И.М. Гельфанд, С.В. Фомин - Вариационное исчисление, страница 11

Ря мы выразим через новую функцию Н(х, ун р,), связанную с Г равенством Н= — Г+ 1 у,'р (здесь у, означает соответствующие функции от х, ун р,). Определенная этим равенством функция Н(х, ун р,) называется функИией Гамильтона, отвечающей данному функционалу ~ Г(х, ум у,')йх. а Переменные х, ун рн Н, связанные со старыми переменными х, уы у,', Р соотношениями (3) и (4), называются каноническими переменными (отвечающими данному функционалу ~ Г(х,у, у',.)с(х). Переход от старых переменных к новым возможен, если функцио- О(р, „, р) нальный детерминант ', ",,т.

е. детерминант матрицы, со- О(у;',".,у„') ' ' ставленной из производных отличен от нуля. Мы будем предполагать это условие выполненным а), Выясним теперь, как преобразуются уравнения Эйлера (2) при переходе к каноническим переменным. Чтобы сделать в уравнениях Эйлера указанную замену, нужно частные производные Г»,.

(т. е. частные производные от Г по ун взятые при постоянных у',, ..., у'1 л» выразить через частные производные Н», (которые берутся при постоянных значениях рн ..., р„)*а). Непосредственное вычисление этих производных было бы несколько громоздко. Мы избежим длинных выкладок, воспользовавшись выражением дифференциала функции Н. При этом в силу независимости (инвариантности) первого дифференциала от выбора независимых переменных, нам нет необходимости помнить о том, перешли мы уже к новым переменным или нет. ') Следует иметь в виду, что ато условие обеспечивает лишь лональ- 1 ную разрешимость уравнений р,. = Г относительно ун ..., у„, но не га- 1 Р 1 рантирует возможности представить ун ..у„в виде функций от х, уьрь определенных во всей рассматриваемой области.

Таким образом, все наши рассуждения носят локальный характер. '*) Обычно употребляемые в анализе обозначения частных производных облалают известным несовершенством: в них не содержатся указания на то, какие именно переменные фиксируются. и 14] клноничвский вид увавниний эйлага. паевые интвгвалы 69 Из определения Н получаем л л йН = — йР+ ~ р, йу',+ Х у,' йрр г=! ' ! ! т. е. ь л др %ч др %ч др й Н = — — йх — у — йу! — у —, йу', + а Ф +~,,р,йЗ,+~ау',йр; (5) г=! Для того чтобы получить отсюда выражения для частных производных функции Н, следовало бы выразить йу, 'через х, у,. и р, Однако (в этом по существу и состоит важная особенность канонических переменных) в силу равенств др —,=р, (1=1, 2, ..., н) (6) ду,' члены, содержащие йу', в (5), взаимно уничтожаются, и мы получаем аН= — — а — ~)",— йу,+') у.

(р, др дР (7) Для получения частных производных функции Н остается выписать коэффициенты при соответствующих дифференциалах справа. Таким образом, дН дР дН др дН ф =У. дх дх ' ду! ду! ' др! др Итак, величины — и у'. выражаются через частные производные ду, ! функции Н по формулам др дН (8) ду! ду! Пользуясь этими выражениями, можно уравнения Эйлера (2) переписать в виде йр! дН с!у! дН (9) йх ду!' йх др!' Эти 2п уравнений первого порядка образуют систему, эквивалентную (2) и называемую канонической системой уравнений Эйлера ь рассматриваемого функционала ) Р(х, уг, у!)йх. Ю 70 канонический вид тглвнений эилегл (гл. !ч 2. Первые интегралы уравнений Эйлера. Напомним, что первым интегралом некоторой системы дифференциальных уравне- ний называется функция, сохраняющая постоянные значения вдоль кагк- дой интегральной кривой этой системы. Выясним, какие первые ин- тегралы может иметь каноническая система (9) (а следовательно, и эквивалентная ей первоначальная система (2)).

Рассмотрим сначала тот случай, когда функция р, определяющая Г I» функционал, не зависит от х явно, т. е. !"'(у!...., У„у» ° ° У») Тогда функция П= — Р+-~~.', у;р! тоже не содержит х явно и, следовательно, (10) Воспользовавшись каноническими уравнениями Эйлера (9), получаем дН Сч дН дН С» дН дН дх»ЬВ ду! др! ~ ~ др! ду! !=! г=! откуда Н= сопз1 вдоль каждой экстремали "). Таким образом, если г не зависит от х явно, то функция Н(ун р,) является первым интегралом уравнений Зйлера»*). Рассмотрим теперь некоторую произвольную функцию вида Ф(у ° ° ° у р ° ° ° р) и выясним, при каких условиях она будет первым интегралом системы (9). При этом мы уже не будем предполагать, что Р не зависит от х явно, а рассмотрим общий случай.

Вдоль каждой интегральной кривой системы (9) имеем Выражение (11) ") Если Н зависит от х, то имеет место формула ин дн их дх' которая получается таким же рассуждением. '') См, в э 4 интегрирование уравнения Эйлера для функционала, ие зависящего от х. э 1б[ пгвоввлзовлниз лзжлндял. клноничзскив пгеозглзовлния 71 называется скобкой Пуассона функций Ф и Н. Мы получаем следующую формулу: — =[Ф, Н[.

Таким обРазом, длл того чтобы Ф(Уп ..., У„, Рп .... Р„) была первым интегралом системы уравнений Эйлера (9), необходимо и достаточно, чтобы скобка Пуассона [Ф, Н[ была тождественно равна нулю*). Если же не только Н, но и Ф может явно зависеть от х, то справедлива, как легко проверить, следующая формула; — "=-',--+[Ф, Н[. ф ! б. Преобразование Лежандра. Канонические преобразования Рассмотрим еще один метод приведения уравнений Эйлера к каноническому виду, отличный от изложенного в поедыдущем параграфе. Идея этого нового вывода состоит в том, что рассматриваемая вариационная задача заменяется другой, ей эквивалентной и такой, что уравнения Эйлера для этой новой задачи совпадают с каноническилэи уравнениями Эйлера для первоначальной задачи. 1. Сначала рассмотрим некоторые соображения, относящиеся к задаче о нахождении экстремума функции конечного числа переменных.

Начнем со случая одного переменного. Пусть ищется экстремум (скажем, минимум) функции г= г'(с), причем г'(;-) выпукла, т. е. У" ((г) ) О. (1) Введем новую независимую переменную р (называемую тангенциальной координатой), положив р = у' 6) в*).

*) Так как в силу теоремы существования через каждую точку (х, уь ..., у„, р„...,рл) проходит интегральная кривая системы (9), из того, что [ФсН[=О, вдоль каждой интегральной кривой действительно следует, что [Ф, Н[ = О. "э) Таким образом, за независимую пере- с менную принимается угловой коэффициент касательной, проходящей через данную точку кри- Рнс. 6. вой. Если кривая выпукла, то точкз на ней определяется по утловому коэффициенту касательной однозначно (см. рис.

6). То же самое верно, конечно, и для вогнутой кривой (т. е. такой, у которой всюду У" (с) < О). 72 клноничвский вид нялвнений эйлввл [ГЛ. 1Н Тая как, по условию, — =га(1) ныл, то из (2) можно выразить 1 ' ае через р. Введем теперь новую функцию (3) Н(р) = — У(1)+р1 (здесь Е есть функция от р, определяемая равенством (2)). Преобразование, опредрляемое формулами (2) и (3), называется преобразованием Лежандра. Таким образом, преобразование Лежандра — это переход от переменной и функции 1, У6) к переменной и функции -р, Н(р). откуда а'Н р и, следовательно, а»Н сК 1 1 а )О ае поскольку Уа(1) ) О.

»а Пример. Пусть У(1) =— а Тогда (а ) 1). У'6) = р=1 т. е. 1 1а — 1 и следовательно, а аа а-1 1 а Н вЂ” — — +р( = — — +р ° р» ' — р' ' — — + 1), а а а т. е. ь Н(р) где Ь связано с а соотношением 1 1 — + — =1. Ь Функция Н(р), определенная равенством (3), иногла называется двойственной по Юнгу к функции У(~). Легко проверить, что пре- Легко проверить, что из выпуклости У(1) вытекает выпуклость Н(р). Действительно, бН= — у (1) 1+рб( [- бр=(бр, 15] пРБОБРАБОВАние лежАндРА. кАнонические пРеОБРАБОБАния 73 образование Лежандра, примененное к р и Н(р), приводит снова к с и У(с) ). Действительно, согласно (4) — =.с и, кроме того, е ин ир — Н(р)+ рн'(р) = 7(с) — рН'(р)+ рН'(р) = У(с).

(5) Посмотрим теперь, как связан переход от функции 7 (с) к Н(р) с задачей О нахождении экстремума функции 7(с). Рассмотрим выражение — Н(р)+",р, (8) которое при с = Н'(р) совпадает с 7(с), как функцию двух независимых переменных. Покажем, что ппп [ — Н(р)+ср] = 7(с). (7) Р Действительно, из условия д ,— (- н(р)+-[р) = н (р)+[=о др получаем ~=н (р), откуда в силу (5) и вытекает (7). Таким образом, задача од отыснании минимума функции 7 (с) равносильна задаче о нахождении минимума выражения — Н(р)+ср нан функнии двух переменных.

Говоря более точно, мы получаем из (?), что ппп 7 (() = ппп [ — Н(р)+ър] **). Р,Г Аналогичные рассуждения можно провести и для функций нескольких независимых переменных. Пусть р (сг 1.) — функция и переменных, для которой детерминант, составленный из производных, д'г" д$~ д(ь не обрапгается в нуль. Положим р~=рц (8) и Н= — р+ ~ ьгри (9) ") Преобразование, двукратное повторение которого есть тождественное преобразование, называется обычно инволютивным.

Таким образом, преобразование Лежандра ииволютнвно. **) Эта формула дает возможность определить переход от Н(р) к у(с), т. е. преобразование Лежандра для любых выпуклых функций. КАНОНИЧЕСКИЙ ВИД УРАВНЕНИИ ЭЙЛЕРА [гл. Еу в котором р, и [а рассматриваются как независимые переменные. Замечание. Мы показали, что ппп ~ — Н(рн ..,, р„)+,~~рД)=Р($ы ..„1„); Р, ",Р„ следовательно, при произвольных значениях р,, ..., р„ — Н(р ..

" р.)+Х~р~1 -.в."(! ° 1.). т. е. и Х р;1 > н(р,, ", р.)+ Рй, ", 1„), где р„..., р„и Н(р,, ..., р„) определяются формулами (8) и (9). Полученное нами неравенство называется неравенством Юнга. Для функций одного переменного его геометрический смысл непосредственно виден из рис. 6. 2.

Применим эти рассуждения к функционалам. Пусть дан функ- ционал а'[у[= ~ Г(х, у, у')г1х. а (10) Положим р= р ° (х, у, у') (11) Н(х, у, р)= — 'Р'+ру' (11') (считая, что в правой части этого равенства у' представляет собоЙ функцию от х, у и р, определенную равенством (11)). Введем новый функционал ь з'[у, р] = ~ ( — Н(х, у, р)+ру') г(х, Р (12) Выразив 1Ч через р, из (8) и подставив этн выражения в (9), получим функцию н=н(р,,, р„).

Как и в случае одного независимого переменного, непосредственная проверка показывает, что л ппп — Н(р,, ..., р„)+ ~», 'рД = р([н ..., 1„), Р ° ° Рл 1 ! и потому отыскание минимума функции Р'([ы ..., Р„) равносильно отысканию минимума выражения — Н(р„..., р„)+,'Ер,(н $15] пввовгазовлнив лвжьндга, клноннчвскив пгвоввлзовлния 75 Это не что иное, как канонические уравнения ь Р(х, у, у') г[х. Мы докажем эквивалентность а с уравнением для функционала этих уравнений др и др — — — —,=0 ду дх ду' (14) (и, следовательно, получим новый, независимый от первоначального, вывод канонических уравнений), если докажем, что функционалы (10) и (12) принимают экстремальные значения на одних и тех же кривых.