгу), непрерывная вместе.

со своими производными до второго порядка в области О, принимающая на границе этой области заданные значения н дающая экстремум функционалу (1).- Локазательство теоремы 1 $ 3 не связано с видом рассматриваемого функционала, поэтому, как и в случае одного независимого переменного, необходимым условием экстремума функционала (1) 9 5) слтчай нвскольких пегвменных. своводныв концы 29 является обращение в нуль его вариации, т. е.

главной линейной части его приращения. Для установления необходимых условий экстремума функционала (1) нам понадобится следующая лемма, аналогичная лемме 1 9 3, Л е м м а 1', Если интеграл (2) где г(в, г) — фиксированная функция, непрерывная в области О, обращается в нуль для всякой функции ц (з, г), непрерывной вместе со своими частными производными первого порядка и обращающейся в нуль на границе Е области О, то З (з, г)=О во всей области О. Действительно, предположим, что в некоторой точке (1, з)) функ- ция /(в, Г) отлична от нуля, например положительна, тогда она положительна и в некотором содержащемся в О круге радиуса р с центром ($, 'ц).

Тогда если положить ц (в. г) = О вне круга (з — 1)т+(г — и)г=рг, ((в — 1)г+(г — ~1) — р 3 внутри этого круга, г гг то интеграл (2) сведется к интегралу по, рассматриваемому кругу и будет положителен. Лемма доказана. Для того чтобы применить необходимое условие экстремума Ы= О к изучению функционала (1), вычислим вариацию этого функционала. Если й(х, у) — произвольная дважды непрерывно дифференцируемая функция, обращающаяся в нуль на границе области О, то вместе с г(х, у) области определения функционала (1) принадлежит и г(х, у)+Ь(х, у). Приращение функционала (1) равно У(г+ Ь] — з'[г] = (Е (х у а+ и ах+и» ге+ну) Е (х у г г» гт)) йх йу= о =11('+Е +';)""" + о где выписанный интеграл представляет собой главную линейную часть этого приращения, т.

е. вариацию. Применяя формулу Грина ~ / (дО ~~~~йх ~у — ~ Рйх+г) ~у, о с 3О ФУНКЦИОНАЛЫ. ПРОСТЕЙШАЯ ЗАДАЧА [гл. ! получаем ~ ~ (Е, Д„+ Е, Д,) дх )у = а = О~ — ' "' — ' ""4"""'— о 11 И[ Г + — р ) (хожу†а — ДЕ дУ вЂ” ЬР с(х — ~ /й(~ Р»+ !у У) х У' А а Так как Ь(х, у) обращается в нуль на Е, то справа первый интеграл исчезает, и мы получаем для вариации функционала У[г[ следующее выражение: 32= / ~ (Š— — Š— — Е )л(х, у)дхс[у. (3) д д дх Ух ду Уу Итак, для того чтобы поверхность г = л(х, у) доставляла экстремум, необходимо, чтобы двойной интеграл (3) обращался в нуль для любой И(х, у), удовлетворяющей указанным выше условиям; в силу леммы !' отсюда вытекает соответствующее уравнение Эйлера Š— — Р— — Р =О.

д д Я дх Ях ду Яу Оно представляет собой уравнение второго порядка в частных производных, причем ищется решение его, принимающее на контуре Ь заданные значения. П р и м е р. Найти поверхность наименьшей площади, натянутую на данный контур. Это сводится к отысканию минимума функционала .)=1 ~ 1/1+ля+лзихс!у. Уравнение Эйлера для данного случая приводится к виду г(1+<)з) — 2зрд+1(1+ рз) = О, где р=гх, о=ау, г=я „, г=г,у, 1=а „. Оно имеет простой геометрический смысл. Для выяснения этого смысла воспользуемся формулой средней кривизны поверхности Н вЂ” ! / 1 1 ! — ЕОЯ 2ЕЮ'+ 0В Н 2[к,+Л! 2(Еа — Г й б! слтчьй нвскольких пвэвмянных.

своводныя концы 31 где Е, г", О и О, с)н с)я — коэффициенты первой и второй квадратичных форм поверхности. Если поверхность задана явным уравнением я=г(х, у), то Е=!+ = !+у, Вя = )г1+р'+Ф р', Р=ри, О О,= У!+Р*+4' г О= )'1+рь+яь и, следовательно, И (1+рь)г — 2зрч+П+и2)г 2 )Г(.1 + рь +,у')ь ~ г (х, у, у') ах. Ф Вычислим вариацию функционала (5). Понимая под вариацией, как и выше, главную линейную часть приращения У[у+И[ — 3[у[ функционала, получаем ь у[у+ И[ — з'[у[= ~ [г (х, у+И, у'+И') — г (х, у„у')[с[х. а Разлагая подынтегральное выражение по степеням И и И', имеем ь у[У+И[ — у[у[ = ~[гтИ+Гг И'[с[х+ члены выше первого и порядка малости.

Таким образом, Здесь числитель совпадает с левой частью уравнения Эйлера (4). Таким образом, уравнение (4) означает, что средняя кривизна искомой поверхности равна нулю. Поверхности, имеющие нулевую среднюш кривизну, называются минимальными.

2. Задача со свободными концами. Простейшая задача вариационного исчисления, которую [ьы рассматривали до" сих пор,. является далеко не единственно возможной. Другие типы вариационных задач, с другими граничными условиями, будут рассмотрены в гл. П и Ш.

Однако с одной из таких задач — так называемой задачей со свободными концами, целесообразно познакомиться уже сейчас. Она формулируется следующим обРааом. Среди всех кривых, концы которых лежат на двух заданных вертикалях х=а, х=б, найти ту, которая дает экстремум функционалу 32 еункционллы.

пьоствйшля задача (гл. 1 Так как здесь, в отличие от задачи с закрепленными концами, й(х) уже не обязательно обращается в нуль в точках а н Ь, то, интегрируя по частям, получаем 8У вЂ” ДГ„„Ь'„~й( )И +(Г,,йу) а ь / ~Ру — ~ Ь'у ]~И (х) ь(х + Ру ) Зу — гх' ) йуь, а где Ьу,=й(Ь), Зуз —— й(а). Таким образом, для задачи со свобод- ными концами мы получили следующее выражение вариации: 87= ~ ~Ь' — — „Гу т~й(х)г7Х+Гу ~„ьй(Ь) — Ьу 1„ььй(а).

(6) х Рассмотрим сначала такие функции й(х), для которых й(а)= =й(Ь)=0. Тогда, как и в простейшей задаче, из условия 87=0 получаем. что х — — уе =О. и' У ах (7) т. е., в силу произвольности й(х), У 1х=Ь 0' У 1х-ь (8) Таким образом, для решения поставленной задачи нужно найти общий интеграл уравнения Эйлера (7) и затем определить значения произвольных постоянных из условий (8). Наряду с закрепленными и свободными концами можно рассматривать смешанный случай, т. е. считать, что один конец закреплен, а другой свободен. Пусть, например, ищется экстремум функционала (5) на классе кривых, соединяющих данную точку А (с абсциссой а) и произвольную точку прямой х=Ь. В этом случае нз двух условий (8) остается только одно условие р,.~„,=о, а'равенство у(а)= А служит вторым краевым условием.

Итак, для того чтобы кривая у=у(х) могла быть решением задачи со свободными концами, она должна быть экстремалью, т. е. решением уравнения Эйлера (7). Пусть теперь у=у(х) — экстремаль. Тогда в выражении (6) для Ы интегральный член исчезает и условие Ы= 0 принимает вид у !х=ь й (Ь) ) у 11х=а й (а) = О, $ 6) влзилционная пгоизводная. инвлгилнтность твавнения эйлвга 33 Пр имер.

По какой плоской кривой тяжелая точка должна скатываться вниз из положения А(а, у ) для того, чтобы в кратчайшее время достигнуть вертикальной прямой х=Ь? Решение. Для упрощения записи будем считать, что исходная точка совпадает с началом координат. Так как скорость движения по кривой равна ег5 $/,е Ых .=,и= 1+у',и е 'гг2Ь'у откуда время движения Т равно )гну Общим решением соответствующего уравнения Эйлера будет семейство циклоид х=г(0 — сап О)+с, у=г(1 — со60). Из условия прохождения искомой кривой через начало координат получаем, что с = О. Для определения г воспользуемся вторым условием Р;=, =О, У )Гну 1 + у" т.

е. при х=Ь должно быть у'=О: в правом конце искомой криб вой касательная горизонтальна. Отсюда г = —. Итак, соответствующая кривая задается уравнениями х = — (Π— гйп О), у = — (1 — соз О). Ь Ь ф 6. Вариациоиная производная. Инвариаитность уравнения Эйлера 1. Для функций я переменных наряду с понятием дифференциала вводится понятие частной производной. Выше мы ввели понятие дифференциала для функционалов. Выражение, играющее для функционалов ту же роль, что и частные производные для функций и переменных, носит название вариационной производной.

Мы введем сперва понятие вариационной производной для функционалов вида в ./[у] = ~ г (х, у, у') г(х, (1) и отвечающих простейшей задаче. Для этой цели мы перейдем от вариационной задачи к конечномерной, а затем совершим предельный переход. 3 зан. 5466. Гелееанн н Феннн 34 ФункциОнАлы. НгоствйшАя зАЛАИА [гл. г Разобьем отрезок [а, Ь[ на и+1 равных частей' точками хе=а, х,, ..., хве х„+,— — д, х~„— х~ — — Ьх и заменим гладкую функцию у(х) ломаной с вершинами (ха ув) (х| у1) (хят1 уз~~). Функционал ь .[[У] = [ Г(х, у, у') дх в при этом можно приближенно заменить суммой л ~~~~ Г (хп уп у'"' у' ) Ьх, г 0 представляющей собой функцию п переменных уп у, ..., у„, Обозначим это выражение У[ум уя, ..., У„[.

дг [уь ° у [ Вычислим частные производные У' "' У" и посмотрим, что ду происходит с этими производными при неограниченном увеличении числа точек деления. Заметив, что в выражении и у[у,, ..., У„[=~т'(х,, уп у'~', у')Ьх к=я каждое переменное уа входит ровно в два слагаемых (отвечающих [=и и 1= й — 1), получаем +~У'(ХА н Уа Ы ) — РУ (ХА, УА, — ~~ «). (2) Правая часть написанного здесь выражения при йх — ьО, т. е, при неограниченном увеличении числа точек деления, стремится, очевидно, к нулю, представляя собой величину порядка Ьх.

Для того чтобы получить при Ьх -~ О предел, вообще говоря, отличный от нуля, разделим равенство (2) на Ьх. Получаем [~ж (ХА УА "' ) г'У' (ХА-1 УА-и — А: .:)~ . (3) й 6[ ВАРиАционнАЯ НРОизВОлнАЯ. инВАРиАнтность УРАВнянив эйлвРА 35 Заметим, что выражение дуАЬх, стоящее в знаменателе слева, имеет непосредственный геометрический смысл. Это — разность между площадями, ограниченными сплошной и пунктирной ломаными (рис.