Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика, страница 8

Вещественная часть этого выражения есть не что иное, как циркуляция Г скорости по контуру С. Мнимая же часть (умноженная на р) представляет собой поток жидкости через этот контур; при отсутствии внутри контура источников жидкости этот поток равен нулю, и тогда имеем просто Г =- 2ш ~~' Аа (10,15) (все вычеты А, при этом чисто мнимые). Наконец, остановимся на условиях, при выполнении которых жидкость можно считать несжимаемой.

При адиабатическом изменении давления на Лр плотность жидкости изменится на . (д ) Но согласно уравнению Бернулли колебания давления в стационарно движущейся жидкости — порядка величины Лр — роз. Производная же (др/др), представляет собой (как мы увидим в й 64) квадрат скорости звука с в жидкости. Таким образом, находим опенку Ло — роз/сз, Жидкость можно считать несжимаемой, если Лр/р СС 1. Мы видим, что необходимым условием для этого является малость скорости сс движения по сравнению со скоростью звука: о сс с. (10,16) Это условие достаточно, однако, только при стационарном движении. При нсстапионариом движении необходимо выполнение еще одного условия. Пусть т и 1 — величины порядка промежутков времени и расстояний, на которых скорость жидкости испытывает заметное изменение. Сравнив члены дч/д1 и Чр/р в уравнении Эйлера, получим, по порядку величины, о/т — Лр/1р илп Лр — 1ро/т, а соответствующее изменение р есть Ло — 1ро/тсз.

Сравнив теперь члены др/д1 и рд)то в уравнении [ГЛ 1 идеАльнАя жидкость непрерывности, найдем, что производной др/д/ можно пренебречь (т. е. можно считать, что р = сопя() в случае, если стр/т С ~ ро// или т~ — ' (1О-, 17) Выполнение обоих условий (10,16) и (10,17) достаточно для того, чтобы можно было считать жидкость несжимаемой. Условие (10,17) имеет наглядный смысл — оио означает, что время //с, в течение которого звуковой сигнал пройдет расстояние 1, мало по сравнениях со временем т, в течение которого заметно изменяется движение жидкости и, таким образом, дает возможность рассматривать процесс распространения взаимодействий в жидкости как мгновенный.

Задачи 1. Определить форму поверхности несжимаемой жидкости в поле тяжести в пилиидрическом сосуде, вращающемся вокруг своей оси с постояииой угловой скоростью О. Р еш си ие. Ось г выбираем по оси цилиндра. Тогда о, = — [)у, в„ = [)х, о, = О. Уравнение иепрерывиости удовлетворяется автоматически, а уравнение Эйлера (10,1) дает: ор хйз р дх' Общий интеграл этих уравнсиий есть — = — И (х + у') — уг + сопя[.

1 2 На свободной поверхности р =. сопя[, так что эта поверхиость является параболоидом; г зч †/(х + у ) (иачало коордииат — в иизшсй точке поЙз~ з з 2у верхности). 2. Шар (радиуса /т) движется в несжимаемой идеальиой жидкости. Опре. делить потенциальное течение жидкости вокруг шара. Решение. На бескоиечиости скорость жидкости должна обращаться в нуль. Обращающимися па бесконечности в нуль решеияямя уравнения Лапласа аф = О являются, как известно, 1/г и производиые различных порядков от 1/г по координатам (иачало координат — а центре шара). Ввиду полной симметрии шара в решеиие может войти лишь один постоянный вектор — скорость и, а ввиду линейности уравнения Лапласа и граничного условвя к нему ф должно содержать и линейным образом.

Единственным скаляром, которыя можно составить из и н производных от 1/г, является произведение пу(1/г). Соответственно этому ищем ю в виде 1 Ап ф АР— г гз (и — единичиый вектор в иаправлеипи радиус-веитора). Постоянная А определяется пз условия равенства нормальных к поверхности шара компоиеит скоростей ч и и(чп = пп) при г = /с. Это условие дает А = а»(з/2, так что )[з лз ф = — —, пп, ч = —, (зп (мп» вЂ” и]. 2гз ' 2гз НГСЖИМАЕМАЯ ЖИДКОСТЬ 4 !а] Распределение давления определяется формулой (10,7); рот дф Р ро — — р— 2 д! (ра — давление на бесконечности).

При вычислении производной дф/д! надо иметь в виду, что начало координат (выбранное нами в центре шара) смещается со временем со скоростью и. Поэтому дф дф — = — н — н %р. д! дв Распределение давлении иа поверхности шара даетси формулой ри' р дп р рз+ — (9 соз' 9 — Б) + — Нп— 8 2 д! (Π— угол между и и н). 3.

То же для бесконечного цилиндра. двнжущегоси перпендикулярно к своей оси '!. Решен не. Течение не зависит от координаты вдоль оси цилиядра, так что приходится решать двухмерное уравнение Лапласа. Обращающимися в нуль иа бесконечности решениями являются производные от 1п г по координатам, начиная от первого порядка и выше (г †перпендикулярн к оси цилиндра радиус-вектор). Ищем решение в вида Ап ф АЧ !пг г и с помощью граничных условий получаем А — Нзп, так что Юг Н' <р — — пп, о = —, (2п (нп) — н]. г г Давление па поверхности цилиндра дается формулой ри' дн р рс + — (4 соз' 0 — 3) + р Нп —.

2 дг 4. Определить потенциальное движение идеальной несжимаемой жидкости в эллипсондальном сосуде, вращающемся вокруг одной из своих главнык осей с угловой скоростью П; определить полный момент импульса жидкости в сосуде. Решение. Выбираем декартовы координаты х, у, а вдоль осей эллипсоида в данный момент времени; о(ь вращения совпадает с осью и Скорость стенки сосуда есть н = !()Т), так что граничное условия и, дг(4)дп и„ есть д<р — = () (хпэ — ул,), дп пли, используя уравнение эллипсоида хз(аз+ уНЬэ+ аз(сз = 1: х дф у дф в дф Г ! 1 А — — + — — + — — - ху() ! — — — !. а' дх Ь' ду с' да 'ч Ьт а' г" ') Решение более общих задач о потенциальном обтекании эллнпсоида и цилиндра эллиптического сечения см. в книгах; Кочин Н.

Е., Кибзль Н. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханнка.— Физматгиз, 1963, ч. 1, гл. УН; Лэмб Г. Гидродниамика. — Мл Госгахиздат, ]!947, 29!03 — 116 (йашЬ Н. Нубгобупаш]ав. — СашЬПдйе, 1932). идндльнля жипкппть (гл 1 Ф о =О з ф = А(хз — гз). Линиями тока являются гиперболы хг сонэ!. Решение уравнение Лапласа, удовлетворявшее этому условию, есть а' — Ь' з+ Ьз (!) Момент импульса жидкости в сосуде М р ~ (хоп — уп„) др.

Интегрируя по объему эллипсонда, получаем Орр (а' — Ь')' М=— 5 а'+ Ь' Формула (!) определяет абсолютное движение жидкости, отнесенное к мгновенному положению осей х, у, г, связанных с вращающимся сосудом. Движение же относительно сосуда (т.е. относительно вращающейся системы коордшгат х, у, г), получится вычитанием сноростн [йг) нз абсолютной скорости жидкости; обозначив относительную скорость жидкости т', имеем дф 2Ра' ° 205' э — +Оу у, о дх аз + Ь' ' з а' + Ьз х, Траектории относительного движения получаю~он путем интегрированна урав- г . г пений х о„, у=оп и представляют эллипсы х'/а'+уз/Ь' = сопз(, подобные граничному эллипсу. 5. Определить течение жидкости вблизи критической точки иа обтекаемом теле (рис.

2). Решение. Малый участок поверхности тела вблизи критической точки можно рассматривать как плоский. Вьбираем его в качестве плоскостл ху. Разлагая ф при малых х, у, г в ряд, имеем с точностью до членов второго порядка. ф = ах + Ьу + сг + Ах' .+ Ву' -(- Сгх -)- 0ху + Еуг + Гхг (постоянный член в ф несуществен) Постоннные коэффициенты определяем так, чтобы ф удовлетворяло уравнению йф =. О н граничным условиям и,=дф/да=О при г=б и всех х, у н дф/дх=дф/ду=б при х у =- г = О (в критической точке). Это дает а=у=с=б; С= — А — В, Е=-У=О. Член Вху может быть всегда исключен соответствующим поворотом осей х и у. В результате получаем: ф = Ах'+ Вуз — (А+В)гз.

(!) Если течение обладает анснальной симметрией вокруг осн г (симметричное обтеканне тела вращения), то лолжно быть А = В, так что ф = А(х'+у* — 2гз). Компоненты скорости равны Рнс. 3 о, = 2Ах, пг — — 2Ау, о, = — 4Аг. Линии тока определяются уравнениями (5; 2), откуда х'г = сь у'г = сз, т. е. линии тока являются кубическими гиперболами. Если течение является однородным вдоль оси у (например, прн обтекании в направлении осн г цилиндра с осью вдоль оси у), то в (!) дол;кно быть В О. так что % ю1 НЕСЖИМАЕМАЯ ЖИДКОСТЬ 45 6. Определить движение жидкости при потенциальном обтекании угла, образованного двумя пересекающимися плоскостямн (вблизи вершины угла).

Решен и е, Выбираем полярные координаты г, О в плоскости поперечного сечения, перпендикулярной к линии пересечения плоскостей, с началом в вершине угла. Угол 8 отсчитывается от одной нз прямых, образующих сечение угла. Пусть а есть величина обтекаемого угла; при а < и течение происходит внутри угла, при а ) л — вне его, Граничное условие исчезновения нормальной составляющей скорости гласит с(~р/п8 = О при О = О и а. Удовлетворяющее этому условию решение уравнения Лапласа пишем в внле') ф = Аг" сов л8, и п1я, о, = пАг"-' гозл8, ов — — — лА"-'ыпп8.

так что Полученные для ю и т выражения являются вещественной н мнимой частями комплексного потенпиала ш = Аз' ') 7. Из несжимаемой жидкости, заполняющей все пространство, внезапно удалвется сферический объем радиуса а Овредслить время, в тег чеине которого образованшаяся полость заполнится жидкостью (Везппт, 1859; йпу(е(йй, 19!7), Решен не. Лвижеиие жидкости после образования полости будет центрально-симметрическим со скоростями, направленными в каждой точке по радиусу к центру. Для радиальной скорости о. о<О змеем уравнение Эйлера (з сферических координатах) дв до 1 др — +ив дт дг р дг ' Уравиекие непрерывности дает: 'е == Р(1) (2) где г(1) — произвольная функция времени; это равенство выражает собой тот факт, что в силу кесжимаемости жидкости обьем,протекающий через сферу любого радиуса, не зависит от последнего.

Подставляя о из (2) в (1), имеем: г' (1) до 1 др — +о — = — —— г' дг р дг ' ') Выбираем решение с наиболее низкой (малые г1) положительной степенью г. ') Задачи 5 н б, если рассматривать граничные плоскости в иих как бесконечные, вырождеиы в том смысле, что значения постоянных коэффициентов А, В в их решениях остаются иеонределеииымн.