И.М. Гельфанд, С.В. Фомин - Вариационное исчисление, страница 6

3). При Ьх — «О выражение (3) стремится к пределу, равному Р (Х, У, У') — — т".У (Х, У, У'). Этот предел и называется вариационной производной функционала (1). Эариационная производная обозначается символом М зу Таким образом, формула, которая получается из (3) в результате предельного перехода при Лх — «О, имеет вид зу — „= ~, ( . у. у') — — „, Ь (х.

у у'). (4) Мы видим, что полученное нами выражение вариационной произволной представляет собой левую часть уравнения Эйлера. Следовательно, уравнение Эйлера означает не что иное, как равенство нулю Рис. 3. в каждой точке вариационной производной соответствующего функционала, точно так же, как в анализе необходимым условием экстремума функции п переменных является равенство нулю всех ее частных производных. Сформулируем теперь опрелеление вариационной производной в общем случае.

Пусть имеется некоторый функционал у[у[. Лалим функции у приращение, отличное от нуля лишь в окрестности некоторой точки х, и вычислим соответствующее приращение функционала у[у+й[ — у[у[. разлелив это приращение на плошаль Ьз, ограниченную кривой л и осью х, рассмотрим отношение 1[у+И вЂ” ~[у[ аа 36 ФункциОнАлы. Нгоствйн'Ая зАЛАНА Пусть теперь площадь Ггу, ограниченная кривой й(х), стремится к нулю, причем так, что и ]п(х)] и длина того интервала, в котором й(х) отлична от нуля, стремятся к нулю.

Если при этом отношение (5) стремится к некоторому пределу, то этот предел называется варианионной производной функционала а'[у] в точке х . Варнаву~ ционную производную в точке хе мы обозначим ьу ~х Задача. Вычислить вариационную производную в точке ха квадратичного функционала А А У [у] = ~ ~ К(з, Г) у (5) у (Г) йз дт. а а Для вариационных производных остаются в силе те основные правила, которые хорошо известны для обычных производных, например правила дифференцирования суммы, произведения, сложной функции и т. д. Во многих случаях оказывается полезным понятие вариации в точке, представляющее собой аналог выражения дУ вЂ” йхг дхг Вариацией функционала 1[у] в точке х для кривой у = у(х) называется произведение функциональной производной от а' в точке х на площадь па области, заключенной между кривыми у(х) и у(х)+Ь(х).

3 а м е ч а н и е. Из определения вариационной производной ясно, что если й(х) отлична от нуля в некоторой окрестности точки ха и ограничивает площадь йз, то йа'=— а[у+А] — 1[у] = [ — +е~ Ьг, г за' а=ха где е-ьО, когда стремятся к нулю и ]й(х)] и длина интервала, в котором й(х) отлична от нуля. 2. Инвариантность уравнения Эйлера. Пусть на плоскости вместо переменных (х, у) введены криволинейные координаты (и, О) по формулам х=х(н, и), х, х,] ~+о. (6) у = у (и, и), у„ у„ ~ Кривой, задаваемой на плоскости ху уравнением у = у(х), отвечает на плоскости ип кривая, определяемая некоторым уравнением п=п(и). й б) влвилционная пяоизводная.

инвавилнтность твавнзния зйлвва 37 При замене переменных (б) функционал ./(у) = ~ Г(х, у, у') Нх переходит в функционал А( ) =~ "( ( ). у(л, ). ~" +' ° )(х„+ р')г( = а, ь, ~ гч,(и, о, о') с(и. а, Покажем, что если некоторая функция у=у(х) удовлетворяет уравнению Эйлера, то функция о = о(и) удовлетворяет соответствующему уравнению Эйлера дР, д дР, — ' — — — —,' =О, (7) дв ли дв' где Р,(и, о, о')=Р(х(и, о), у(и, о), ~" ~',)(х„+х о').

~я+ хя~' Для этого воспользуемся введенным выше понятием вариационной производной. Плошадь, ограниченную кривыми у = у (х) и у = у(х) + +Д(х) на плоскости (х, у), обозначим Ьз, а плошадь, ограниченную соответствующими кривыми о=о(и) и о=о(и)+~)(и), обозначим Ье.

Отношение этих площадей стремится к функциональному детерминанту не равному, по условию, нулю. Если УЬ+ Ч У!у) м.+ о дз то и Ощ ' ' )=О аа Итак, если функция у = у(х) удовлетворяет уравнению Эйлера, то функция о(и) удовлетворяет уравнению (7). Иначе говоря, свойство кривой быть (или не быть) экстремалью не зависит от выбора системы координат. Свойство инвариантности уравнения Эйлера может быть использовано следующим образом. При рещении уравнения Эйлера часто 38 егнкционллы. пгоствйшая задача у гггв+г в (8) где г =г(~).

Соответствующее уравнение Эйлера имеет вид О. Уг +г" "т Уг*+"*. (9) Замена х= гсов р, у =г гйпе переводит (8) в интеграл вида ) гг)+у' ах, которому отвечает уравнение Эйлера у"=О с общим решением у =ах+~). Следовательно, общее решение уравнения (9) есть г в)п т = аг сов у+ р. приходится пользоваться той или иной заменой переменных. В силу свойства инвариантности эту замену можно делать не в уравнении, а прямо в интеграле, представляющем рассматриваемый функционал, а затем уже для нового интеграла писать уравнение Эйлера. Пусть, например, ищутся экстремали функционала ГЛАВА В НЕКОТОРЪ|Е ОБОБШЕНИЯ ПРОСТЕЙШЕЙ ЗАДАЧИ. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ В этой и следующей главах мы рассмотрим некоторые обобщения простейшей задачи вариационного исчисления, рассматривавшейся нами в гл.

!. В й 1 изложена простейшая задача для функционалов с несколькими неизвестными функциями. В й 8 — 1О рассматриваются различные обобщения простейшей задачи вариационного исчисления. При. желании читатель может приступить к чтению гл. !П сразу же после изучения й 7. В 1. Задача с закрепленными концами в случае п неизвестных функций Рассмотрим функционал Ь у= 1 Р(х, уп у,') !х, а зависящий от и функций у,. (1= 1, 2, ..., и), где функции у, удо- влетворяют граничным условиям уг(а)=А, у,(Ь)=В (1=1, 2, ..., и), (2) и установим необходимые условия экстремума для такого функционала. Иными словами, ищется экстремум функционала, определенного на некоторой совоку.пности кривых, соединяющих две фиксированных точки в и+ 1-мерном пространстве.

Примером подобных задач является отыскание геодезических, т. е. кратчайших, линий между двумя точками некоторого многообразия. Та же самая задача возникает и в геометрической оптике при нахождении пути, по которому распространяется свет в неоднородной среде; согласно принципу Ферма свет идет от точки А в точку В по такому пути, чтобы время прохождения было наименьшим.

ф 7! ЕАЛАчА с ЗАкгепленными кОнцАми в слУчАе и ФУнкций 41 порядка, следовательно, ее общее решение содержит 2и произвольных постоянных, которые определяются из граничных условий (2). Примеры. 1. Распространение света в неоднородн о й с р е д е. Пусть пространство заполнено оптически неоднородной средой, так что в каждой точке пространства скорость распространения света есть некоторая функция о(х, у, з) от координат этой точки. Согласно уже упоминавшемуся принципу ферма свет идет из одной точки в другую по той кривой, для которой время прохождения света будет наименьшим.

Если линия, соединяющая две точки А и В, задана уравнениями у=у(х), г=г(х), то время, за которое свет проходит вдоль нее, равно ь 1'14 г ~.*' ~т о(х, у, з) о Написав для этого функционала систему уравнений Эйлера до 3' 1+уж+аж д у 0 ду оа дх рг1+ з + до )~!+у' +аж д дз о )Г"1+у" + а" получаем дифференциальные уравнения линий распространения света. 2. Геодезические линии. Рассмотрим некоторую поверхность, заданную векторным уравнением г=г(и, о). (б) Линия минимальной длины, соединяющая две точки и лежащая на данной поверхности, называется геодезической линией.

Найдем уравнения геодезических линий, Их можно, очевидно, получить как урав. пения Эйлера, соответствующие некоторой вариационной задаче, а именно задаче о нахождении кратчайшего расстояния (считая по поверхности) между двумя точками, лежащими на данной поверхности. Линия, лежагцая на поверхности г=г(и, о), может быть задана уравнениями и = и (~), о = о (г). длина ее отрезка между точками, отвечающими значениям у, и г параметра ~, равна )[и, о] = ~ Р Ви" +2Ви'о'+Сго" йг, (б) й 42 ОБОБщениЯ ИРостейшей 3АдАчи.

УслОВный экстРемУм [Гл. н где Е, Е и 0 — коэффициенты первой квадратичной формы поверх- ности (5), т. е. ( дг дг ) Напишем для функционала (6) уравнения Эйлера. Получаем Е„и' +2Еии'и'+ 6„и" д 2(Еи'+Ео') [7 Еи' +2Ги'и'+ 0вж 7 Еиа+2Еи'о'+ 6о' Е иж + 2Г„и'и'+ 0РВ' И 2 (Еи'+ 0о') ~7 Еи'~+2Еи'в'+ 0и'™ [7 Еи" +2Еи'о'+ Оож Рассмотрим в качестве простейшего примера круглый цилиндр (7) г'=(асозу, аз[ау, з) Следовательно, уравнения геодезических для этой поверхности будут =О, [~ а! "+ з' а т' =О, Уа ' +з' ат т. е. )' а'т' + з' ! Сз' 1'а,"+ з" Деля одно из этих уравнений на другое, получим Решение этого уравнения в=С!р+А представляет собой двупараметрическое семейство винтовых линий, лежащих на рассматриваемом цилиндре. Понятие геодезической может быть определено не только для поверхностей, но и для многообразий большего числа измерений.

Нахождение геодезических линий и-мерного многообразия приводится, очевидно, к решению вариационной задачи для функционала, зависящего от и функций. 3 а и е ч а н и е. Выше мы для каждого функционала ~ Г(х, у!, у'!) Фх и найдем геодезические линии на этом цилиндре. Здесь роль параметров и и О играют переменные и и г. Первая квадратичная форма цилиндра (7) имеет следующие коэффициенты: Е = ат, Е = О, 0 = 1. й 8! влгилционныв злллчи в плглмвтгичвской ьогмв 43 получили отвечающую ему вполне определенную систему уравнений Эйлера.

Поставим обратную задачу: пусть заданы левые части уравнений Эйлера д Є— — Р . с дх г Требуется по ним восстановить функцию Р(л. У, У,) определяющую функционал (1). Такая задача решается неоднозначно. Действительно, если мы прибавим к выражению, стоящему под знаком интеграла в функционале (1), полный дифференциал какой-либо функции, т. е. прибавим к Р выражение вида де %ч дФ ф=,) + 7> д У;, где Ф=Ф(Х, Уг ° ° Ул) (8) то соответствующие уравнения Эйлера при этом не изменятся, так как выражение д~д(~ дф дх дуг ду; (рассматриваемое как функция от л, у, у,'.) тождественно равно нулю. В этом легко убедиться, подставив сюда вместо ф выражение (8).